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高校数学A チェバとメネラウスの使い分け—三角形を取り直して必要な比をつなぐ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

共点と共線を見分け、補助三角形で交点の比を求める具体例を通して、比の使い分けが身につきます。

よくあるのは、三角形の内部に交点があるのに、元の大きな三角形の辺の比だけで答えを出そうとする場面です。辺上の分点の比はそろっていても、求めたいのが頂点から交点までの比なら、その交点は元の三角形の辺上にありません。そこで、すでに引かれた線を辺とする小さな三角形を見つけます。共点を使う段階と共線を使う段階を分けると、図の中で比がどこからどこまでを表すかを追いやすくなります。

問いの形を先に見分ける

1つ目の型は、三角形の各頂点から向かいの辺に引いた3直線が1点で交わるとき、辺の分けられ方を求める問題です。交点を中心に3本の直線が集まっているので、チェバの定理を選びます。未知数が辺の上の比にあるかを先に見ておくと、元の三角形で足りることがわかります。

2つ目の型は、1本の直線が三角形の3辺またはその延長を横切る問題です。3つの交点が一直線上に並ぶので、メネラウスの定理を選びます。交点の1つが辺の外にあるとき、辺全体と延長部分は異なる長さです。どちらを使うかは図中の端点で決まります。

3つ目の型は、2つの型を順番に使う問題です。例えば、まず共点から辺上の点の比を求め、次に小さい三角形を取り出して、その辺を横切る直線に着目します。定理の名前を先に決めるのではなく、求めたい線分を辺に含む三角形を探してから、そこに共点または共線があるかを調べます。

共点と共線を、比の向きまで読む

図1では、非退化な三角形 ABC に対し、D を辺 BC の内部、E を辺 CA の内部、F を辺 AB の内部に置いています。AD、BE、CF が内部の1点 P で交わるとき、チェバの定理は次の形です。

(BD/DC)・(CE/EA)・(AF/FB) = 1

3つの比は B から C、C から A、A から B へと、三角形の周りを同じ向きに巡っています。辺の長さはすべて正で、分母は0ではありません。図1では3直線が P に集まることが共点の条件です。この式は辺上の D、E、F の位置を結びますが、式に P は現れないので、AP/PD を直接は表しません。

そこで三角形 ACD を選びます。P は辺 AD 上、E は辺 CA 上、B は辺 CD を D の先へ延長した上にあります。B、P、E は一直線上です。この3点を横切る線としてメネラウスの定理を使うと、正の長さで次が成り立ちます。

(DP/PA)・(AE/EC)・(CB/BD) = 1

ここでも D から A、A から C、C から D の順に比を並べています。B は外分点で、外分点は1つです。CB は元の辺 BC 全体、BD はその一部分です。P が内部にある配置では B、P、E は頂点と一致しないため、いずれの分母も正です。

一般にメネラウスの定理は、非退化な三角形の各辺を含む直線上の3点が頂点と異なり、一直線上にあるとき、循環する正の長さの比の積が1になるというものです。外分点が1つの配置のほか、3つとも外分点の配置があります。符号を付けた比はここでは使いません。逆を使って共線を判断するときも、点が辺を含む直線上にあり、頂点と一致しないことを確かめます。

チェバの逆では、各辺の内部にある3点について循環する比の積が1なら3直線は共点です。外分点が2つある場合も、対応する直線が平行でないなど、実際に有限の交点を持つ条件を確かめて使います。比の積だけを見て、平行な直線に交点があると決めることはできません。

基本：辺の比から交点の比へ

非退化な三角形 ABC の辺 BC 上に BD:DC = 2:3 となる点 D、辺 CA 上に CE:EA = 3:4 となる点 E を取ります。AD と BE の交点を P、直線 CP と辺 AB の交点を F とします。AF:FB と AP:PD を、それぞれ最も簡単な整数の比で求めてください。

図2のように D、E が辺の内部にあるので、AD と BE は三角形の内部で交わり、CP は辺 AB の内部で交わります。まず3本が P で交わることからチェバの定理を使います。

(2/3)・(3/4)・(AF/FB) = 1
(1/2)・(AF/FB) = 1
AF/FB = 2

したがって AF:FB = 2:1 です。ここで得られたのは AB 上の比です。AP:PD を求めるには、P を辺の上に置ける三角形 ACD に切り替えます。B、P、E は一直線上で、B は CD の延長上です。

BD:DC = 2:3 なので BC:BD = 5:2 です。また AE:EC = 4:3 です。上のメネラウスの式に代入します。

(DP/PA)・(4/3)・(5/2) = 1
(DP/PA)・(10/3) = 1
DP/PA = 3/10
AP/PD = 10/3

答えは AP:PD = 10:3 です。長さを実際に決めたわけではありませんが、AP を10、PD を3と置いて比を元へ戻すと、(3/10)・(4/3)・(5/2) = 1 です。辺上の比も (2/3)・(3/4)・(2/1) = 1 を満たします。2つの式は別の三角形を使っているので、それぞれの点の位置とともに確認します。

ここで、もし P が A や D と一致すれば、比の分母が0になり、この計算はできません。また、B、P、E が一直線に並ぶという情報を落とすと、三角形 ACD にメネラウスを適用する根拠がなくなります。求めたい線分が図に描かれているだけでは足りず、横切る直線と3辺との交点を確認する必要があります。

標準：途中で辺全体を作る

三角形 ABC で、D は B と C の間、E は C と A の間、F は A と B の間にある点です。これらを向かいの頂点と結ぶ AD、BE、CF の共通の交点を P とします。BD:DC = 3:5、AF:FB = 4:3 とします。CE:EA と AP:PD を最も簡単な整数の比で求めてください。

まず三角形 ABC の共点にチェバを使い、CE/EA を x と置きます。内部の点なので x は正です。

(3/5)・x・(4/3) = 1
(4/5)x = 1
x = 5/4

よって CE:EA = 5:4 です。次は三角形 ACD と一直線上の B、P、E に注目します。AE/EC = 4/5 であり、BC/BD は (3 + 5)/3 = 8/3 です。AP/PD を y とすると DP/PA = 1/y です。

(1/y)・(4/5)・(8/3) = 1
32/(15y) = 1
y = 32/15

したがって AP:PD = 32:15 です。答えを戻すと、辺の比は (3/5)・(5/4)・(4/3) = 1 です。交点についても (15/32)・(4/5)・(8/3) = 1 です。BC/BD の分子を DC として 5/3 にすると、横切る直線の外分点 B から C までの距離を使っていないことになります。

同じ問題で AP/PD だけを求めるなら、F の比から E の比を得て、それを小三角形へ渡す2段階です。F を含まない三角形 ACD に最初から AF/FB を入れることはできません。計算の途中に出てきた CE/EA が、2つの三角形をつなぐ情報です。

発展：交点の位置から元の辺に戻る

三角形 ABC の辺 BC 上に BD:DC = 4:3 となる D を取ります。辺 CA の内部の点 E と AD、BE の交点 P について AP:PD = 7:2 です。直線 CP と辺 AB の交点を F とするとき、CE:EA と AF:FB を最も簡単な整数の比で求めてください。

今度は交点の比が先に与えられています。したがって、P を辺に含む三角形 ACD を先に使います。B、P、E は一直線上で、B は辺 CD の D 側の延長上です。BC/BD = 7/4、DP/PA = 2/7 です。AE/EC を t とします。

(2/7)・t・(7/4) = 1
(1/2)t = 1
t = 2

AE/EC = 2 ですから CE:EA = 1:2 です。元の三角形 ABC に戻り、AD、BE、CF が P で交わることからチェバの定理を使います。AF/FB を u と置くと次のようになります。

(4/3)・(1/2)・u = 1
(2/3)u = 1
u = 3/2

よって AF:FB = 3:2 です。求めた値を元の配置に戻すと、(2/7)・(2/1)・(7/4) = 1、(4/3)・(1/2)・(3/2) = 1 です。E と F の比は正なので、どちらも指定された辺の内部にあります。

順序が基本例題と逆になったことが、この問題の分かれ目です。未知の E が P と同じ一直線上にあるので、まずメネラウスで E を求めます。その後、P で交わる3直線の情報を使い F を求めます。定理の名前の順序を固定して覚えるのではなく、与えられた比と求めたい比がどの三角形に属するかを見ます。

比を逆にした誤答を直す

図3のように、基本例題の三角形 ACD に直線 BPE が交わる場面を考えます。BD:DC = 2:3 なら、B、D、C の順に並ぶので BC:BD = 5:2 です。ここで BC:BD を 3:2 としてしまう誤答があります。

原因は、C から B までの線分を C から D までの線分と取り違えたことです。図3では CD と DB を合わせて CB になることを線上の点の順で確認します。外分点 B を使う項は CB/BD であり、CD/BD ではありません。

もう1つの誤答は、正しい3つの比のうち1つだけを逆にすることです。例えば (DP/PA)・(EC/EA)・(CB/BD) = 1 と置くと、辺 DA、AC、CD を一方向に巡る並びが崩れます。式の前に D→A→C→D と書き、各辺で始点から交点、交点から終点の順に線分を選べば修正できます。3つ全部を逆数にした式も積は1ですが、1つだけを反転してはいけません。

外分点の位置を変えたときは、同じ文字の式をそのまま流用しません。どの点がどの辺の延長上にあるかを描き直し、外分点の数と分母が正であることを確かめてから、選んだ三角形を巡ります。3点が一直線にない場合、メネラウスの等式を根拠なく使うこともできません。

練習：まず図に三角形を囲む

いずれも三角形 ABC は非退化です。辺 BC、CA、AB の内部にそれぞれ D、E、F を取り、AD、BE、CF は P で交わります。各比は最も簡単な整数の比で答えてください。各問は独立しています。

BD:DC = 1:4、CE:EA = 2:3 のとき、AF:FB を求めてください。
BD:DC = 5:2、AF:FB = 3:5 のとき、CE:EA を求めてください。
BD:DC = 3:2、CE:EA = 4:5 のとき、AP:PD を求めてください。
BD:DC = 2:5、AP:PD = 7:3 のとき、CE:EA を求めてください。
BD:DC = 1:2、AP:PD = 9:4 のとき、CE:EA と AF:FB を求めてください。

練習の答えと道筋

チェバの定理で AF/FB を x とすると、(1/4)・(2/3)・x = 1 です。よって x/6 = 1、x = 6 となり、答えは 6:1 です。元の比に戻すと (1/4)・(2/3)・(6/1) = 1 です。正の比なので F は辺 AB の内部です。
CE/EA を x とすると、(5/2)・x・(3/5) = 1 です。(3/2)x = 1 なので x = 2/3、答えは 2:3 です。元の共点の条件に戻すと (5/2)・(2/3)・(3/5) = 1 です。逆数の 3:2 を入れると積が1にならないことでも向きを確かめられます。
三角形 ACD と直線 BPE を使います。BC/BD = 5/3、AE/EC = 5/4 です。AP/PD を y とすると、(1/y)・(5/4)・(5/3) = 1、25/(12y) = 1、y = 25/12 です。答えは 25:12 です。戻すと (12/25)・(5/4)・(5/3) = 1 で、指定された辺の比と交点の比が両立します。
同じ小三角形で BC/BD = 7/2、DP/PA = 3/7 です。AE/EC を t とすると、(3/7)・t・(7/2) = 1、3t/2 = 1、t = 2/3 です。求める向きは CE/EA なので、答えは 3:2 です。元に戻すと (3/7)・(2/3)・(7/2) = 1 です。
BC/BD = 3、DP/PA = 4/9 です。AE/EC を t とすると、(4/9)・t・3 = 1、4t/3 = 1、t = 3/4 です。したがって CE:EA = 4:3 です。続いて AF/FB を u とすると、(1/2)・(4/3)・u = 1、(2/3)u = 1、u = 3/2 です。答えは CE:EA = 4:3、AF:FB = 3:2 です。元の条件へ戻すと (4/9)・(3/4)・3 = 1、(1/2)・(4/3)・(3/2) = 1 です。

手元に残す4行

共点の3直線にはチェバ、一直線の3点にはメネラウスを考えます。
交点の比は、その交点を辺上に含む小三角形を探します。
各辺の比は三角形を同じ向きに巡って並べます。
外分点と辺全体の位置を確認し、答えを元の条件に戻します。

図に線は引けても式が立たないときは、求める線分に色を付け、その線分を辺に含む三角形を指で囲んでみます。次に、その三角形に対して3本の直線が共点なのか、3点が共線なのかを言葉にします。比の式が立った後で答えが合わないときは、分子と分母の端点を図で順に示し、辺全体と延長部分を取り違えていないか調べます。

個別に確かめる場面では、三角形 ACD を選んだ理由と、B が CD の延長上にある理由を本人の言葉で説明してもらいます。さらに CE/EA を求めた後に AE/EC が必要な理由を尋ねると、逆数を取る場所を区別できているかが見えます。図の選択と比の向きを結び付ければ、途中の値を次の三角形へ渡せます。