武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学A メネラウスの定理の証明—平行な補助線から一直線の三点の比を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

横切る直線と辺の延長を追い、平行な補助線によるメネラウスの証明から共線の条件を引き出します。

よくあるのは、高1が三角形の外側にある短い線分を、頂点から外分点までの線分全体と取り違える場面です。図に数字を書き入れて式を作ったつもりでも、線分の端点を見直すと、足すべき部分が残っていることがあります。点の並びを言葉にしてから比を作れば、その違いを式に残せます。

一直線から何を取り出すか

メネラウスの定理は、三角形の3辺またはその延長を1本の直線が横切るとき、3組の長さの比を結びます。長さを求める問題では、まず三角形を決め、直線が各辺のどこを横切るかを見ます。2つの比が与えられれば、残る比を求め、辺全体や延長部分の長さに戻します。

別の型では、3点が一直線上にあることを示します。このときは定理の逆を使います。ただし、数の積が1になることに加え、点がそれぞれ対応する辺の直線上にあり、外分点の個数が適切であることも必要です。長さだけ見て位置を省くと、同じ比の内分点と外分点を区別できません。

証明を問われたら、式を暗記して終えるのでなく、平行線で3つの比をどう打ち消すかを説明します。点の順序を決めると、相似で対応する長さも追いやすくなります。

平行線がつなぐ3つの比

つぶれていない三角形 ABC を考えます。D は辺 BC の内部、E は辺 CA の内部、F は辺 AB を B の先へ延長した直線上にあり、D、E、F は一直線上とします。図1のように、外分点は F の1つで、A、B、F の順です。線分の記号は向きを持たない正の長さを表します。

図1のように C を通り直線 EF に平行な直線を引き、直線 AB との交点を G とします。G は B と F の外側、F の先にあります。平行線から、三角形 AEF と ACG は相似です。また三角形 BDF と BCG も相似です。対応順を守ると、次の2式を得ます。

AE/EC = AF/FG
BD/DC = BF/FG

第1式は相似から AE/AC = AF/AG とし、残りの部分を比べて得ます。第2式は BD/DC = BF/FG です。これらを使えば、循環する順の積は次のように1になります。

(BD/DC)・(CE/EA)・(AF/FB)
= (BF/FG)・(FG/AF)・(AF/BF)
= 1

この式が、無向の正の長さで書いたメネラウスの定理です。辺 BC、CA、AB を B から C、C から A、A から B の順にたどると、各点までの長さが隣り合ってつながります。比を1つ逆にすると打ち消しが崩れます。

外分点が3つの場合も、同じ積が1です。例えば D が C の先、E が C の先、F が A の先にある場合、C を通る EF の平行線と AB の交点を G とすると、G は A の先かつ F の手前です。相似から AE/EC = AF/FG、BD/DC = BF/FG が再び成り立ちます。前者は対応する辺を足し、後者は対応する辺の差をとって得ます。したがって同じ消去が使えます。3点が頂点に重なる場合や、辺の直線と平行で交点がない場合は、この式の条件に入りません。

逆については、D、E、F がそれぞれ辺 BC、CA、AB の直線上で頂点と異なり、外分点が1つまたは3つで、上の積が1なら共線です。ここでは直線 DE と直線 AB が平行でないことも確認して使います。直線 DE と直線 AB の交点を F′ とします。交点が頂点 A または B なら、D または E も頂点に重なり、仮定に反します。

交点 F′ が存在するとき、定理を D、E、F′ に適用し、AF′/F′B = AF/FB を得ます。外分点の数が1または3という条件により、F と F′ はともに内分点か、ともに外分点です。同じ正の比で線分 AB を内分する点、または外分する点はそれぞれ一意ですから F = F′ です。よって D、E、F は一直線上にあります。逆を使う際は、この非平行条件を先に確かめます。

基本例題：延長した部分を求める

三角形 ABC で、D は BC の内部、E は CA の内部、F は AB を B の先へ延長した点です。D、E、F は一直線上にあり、BD = 4、DC = 6、CE = 3、EA = 5、AB = 14 です。BF の長さを既約分数で求めてください。

図2のように A、B、F の順なので、BF を x とすると AF は 14 + x です。x は正です。定理の条件を満たすので、比を代入します。

(4/6)・(3/5)・((14 + x)/x) = 1
(2/5)・((14 + x)/x) = 1
2(14 + x) = 5x
28 + 2x = 5x
3x = 28
x = 28/3

したがって BF = 28/3 です。図2で求めた短い外側の部分に AB を足すと AF = 70/3 です。元の比に戻すと、(4/6)・(3/5)・((70/3)/(28/3)) = 1 です。さらに AF − BF = 14 となり、与えられた AB に戻ります。AF を x と置いてしまうと、点の順序に合いません。

標準例題：辺全体から内分長へ

三角形 PQR で、S は QR の内部、T は RP の内部、U は PQ を Q の先へ延長した点です。S、T、U は一直線上にあり、QT ではなく RT = 4、TP = 6、PQ = 12、QU = 8、QR = 21 とします。QS と SR をそれぞれ既約分数で求めてください。

P、Q、U の順ですから PU = 12 + 8 = 20 です。外分点は U の1つで、定理を使えます。QS = y とすると SR = 21 − y で、0 < y < 21 です。

(y/(21 - y))・(4/6)・(20/8) = 1
y/(21 - y) = 3/5
5y = 3(21 - y)
5y = 63 - 3y
8y = 63
y = 63/8
21 - y = 105/8

答えは QS = 63/8、SR = 105/8 です。どちらも正で和は 168/8 = 21 です。QS/SR = 3/5 を元の積に戻すと (3/5)・(4/6)・(20/8) = 1 です。さらに PU − QU = 12 なので、与えられた辺全体も再現します。比だけで止めず、問題が求める2本の長さまで戻しましょう。

発展例題：3つの外分点で共線を示す

三角形ABCの3辺をBC = 6、CA = 8、AB = 10とします。DをBCのC側の延長にCD = 2となるように、EをCAのC側の延長にCE = 8となるように、FをABのA側の延長にAF = 10となるように取ります。D、E、Fが一直線に並ぶことを証明してください。

外分点は3つです。点の順序はB、C、Dと、A、C、Eと、F、A、Bなので、端点間の距離を足してから比を作ります。

BD = BC + CD = 8
EA = EC + CA = 16
FB = FA + AB = 20
(BD/DC)・(CE/EA)・(AF/FB)
= (8/2)・(8/16)・(10/20)
= 1

直線DEがABに平行なら、Cを頂点とする相似からCD/CBとCE/CAが等しくなるはずです。しかしCD/CB = 1/3、CE/CA = 1なので平行ではありません。3点はいずれも頂点と異なり、外分点が3つで比の積も1です。メネラウスの定理の逆を使う条件がそろうため、D、E、Fは共線です。

長さを戻すと、8 − 2 = 6、16 − 8 = 8、20 − 10 = 10となり、元の3辺を保っています。6² + 8² = 10²なので三角形も成立します。外分点の位置と数値を最初から最後まで固定して証明しました。

誤答を線分に戻して直す

図3のように A、B、F の順で AB = 9、BF = 3 とします。「AF = 9 − 3 = 6」とするのが誤答です。引き算の形を覚えていても、B が A と F の間にある事実と合いません。

図3では AB と BF が重ならずにつながり、AF 全体を作ります。したがって AF = 9 + 3 = 12 です。逆に AF と BF が与えられて AB を求める場合は、AB = AF − BF と引きます。足すか引くかは「外分だから」で決めず、真ん中の点を先に確定します。

もう1つの誤りは、外分点を含む3つの比を一部だけ逆にして積を1と置くことです。式を書く前に B→D→C、C→E→A、A→F→B の順に端点を並べ、分子と分母の位置を見比べます。比をすべて逆にした式も積は1ですが、1つだけ逆にした式は一般には成り立ちません。

練習：位置を読み取ってから式にする

以下の長さは同じ単位で測ります。比や長さは既約分数で答えてください。各三角形はつぶれておらず、記載した3点以外の頂点との重なりはありません。

三角形 ABC で D、E はそれぞれ BC、CA の内部、F は AB の B の先にあり、3点は共線です。BD = 3、DC = 5、CE = 4、EA = 6、AB = 12 のとき BF を求めてください。
同じ配置で BD = 2、DC = 7、CE = 5、EA = 3、BF = 4 のとき AB を求めてください。
同じ配置で BD = 5、DC = 4、AF = 21、FB = 6、CA = 20 のとき CE と EA を求めてください。
三角形 ABC で D は BC の内部、E は CA の内部、F は AB の B の先です。BD = 2、DC = 3、CE = 3、EA = 4、AB = 8、BF = 8 のとき、3点の共線を証明してください。
三角形 ABC で D は BC の C の先、E は CA の C の先、F は AB の A の先です。BC = 4、CD = 1、CA = 9、CE = 3、AB = 6、AF = 6 のとき、3点が共線か判定してください。

解答と確かめ

BFをxとすると、AF = 12 + xです。(3/5)・(4/6)・((12 + x)/x) = 1より、2(12 + x) = 5x、3x = 24となり、BF = 8です。AF = 20なので、比の積は(3/5)・(4/6)・(20/8) = 1、長さの差は20 − 8 = 12です。三角形の3辺は8、10、12で、どの2辺の和も残る辺より大きくなります。
AF/BF = (7/2)・(3/5) = 21/10 です。BF = 4 より AF = 42/5、AB = 42/5 − 4 = 22/5 です。AB + BF = 42/5 で、元の積も (2/7)・(5/3)・((42/5)/4) = 1 です。
CE/EA = (4/5)・(6/21) = 8/35です。CA = 20を比の和43で分けるので、CE = 160/43、EA = 700/43です。和は860/43 = 20、比は8/35で、(5/4)・(8/35)・(21/6) = 1に戻ります。BC = 5 + 4 = 9、AB = 21 − 6 = 15ですから、3辺9、15、20の三角形も成立します。
AF = 8 + 8 = 16 です。積は (2/3)・(3/4)・(16/8) = 1 です。D、E が辺の内部にあるので DE が AB に平行なら BD/DC = AE/EC = 4/3 のはずですが、実際は 2/3 です。非平行であり、外分点は F の1つなので逆により共線です。AF − BF = 8 も元の条件と一致します。
BD = 5、EA = 12、FB = 12 です。積は (5/1)・(3/12)・(6/12) = 5/8 です。1ではないため、定理の対偶から共線ではありません。BD − CD = 4、EA − CE = 9、FB − AF = 6 と、元の3辺に戻ります。積が1でない場合には逆を使う必要はありません。

外分の比が1になったら位置を見直す

メネラウスの式から得た比でも、指定された位置に点を置けるかを確認します。A、B、Fの順でAB = 10とし、BF = tと置くなら、t > 0でAF = 10 + tです。したがってAF/FB = (10 + t)/t = 1 + 10/tとなり、この比は必ず1より大きくなります。計算結果が1以下なら、FをBの先に置く条件とは両立しません。

例えば、D、Eが辺の内部にあり、BD/DC = 3/4、CE/EA = 4/3だとします。3点が共線でFがBの先なら、定理からAF/FB = 1が必要です。しかしAF = FBなら、両者の差であるABが0になり、つぶれていない三角形という条件に反します。この場合、Fまでの距離を大きくすれば比を1に近づけられても、有限の位置で1にはできません。

実際、BD/DC = AE/EC = 3/4なので、平行線と線分の比の関係からDEはABに平行です。直線DEとABに交点がないことが、比からもわかります。逆を使う証明で非平行を確かめる理由は、こうした配置を除くためです。値が合わないときは比を逆に書き替えて済ませず、どの側の延長に点を取ったかと、交点が存在するかを図へ戻します。正の長さの比には、点の順序から生じる大小の制限も伴っています。