高校数学I 二次関数の頂点から係数決定—軸や最小値の条件に合う式の形を選び直す｜武蔵野個別指導塾

頂点と通過点、軸と2点、最小値の条件から式を組み立て、係数が0になる場合と情報が重複する場合を見分けます。

よくあるのは、復習中に「最小値が決まったのだから頂点も決まる」と考えてしまう場面です。最小値は頂点の高さを教えますが、それを取る横の位置までは教えません。頂点が横に動けば、同じ高さで最小になる放物線は何通りも描けます。与えられた条件が頂点のどの座標を決めるのかを読み、足りない情報を残したまま式にすることから始めます。

条件をどう式へ移すか

係数決定には、まず頂点と1点が与えられる型があります。頂点の座標が両方わかれば、頂点を表す形にして、残った係数を点の代入で求めます。点が頂点と同じときは、新しい条件を与えないので、係数が決まるとは限りません。

次に、軸と2点が与えられる型があります。軸が決めるのは頂点の横座標です。縦座標と開き方を文字で残し、2点の代入で得た連立方程式を解きます。2点が軸から等距離なら、対応する高さが等しいかどうかで条件の不足と矛盾を分けます。

さらに、最小値と点などから候補を絞る型もあります。最小値には開き方の符号が関係し、計算で得た候補がその符号を満たすかを調べる必要があります。ここでは定義域を特に指定しない限り、x はすべての実数を動くものとします。限られた区間の最小値なら端で最小になることもあり、最小値をそのまま頂点の高さとすることはできません。

使う復習は平方完成と連立一次方程式です。3点から一般形の係数を決める問題はここでは扱いません。条件の読み取りに応じて形を選ぶことに集中します。

頂点の高さと横の位置

二次関数は y = ax² + bx + c で表され、a は0でない実数です。平方完成すれば y = a(x − p)² + q と表せます。この形では頂点が (p, q)、対称の軸が直線 x = p です。括弧の中は x − p なので、頂点の横座標の符号をそのまま括弧内に写さないようにします。

図1のように、軸が指定されると p が定まり、頂点の高さ q は残ります。最小値が指定されると、全実数を定義域とする場合は a > 0 で、q がその値です。しかし p は残ります。例えば最小値が2という情報は、(x − 1)² + 2 と (x + 3)² + 2 のどちらにも合います。頂点はそれぞれ (1, 2)、(-3, 2) で異なります。

図1のように、2種類の情報を合わせて初めて頂点の両座標が決まります。それでも a は未定です。頂点以外の点を1つ使えば、頂点からの横の差の2乗が0でないため、a を割り算で求められます。

一般に頂点 (p, q) をもち点 (r, s) を通るとき、s = a(r − p)² + q です。r ≠ p なら a = (s − q)/(r − p)² となります。ここで s = q なら a = 0 なので二次関数は存在しません。r = p なら、s = q のとき点は頂点そのもので a は決まらず、s ≠ q のとき同じ x に異なる y を要求するため存在しません。この3つを分母で割る前に見分けます。

基本例題：頂点と通過点

頂点が (2, -1) で、点 (4, 7) を通る二次関数を求め、展開した式でも答えてください。係数は整数または分数で表します。

頂点がわかるので、a ≠ 0 として頂点の形から始めます。頂点の横座標が2、高さが-1であることを式に移すと、

y = a(x - 2)² - 1

です。点 (4, 7) を通る条件として x = 4、y = 7 を代入し、1行ずつ整理します。

7 = a(4 - 2)² - 1
7 = 4a - 1
8 = 4a
a = 2

2は0でないので二次関数の条件を満たします。したがって頂点の形と展開した形は次の通りです。

y = 2(x - 2)² - 1
y = 2(x² - 4x + 4) - 1
y = 2x² - 8x + 7

図2のように、頂点から右へ2進んだ点の高さは8上がります。これは 2・2² = 8 と対応します。求めた式に x = 2 を戻すと y = -1 で、2(x − 2)² は常に0以上なのでそこが頂点です。x = 4 では y = 2・4 − 1 = 7 となり、通過点にも戻ります。展開後の式でも x = 4 なら 32 − 32 + 7 = 7 です。

図2のように頂点と点を結ぶ線は差を示しています。放物線そのものを直線と見なすわけではありません。高さの差を横の差で割るのでなく、その2乗で割るところが一次関数との違いです。

点を代入する前に、座標の順番にも注意します。(4, 7) は x が4、y が7です。逆に入れると別の点を通る条件になり、計算自体が正しくても元の問題には答えられません。求めた後の代入は、この取り違えを見つけるためにも役立ちます。

また、頂点と通過点の高さの差が負なら、横の差の2乗は正なので a は負になります。放物線は下に開き、頂点は最大の高さです。頂点という言葉だけから最小と判断せず、係数の符号を見ます。頂点以外の点と高さが等しい場合には a が0になり、二次関数を作れません。

標準例題：軸と2点を使う

軸が x = -1 で、2点 (1, 5)、(2, 15) を通る二次関数を求めてください。係数は整数または分数で表します。

軸から頂点の横座標は-1ですが、高さは未定です。そこで a ≠ 0 として、頂点の高さを q と置きます。

y = a(x + 1)² + q
5 = 4a + q
15 = 9a + q

下の2式を引けば q が消えます。そこから a を出し、どちらかの式へ戻します。

15 - 5 = (9a + q) - (4a + q)
10 = 5a
a = 2
5 = 4・2 + q
q = -3

よって y = 2(x + 1)² − 3、展開すれば y = 2x² + 4x − 1 です。a = 2 は0でなく、確かに二次関数です。軸は x = -1、2点での値はそれぞれ 2・4 − 3 = 5、2・9 − 3 = 15 となり、元の条件に戻ります。

2点の横座標が異なるだけでは、この連立方程式が必ず解けるとは限りません。軸 x = p からの距離の2乗が等しいと、2つの代入式で a の係数が同じになるからです。高さも等しければ2式は同じ条件であり、a を自由に選んで q を調整できます。高さが異なれば同じ左辺を異なる値にすることになり、条件に合う関数はありません。計算が途中で 0 = 0 になったときと 0 = 1 になったときは、同じ「係数が消えた」場合でも結論が異なります。

発展例題：最小値と点を合わせる

全実数で最小値が1であり、2点 (0, 5)、(4, 5) を通る二次関数を求めてください。係数は整数または分数で表します。

最小値があるので a > 0、頂点の高さは1です。ただし横座標はまだわかりません。そこで頂点の横座標を p と置きます。

y = a(x - p)² + 1
5 = ap² + 1
5 = a(4 - p)² + 1

2つの条件を引きます。a > 0 なので a で割れます。

ap² = a(4 - p)²
p² = (4 - p)²
p² = 16 - 8p + p²
8p = 16
p = 2

同じ高さの2点の中点が軸になるという図の性質を、式でも確かめたことになります。p = 2 を最初の点の条件に戻します。

5 = a・2² + 1
4 = 4a
a = 1

答えは y = (x − 2)² + 1、つまり y = x² − 4x + 5 です。a = 1 > 0 で、平方部分は0以上、x = 2 で0なので最小値は確かに1です。x = 0 と x = 4 では共に5となり、両方の点に戻ります。

標準例題では軸が最初から与えられ、a と高さが未知でした。発展例題では高さは既知ですが軸が未知です。高さの等しい2点から軸を決めるという一手が増えます。高さの異なる2点なら中点を軸に置くことはできず、代入した式から条件を整理します。

誤答を修正する

最小値が1という条件だけで「頂点は (0, 1)」とするのは誤りです。原因は、高さと横の位置を同じ情報として扱ったことです。図3のように、頂点の高さが同じでも軸をずらせます。

図3では、共通の座標軸で y = x² + 1 と y = (x − 2)² + 1 を比べます。頂点はそれぞれ (0, 1)、(2, 1) で、最小値はともに1です。両曲線は x = 1 で同じ高さ2を通ります。修正するときは最小値を q に入れ、横座標 p を文字のまま残して他の条件を使います。

別の誤りは、計算結果 a = 0 をそのまま採用することです。例えば頂点 (1, 3) と点 (2, 3) を条件とすると、3 = a(2 − 1)² + 3 から a = 0 です。しかし y = 3 は定数関数であり二次関数ではありません。式を満たす数値が出ても、問題の求める種類に合わなければ不適です。

逆に、頂点 (1, 3) を指定して同じ点 (1, 3) を通るという条件なら、3 = a・0² + 3 は任意の a で成り立ちます。a ≠ 0 の範囲で無数にあり、存在しない場合と区別します。式が決まらない理由を「情報が重複している」と説明できるかが判断の目安です。

連立式が矛盾したときは、計算ミスと決めつけず、図の対称性に戻ります。軸から等距離の2点で高さが異なる条件は、どの開き方でも同時には満たせません。一方、同じ高さなら2点が同じ情報を繰り返しているため、開き方を変える余地が残ります。

練習問題

各問の定義域は全実数です。式を求める問いでは、係数を整数または分数で表してください。存在しない場合や一意に決まらない場合は、その理由も答えてください。

1. 頂点が (-2, 3) で、点 (0, -5) を通る二次関数を求めてください。
2. 軸が x = 2 で、2点 (3, 4)、(5, 20) を通る二次関数を求めてください。
3. 最小値が-2で、2点 (-3, 7)、(3, 7) を通る二次関数を求めてください。
4. 頂点が (4, -1) で、点 (6, -1) を通る二次関数は存在しますか。
5. 軸が x = 1 で、2点 (0, 6)、(2, 6) を通る二次関数をすべて求めてください。

練習の答えと道筋

1. y = a(x + 2)² + 3 に (0, -5) を代入します。

-5 = 4a + 3
-8 = 4a
a = -2

答えは y = -2(x + 2)² + 3 です。a ≠ 0 で、頂点は (-2, 3)、x = 0 の値は -8 + 3 = -5 です。下に開くので3は最大値ですが、問題は最小値を要求していません。

2. y = a(x − 2)² + q と置いて2点を代入します。

4 = a + q
20 = 9a + q
16 = 8a
a = 2
q = 2

答えは y = 2(x − 2)² + 2 です。軸は x = 2 で、x = 3 なら4、x = 5 なら 18 + 2 = 20 となり、2点を通ります。

3. 最小値より a > 0 として y = a(x − p)² − 2 と置きます。2点を代入して引くと、

9 = a(-3 - p)²
9 = a(3 - p)²
(-3 - p)² = (3 - p)²
9 + 6p + p² = 9 - 6p + p²
12p = 0
p = 0
9 = 9a
a = 1

答えは y = x² − 2 です。x = 0 で最小値-2を取り、x = -3 と x = 3 のどちらでも値は7です。

4. y = a(x − 4)² − 1 に点を代入すると、-1 = 4a − 1、したがって a = 0 です。二次係数が0になってしまうため、そのような二次関数は存在しません。定数関数 y = -1 は通過条件を満たしても、求める関数の種類に合いません。

5. y = a(x − 1)² + q に2点を代入すると、どちらも 6 = a + q です。よって q = 6 − a で、答えは y = a(x − 1)² + 6 − a、ただし a ≠ 0 です。軸から両点までの距離は共に1で、両方の値は a + 6 − a = 6 です。0でない a を変えると異なる二次関数になるので、一意には決まりません。

要点を手元に残す

頂点 (p, q) なら y = a(x − p)² + q と置き、a ≠ 0 を忘れません。
全実数での最小値は、a > 0 のとき頂点の高さ q です。
軸だけでは頂点の高さは決まらず、点を代入して残りを求めます。
条件が重複する場合、矛盾する場合、a = 0 となる場合を区別します。
最後に軸・頂点・通過点・符号を元の条件へ戻します。

式が決まらないときの見分け方

最初の式にすぐ数を入れられない場合は、頂点の横座標、縦座標、二次係数の3つを並べ、条件から決まったものに印を付けます。最小値しか使っていないのに横座標にも印が付いたなら、情報を補っていないか見直します。点を代入した後で係数が消えたなら、残る等式が成り立つのか矛盾するのかを確かめます。

個別指導では、軸を紙に描いて2点までの距離を比べ、代入式のどの項が等しくなるかを本人の言葉で説明できるか確認します。求めた式から指定点の値を再計算し、頂点の位置と開く向きも条件に戻せれば、式の形を選んだ理由までたどれます。頂点の高さと位置を分けて読むことが、係数決定の出発点です。