高校数学A 円周角の定理の逆と共円—四点の位置条件を確かめて証明の根拠を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

同じ弦を見る角の等しさと補角を、点の位置から選び分けて共円を証明します。位置から読み解く共円です。

よくあるのは、高1が2つの角が等しいことを見つけ、そのまま4点が同じ円に乗ると決める場面です。角の大きさが同じでも、頂点が共通の線分のどちら側にあるかによって、結論は変わります。図に円が描かれていないときこそ、何を共通の弦にするかを先に決めましょう。

何を手がかりに円を見つけるか

共円とは、複数の点が1つの円の周上にあることです。まず、2つの角の両辺が通る点を見ます。例えば ∠APB と ∠AQB なら、どちらも線分 AB を見ています。P と Q が直線 AB の同じ側にあれば等角を、反対側にあれば和が 180° になることを調べます。

出方は主に3つあります。角の条件から4点の共円を証明する問い、共円を証明して別の角を求める問い、直角や三角形の内角を利用して円を見つける問いです。どの場合も、先に円を仮定して円周角を使うと、証明したい結論を根拠にする循環になります。与えられた角から円の存在を示し、その後で円周角を使う順番が必要です。

線分を見る角と点の側

A、B は異なる点とし、P、Q は直線 AB 上にない、互いに異なる点とします。∠APB と ∠AQB は、いずれも頂点から A と B へ引いた2本の半直線が作る 0° より大きく 180° より小さい角です。図1のように P と Q が直線 AB の同じ側にあるとき、両角が等しければ A、B、P、Q は共円です。反対側にあるときは、両角の和が 180° なら共円です。

この2つの判定では、まず A、B、P が一直線上にないことを確かめます。この3点を通る円は1つに定まり、Q がその円に乗るかを調べます。円を補う証明では、交点の位置を決めつけず、直線と円の交わり方を確認します。

より短い証明には、A、B、P を通る円と直線 AQ の交点 R を使い、角の条件から Q = R を示す方法があります。ただし Q が円の内部や外部にある場合、直線上の点の順序を考える必要があります。これを避けるには、直線 AB の同じ側で ∠AXB が一定となる点の集まりが、A、B を端点とする円弧であるという円周角の定理の逆を使えます。証明の根拠としてその逆を明記し、点の側と共通の端点を照合します。

反対側の補角も同じ側の逆から導けます。A、B、P を通る円と半直線 AQ の交点について議論する代わりに、その円の直線 AQ 上の交点のうち Q と同じ側の円弧上の点を選び、角の一致を使うこともできます。ただし直線が接する特別な場合や交点の向きを見落とさないよう、実際の証明では次のように円周角の逆を側ごとに述べて使うと安全です。反対側にある円周上の点から同じ弦 AB を見る角は補角なので、反対側で指定角を持つ円弧も1つに定まります。

ここで重要なのは角の名前の順序です。∠APB と ∠AQB は共通の端点 A、B を持ちますが、∠PAB と ∠AQB は見ている線分がそれぞれ PB、AB であり、ただ等しいだけではこの判定を使えません。また P = Q なら4つの異なる点についての主張になりません。直線 AB 上の点では角が 0° または 180° となり、非退化な円周角として扱えません。

基本例題：同じ側の等角

A、B は異なる点、P、Q は直線 AB の同じ側にある互いに異なる点です。∠APB = 68°、∠AQB = 68° とします。4点 A、B、P、Q が共円であることを証明してください。また、P と Q が線分 AB を両端とする同じ円弧上にあることを説明してください。

図2のように、両角の頂点は異なり、両角が見る線分は AB です。同じ側という条件があるので、等角の逆をそのまま使えます。

∠APB = 68°
∠AQB = 68°
∠APB = ∠AQB

P と Q は直線 AB の同じ側にあるので、円周角の定理の逆より A、B、P、Q は共円です。直線 AB はこの円を2つの弧に分けます。P と Q は同じ側にあるため、AB を両端とする同じ側の弧にあります。元の条件に戻すと、その弧上の両点から AB を見る円周角は等しく、指定された 68° と矛盾しません。図中の角は同じ大きさを表しています。

角が等しいという式を最初に書いても、見ている線分と点の側を書かなければ、なぜ逆を使えるのか伝わりません。証明の文章では「共通の線分 AB」「同じ側」「等角」をつなげて述べましょう。

標準例題：直角から円を補う

三角形 ABC は ∠BAC が鋭角で、B、C は異なります。B から直線 AC に下ろした垂線の足を D、C から直線 AB に下ろした垂線の足を E とし、D、E はそれぞれ辺 AC、AB の内部にあるとします。∠ABC = 47°、∠ACB = 63° のとき、4点 B、C、D、E の共円を証明し、∠BDE を度数で求めてください。

垂線の定義から、∠BDC = 90°、∠BEC = 90° です。D と E は直線 BC の同じ側にあり、どちらの角も BC を見ています。したがって、同じ側の等角に対する円周角の定理の逆より B、C、D、E は共円です。円を証明した後は、その円の円周角を使えます。

B と C の側を確かめるため、E は辺 AB の内部、D は辺 AC の内部であることを使います。弦 BE を見る頂点 D と C は直線 BE の同じ側にあるので、次が成り立ちます。

∠BDE = ∠BCE
∠BCE = 90° - ∠ABC
∠BDE = 90° - 47°
∠BDE = 43°

CE は AB に垂直なので、∠BCE は直角三角形 BCE の C の角です。検算すると ∠CBE = 47°、∠BEC = 90°、∠BCE = 43° で和は 180° です。また ∠A = 180° − 47° − 63° = 70° で鋭角です。垂線の足が辺の内部という配置とも整合します。

発展例題：反対側の補角を作ってから角を追う

A、B、C は一直線上にない点です。P は直線 AB に関して C と反対側にあり、∠ACB = 72°、∠APB = 108° とします。さらに C と P は直線 AB を挟む位置にあり、直線 AC に関して B と P は同じ側にあります。∠ABC = 54° のとき、4点 A、B、C、P の共円を証明し、∠APC を度数で求めてください。

共通の線分は AB です。頂点 C、P は反対側なので、等角ではなく補角を調べます。

∠ACB + ∠APB = 72° + 108°
                     = 180°

反対側で線分 AB を見る角が補角なので、円周角の定理の逆より A、B、C、P は共円です。次に ∠APC と ∠ABC はともに AC を見ます。B と P は直線 AC の同じ側にあるので、共円が示された後に円周角の定理を適用できます。

∠APC = ∠ABC
     = 54°

条件に戻すと、三角形 ABC の残りの角は 180° − 72° − 54° = 54° です。また P は直線 AB の反対側で AB を 108° に見るので、72° との和は 180° です。求めた角も、同じ弦 AC を同じ側から見る 54° と一致します。共円の証明と、その円を使う角の計算を分けたことが要点です。

等しい角でも結論が変わる図

図3では P と Q が直線 AB の反対側にあり、どちらも AB を 60° で見ています。「∠APB = ∠AQB だから4点は共円」という答えは誤りです。もし共円なら、反対側の円周角の和は 180° であるはずですが、60° + 60° = 120° です。必要な条件に反するので、この4点は共円ではありません。

原因は、角の値だけを見て直線 AB の両側を区別しなかったことです。修正するときは、まず A と B を結び、頂点が同じ側か反対側かを言葉にします。反対側なら補角を調べます。例えば片方が 60° なら、共円に必要なもう片方の角は 120° です。図形の見た目に頼らず、角の和を計算してから結論を選びます。

別の誤りとして、同じ側で角が等しくないのに「近そうだから共円」と判断する場合があります。角の値が異なれば、同じ側の円周角の定理に反するため共円ではありません。また、同じ直線上に3点が並ぶ場合には、その3点を通る円自体が存在しません。位置の条件を先に確認すると、定理を使えない場合も判定できます。

証明を組み立てるときの確認

同じ側の等角の逆を証明するときは、A、B、P を通る円を先に置きます。Q がその円上にないと仮定して、半直線 AQ と円との交点を調べる方法があります。ただし交点の存在や A からの順序を省くと、図の形によって議論が途切れます。円と直線の交点の個数も確認しながら場合を分ける必要があります。円周角の定理の逆を既知の定理として使うときは、こうした交点の議論を再び書く必要はありませんが、適用条件の確認は残ります。

反対側の補角の判定を使うときも、和が 180° という数値だけを見ず、両方の角が同じ線分を見ることを確かめます。角の和が 180° であっても、片方が別の2点を端点としていれば、この形の逆を直接使うことはできません。角の辺の先をたどって共通の端点に印をつけると、取り違えを防げます。

共円を示した後に別の角を求めるときは、今度は求めたい角が見る弦を選び直します。最初に使った弦と、計算に使う弦が異なることもあります。標準例題では BC を見て共円を示し、次に BE を見て角を求めました。発展例題でも AB から出発し、AC を使って最後の角を得ています。各段階でどの2点を端点にしたのか書けば、根拠の順序が追えます。

円周角の逆を使う前に、図に円が描かれているかどうかも確認します。描かれていない円を想像することはできますが、その円に Q が乗ることはまだ結論です。先に3点で円を定め、残る点について条件を示すと、証明の出発点と到着点が区別できます。反対に、すでに共円が仮定されている問題では、逆を使って再び共円を示す必要はありません。

練習：線分と頂点を先に書く

各問で、角度は度数で答え、証明では使った位置条件を示してください。A、B、P、Q は各問で互いに異なり、P、Q は直線 AB 上にないものとします。

1. P、Q は直線 AB の同じ側にあり、∠APB = 41°、∠AQB = 41° です。4点の共円を証明してください。
2. P、Q は直線 AB の反対側にあり、∠APB = 37°、∠AQB = 143° です。4点の共円を証明してください。
3. P、Q は直線 AB の反対側にあり、∠APB = 76°、∠AQB = 76° です。4点は共円ですか。理由も述べてください。
4. P、Q は直線 AB の同じ側にあり、4点は共円です。∠APB = 112° のとき、∠AQB を求めてください。
5. P、Q は直線 AB の反対側にあり、4点は共円です。∠APB = 29° のとき、∠AQB を求めてください。

練習の答えと考え方

1. どちらも AB を見る角で、41° = 41° です。P、Q は同じ側なので円周角の定理の逆により4点は共円です。共円に戻して円周角を使うと両角は等しく、与えられた値に合います。

2. 37° + 143° = 180° です。P、Q は反対側で両角は AB を見るので、補角の形の逆により4点は共円です。共円なら反対側の角は補角となり、143° は元の 37° に対応します。

3. 共円ではありません。反対側にある点が共円なら、AB を見る角の和は 180° です。しかし 76° + 76° = 152° なので、この必要条件に反します。等角という条件には合っていますが、反対側に置いたことが結論を変えます。

4. 答えは 112° です。共円で同じ側の頂点から AB を見る円周角は等しいため、∠AQB = ∠APB = 112° です。両角を並べると元の共円と同じ側の条件に合います。

5. 答えは 151° です。反対側の円周角は補角なので、∠AQB = 180° − 29° = 151° です。29° + 151° = 180° と戻して、反対側という条件を確かめます。

記憶に残す4行

同じ線分を見る2つの角を探します。 同じ側では等角、反対側では補角を調べます。 逆で共円を示してから、その円の円周角を使います。 点の一致や一直線上の配置を先に除きます。

どこで止まったかを見分ける

等角を見つけられても共通の線分を言えない場合は、2つの角の頂点と両端を別々に書き出します。端点がそろっていても判定を誤る場合は、直線を引き、頂点が同じ側か反対側かを指でたどります。個別指導で確かめる際は、図3の等角がなぜ失敗するか、また反対側なら何度に直すかを本人の言葉で説明してもらいます。共円を示す前に円周角を使っていないかも、根拠の順番に印をつけて点検します。位置を確かめた角が、円の存在を示します。