高校数学I 正弦定理と余弦定理の選択—既知量を書き出して目的までの計算経路を比べる｜武蔵野個別指導塾

既知の辺と対角の組を探し、正弦定理と余弦定理の入口を選びます。SSAでは補角の候補と残る角も点検します。

よくあるのは、三角形の問題を前にした高校生が、覚えた公式を順番に試し、未知数の増えた式を何本も書く場面です。式が正しくても、求めたい量に近づくとは限りません。まず図に既知の辺と角を記し、対になった辺と角、あるいは2辺とその間の角を探します。使える公式を列挙する前に、1回の計算で何が得られるかを見通しましょう。

三角比、正弦定理、余弦定理を用いる数学Iの図形と計量の範囲で、条件の組合せを比べます。ここでは三角形を決める経路に注目し、個々の公式の導出は扱いません。

与えられた情報を仕分ける

辺3本から指定された角を求めるとき、角はまだ1つもありません。正弦定理に辺とその対角の組を入れようとしても、未知の正弦が残ります。3辺を結ぶ余弦定理なら、目的の角の余弦が直接得られます。

一方、1辺とその両端の角があるときは、内角の和から残りの角を出し、正弦定理で別の辺へ進めます。2辺と1角でも、その角が2辺の間にある場合と、一方の辺の向かいにある場合では事情が異なります。後者には三角形が2通り成立することも、成立しないこともあります。

どの公式を選ぶかに加え、答えが何通り必要かも問いに含まれています。計算の前に「辺と対角の組があるか」「間の角があるか」「残りの角が正か」を小さく書き出すと、判断の根拠を後からたどれます。

対応と入口を図に記す

三角形 ABC で、角 A、B、C の向かいの辺をそれぞれ a、b、c とします。つまり a = BC、b = CA、c = AB です。三角形の各角は 0°より大きく 180°より小さく、内角の和は 180°です。辺は正の長さです。

正弦定理の辺と対角の対応は a/sin A = b/sin B = c/sin C です。三角形の内角の正弦は正なので、ここでの分母は 0 ではありません。たとえば a と A が既知で B もわかれば、b を求める式に未知数は1つだけ残ります。角 B が未知なら、その正弦を求めた後に角の候補を調べる必要があります。

余弦定理の一例は a² = b² + c² − 2bc cos A です。a の向かいが A で、b と c が角 A を挟みます。b、c、A が既知なら a² を求め、辺の正値を選びます。a、b、c が既知なら式を cos A について整理できます。ただし3本の長さが三角形を作ることを先に確かめます。

図1のように、既知量の形から最初の一歩を決めます。SSS は3辺、SAS は2辺とその間の角、ASA は1辺とその両端の角、SSA は2辺と一方の対角を表す略号です。これは計算の入口を整理する名前であり、SSA が常に1つの三角形を定めるという意味ではありません。

図1の右側で SSA から候補の確認へ進むのは、同じ正弦をもつ鋭角と鈍角があるためです。正弦の値が 1 を超えれば角は存在しません。値が 1 以下でも、候補と既知の角の和が 180°以上なら残る角は正にならず、その候補は使えません。

例えば角 A と辺 a、b が既知なら sin B = b sin A / a です。この値が 0 より大きく 1 より小さい場合、B の候補は鋭角とその補角です。候補ごとに C = 180° − A − B を調べます。sin B = 1 なら B は 90°の1候補であり、残る角も確認します。数値が正でも角の和を通らなければ、元の三角形の答えにはできません。

SSA の候補確認では、正弦の値が 0 以下の場合も内角の条件に合いません。また、与えられた辺の長さが 0 以下なら、公式を使う以前に三角形の辺として採用できません。条件を書き出す段階で長さと角の範囲を点検すれば、存在しない図を前提に計算することを避けられます。

SSS で三角不等式が等号になる場合も注意します。最も長い辺が他の2辺の和に等しければ3点は一直線上に並び、面積のある三角形にはなりません。例えば長さ 2、3、5 は辺としてそれぞれ正ですが、2 + 3 = 5 なので三角形を作りません。この段階では角を出す式へ進まず、成立しないと結論します。

基本例題：間の角から残る辺へ

三角形 ABC で b = 5、c = 8、A = 60°です。辺 a を根号を用いて求めてください。

図2のように、既知の2辺が角 A を挟んでいます。向かいの辺 a を求めるため、余弦定理を直接使います。正弦定理では既知の辺とその対角の組がまだありません。

a² = b² + c² - 2bc cos A
a² = 5² + 8² - 2・5・8・(1/2)
a² = 25 + 64 - 40
a² = 49
a = 7

長さなので負の平方根は選びません。答えは a = 7 です。三角不等式も 5 + 7 > 8、5 + 8 > 7、7 + 8 > 5 と成り立ちます。求めた長さを元に戻すと、cos A = (5² + 8² − 7²)/(2・5・8) = 1/2 です。内角の範囲で A = 60°となり、与えられた角と一致します。

別の経路として、3辺がそろった後で角 B の余弦を求め、正弦を経て正弦定理に戻すこともできます。しかし未知の角を先に作る手数が必要です。最初に使える式と、最も短い式を混同せず、目的の辺に直接届く余弦定理を選びます。

標準例題：角を補って対応を作る

三角形 PQR で PQ = 6、角 P = 45°、角 Q = 90°です。辺 PR を根号を用いて求めてください。

PQ の対角 R はまだ未知ですが、2角の和から定まります。角 Q の対辺が PR なので、PQ と R、PR と Q を組にして正弦定理を使います。

角 R = 180° - 45° - 90°
角 R = 45°
PR/sin 90° = 6/sin 45°
PR = 6・1/(√2/2)
PR = 6√2

答えは 6√2 です。元の比に戻すと PR sin 45° = 6 sin 90° です。さらに直角三角形なので、残る辺 QR は PQ と同じ 6 です。三平方の定理でも PR² = 6² + 6² = 72 と得られ、別の経路で答えを確かめられます。最初に余弦定理を試すより、内角和で対応を完成させる方が直接的です。

発展例題：対角から候補を数える

三角形 ABC で A = 30°、a = 4、b = 4√2 です。成立する三角形の角 B と辺 c を、角は度、辺は根号でそれぞれすべて求めてください。

既知の a と A は対になっています。正弦定理から角 B の正弦を得ますが、正弦の値だけで B を1つに決めません。

a/sin A = b/sin B
4/(1/2) = 4√2/sin B
sin B = √2/2

内角の範囲の候補は B = 45°、135°です。残りの角をそれぞれ確かめます。

B = 45° のとき C = 180° - 30° - 45° = 105°
B = 135° のとき C = 180° - 30° - 135° = 15°

両方とも C が正なので2通り成立します。c は余弦定理で直接求められます。既知の辺 b と、未知の辺 c の間の角が A です。

a² = b² + c² - 2bc cos A
16 = 32 + c² - 2・4√2・c・(√3/2)
c² - 4√6 c + 16 = 0
(c - 2√6)² = 8
c = 2√6 + 2√2 または 2√6 - 2√2

どちらも正です。大きい c の方は対角 C が 105°、小さい c の方は C が 15°に対応します。たとえば余弦定理で cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) を調べると、大きい根では √2/2、小さい根では -√2/2 です。したがって答えは、B = 45°、c = 2√6 + 2√2 と、B = 135°、c = 2√6 − 2√2 の2組です。

逆に a = 2、b = 6、A = 30°なら sin B = 3/2 となり、三角形は成立しません。また A = 60°、a = 4、b = 4 なら sin B = √3/2 ですが、B = 120°では C = 0°です。B = 60°だけが残ります。式が計算できた後にも、候補が図形の条件を満たすか調べる必要があります。

誤答を図に戻して直す

基本例題で「b = 5 は A の対辺だから 5/sin 60° = a/sin B」と置いたとします。この式は対辺の対応を取り違えています。角 A の向かいは BC であり、辺 a です。辺 b の向かいは角 B なので、正しくは a/sin A = b/sin B です。

図3のように各頂点から向かいの辺へ対応を引き直すと、A と b を組にできないことが見えます。正しい式にしても B は未知なので、基本例題の最初の一歩としては未知数が2つ残ります。余弦定理に切り替え、既知の b、c、A を使うのが適切です。

図3で線の色は対応を示し、辺の長さの大小を示すものではありません。式だけを眺めて直すより、頂点から向かいの辺を指して小文字を付けると、文字の入れ替えを発見しやすくなります。

もう1つの誤りは、SSA で sin B = √2/2 を見て B = 45°と決めることです。補角 135°も同じ正弦を持ちます。候補を両方書き、それぞれの残りの角が正かを確認してから、辺と組にして答えます。候補を増やすことと、成立する答えを増やすことは別の作業です。

練習：入口を選んで進む

各問で最初に使う定理と理由を記し、答えを指定された形で求めてください。

1. 三角形 ABC で b = 3、c = 7、A = 60°です。a を根号で求めてください。
2. 三角形 DEF で d = 5、e = 7、f = √39 です。角 F を度で求めてください。
3. 三角形 GHI で GH = 4、G = 30°、H = 90°です。GI を根号で求めてください。
4. 三角形 JKL で J = 30°、j = 3、k = 3√3 です。角 K の候補を度で、成立するものをすべて求めてください。
5. 三角形 XYZ で X = 30°、x = 2、y = 5 です。成立する三角形の個数を整数で求めてください。

練習の解答と確認

1. 2辺と間の角が既知なので余弦定理を使います。

a² = 3² + 7² - 2・3・7・cos 60°
a² = 9 + 49 - 21
a² = 37
a = √37

√37 は正で、4 < √37 < 10 なので三角不等式を満たします。戻すと (3² + 7² − (√37)²)/(2・3・7) = 1/2 で、指定の角に一致します。

2. 3辺が既知なので余弦定理で角 F を求めます。4 < √39 < 8 なので、3辺の和の条件を満たします。

(√39)² = 5² + 7² - 2・5・7 cos F
39 = 74 - 70 cos F
70 cos F = 35
cos F = 1/2
F = 60°

答えは 60°です。元の式に戻すと 25 + 49 − 70・(1/2) = 39 で、対辺の二乗と一致します。

3. 2角から残る角を求め、対角の対応がそろうので正弦定理を使います。

I = 180° - 30° - 90°
I = 60°
GI/sin 90° = 4/sin 60°
GI = 4・1/(√3/2)
GI = 8√3/3

元の比に戻すと GI sin 60° = 4 sin 90°です。角の和も 180°で、3角は正です。

4. 既知の辺 j と対角 J から正弦定理を使います。

sin K = k sin J/j
sin K = 3√3・(1/2)/3
sin K = √3/2

候補は 60°、120°です。残りの角 L はそれぞれ 90°、30°で、どちらも正です。答えは K = 60°、120°です。両方とも正弦定理に戻すと k/j = √3 となり、与えられた辺の比と一致します。

5. 既知の辺 x と対角 X から正弦定理を使います。

sin Y = y sin X/x
sin Y = 5・(1/2)/2
sin Y = 5/4

内角の正弦は 1 以下なので、この条件を満たす Y はありません。答えは 0 個です。もし三角形が存在すると仮定すれば sin Y = 5/4 を満たす必要があり、正弦の範囲に反するため、別の経路でも成立しません。

手元に残す要点

• SSS は三角形の成立を確認してから余弦定理で角へ進みます。
• SAS は挟まれた角の向かいの辺を余弦定理で求めます。
• ASA は残る角と対辺の組を作り、正弦定理で辺へ進みます。
• SSA は正弦の範囲、補角、残る角を調べます。
• 得た値を元の辺と角に戻し、別の経路でも照合します。

式が進まないときの見分け方

正弦定理の式に未知の角と未知の辺が同時に残るなら、既知の対角の組を取り違えたか、最初の入口が違うかを見直します。余弦定理で二次方程式が現れたときは、正の根を出した後にも、角の範囲と元の条件を確かめます。根の個数と成立する三角形の個数を、途中で同一視しないことが大切です。

個別指導で確かめるなら、公式を書き始める前の図に注目します。既知の辺をなぞり、各角の対辺を指して、何を求める式なのか言葉にします。候補が複数ある場合は図を分け、残りの角をそれぞれ書き込みます。計算経路は、既知量と目的の間にある橋として選べます。