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高校数学I 三角比を含む式の値—相互関係で式を整理して分母と値の範囲を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 図形と計量を掘り下げる

正弦と余弦の和や積から式を求め、約分の条件と実現できる値を三角比の式で読み解きます。

よくあるのは、分子と分母の両方に sin θ が見えるので、足し算の途中にある sin θ を消してしまう場面です。式の見かけは短くなりますが、元の式と同じ値とは限りません。三角比を含む式では、まず和と積の形を見て、使える関係を選びます。その後に分母や角の範囲を調べると、計算結果が元の条件に戻せるか判断できます。

どんな形に目を向けるか

sin θ と cos θ の積が与えられ、その和の二乗を求める問題があります。また、和が与えられたときに積や分数式を求める問題もあります。もう一つは、文字を含む条件が実際に三角比として成り立つかを判定する問題です。いずれも角度そのものを求める必要はありません。

学習範囲は、鋭角から鈍角までの三角比とその相互関係です。ここでは 0° 以上 180° 以下の角を扱い、加法定理は使いません。式を変形できることと、その式に代入できる角が存在することは別々に点検します。

和と積をつなぐ式

以下では s = sin θ、c = cos θ と置きます。対象の角では s² + c² = 1 です。また s は 0 以上、c は -1 以上 1 以下です。tan θ を用いる場合は c が 0 でないことが必要です。図1のように、和の二乗を展開すると、二乗の和と積が現れます。

(s + c)² = s² + 2sc + c²
          = 1 + 2sc
(s - c)² = s² - 2sc + c²
          = 1 - 2sc

図1の関係は、普通の多項式の展開と s² + c² = 1 から得られます。したがって和が既知なら、その二乗から積を求められます。積が既知なら和の二乗は求まりますが、和自体を求めるときは平方根の符号を選ばなければなりません。s + c は鈍角では負になることもあります。

積については、二乗が負にならないことから範囲も得られます。

(s - c)² = 1 - 2sc ≧ 0
(s + c)² = 1 + 2sc ≧ 0
-1/2 ≦ sc ≦ 1/2

端も含まれます。例えば 45° では sc = 1/2、135° では sc = -1/2 です。この範囲は必要条件です。さらに和の値を扱うときは s ≧ 0 も使います。実際、-1 ≦ s + c ≦ √2 です。上限は (s + c)² ≦ 2 と s + c の符号から従い、下限は s + c ≧ c ≧ -1 から従います。両端はそれぞれ 45° と 180° で実現します。

分数の約分では、分子と分母に共通する因数を探します。和の一部は因数ではありません。例えば (s + c)/s を c とすることはできず、s ≠ 0 のとき 1 + c/s と分けられます。因数を消すときも、その因数が 0 の場合を元の分母に戻して調べます。

和の条件が作る二つの値

和だけを知っていると、s と c のそれぞれが一意に決まるとは限りません。例えば和が 7/5 の場合、積は ((7/5)² − 1)/2 = 12/25 です。s = 3/5、c = 4/5 と入れ替えた s = 4/5、c = 3/5 のどちらも、和と積と二乗の和を満たします。それでも (s − c)² の値はどちらも 1/25 です。求めたいものが入れ替えに対して変わるかどうかを見ると、個々の値を決める必要があるか判断できます。

一方、s − c 自体は前者で -1/5、後者で 1/5 です。二乗の値が同じでも元の値は異なります。問題に θ が鋭角であるという条件を加えても、この二つはともに鋭角の三角比なので、符号は決まりません。s > c などの追加条件があれば正の方を選べます。条件不足を計算の失敗と取り違えず、複数の候補が実際に条件を満たすことを示すのが大切です。

また、与えられた和 t に対し、積は (t² − 1)/2 と表せます。しかし、この代入だけで任意の t が許されるわけではありません。例えば t = -6/5 とすると、積は 11/50 で積の範囲には入ります。それでも s ≧ 0、c ≧ -1 から s + c ≧ -1 なので、この和を持つ角は存在しません。積の範囲を通過する確認と、和そのものの範囲を通過する確認は役割が違います。

逆に t = 1 なら θ = 0° と 90° の両方で実現します。前者は s = 0、後者は c = 0 です。したがって、和が 1 という情報だけから s や c を分母にする操作はできません。分母が何であるかを元の式ごとに確認すると、端の角を誤って消さずに済みます。

基本例題：積から和の二乗へ

0° ≦ θ ≦ 180° で sin θ cos θ = 3/10 です。(sin θ + cos θ)² と sin θ + cos θ を、それぞれ根号を用いた正確な値で求めてください。

図2のように、まず積を和の二乗に移します。積が正なので、s ≧ 0 と合わせると s > 0、c > 0 です。したがって和も正です。

(s + c)² = s² + 2sc + c²
          = 1 + 2・3/10
          = 8/5
s + c = √(8/5)
      = 2√10/5

負の平方根を捨てた理由は、単に平方根だからではなく、積と角の範囲から和が正と決まるからです。図2のように、符号を調べてから根を選びます。逆に、答えの二乗は 8/5 であり、そこから (8/5 − 1)/2 = 3/10 と元の積が戻ります。積は許される範囲内にあり、実際にこの条件を満たす角もあります。例えば s、c をそれぞれ √(9/10)、√(1/10) と取れば、二乗の和は 1、積は 3/10 です。

標準例題：和から分数式へ

0° ≦ θ ≦ 180° で sin θ + cos θ = 6/5 です。sin θ cos θ と (sin³ θ + cos³ θ)/(sin θ + cos θ) を分数で求めてください。

和が 6/5 なので、分母は 0 ではありません。また和の範囲 -1 以上 √2 以下に 6/5 は入ります。実際、二つの値を 4/5 と 3/5 に取ると、二乗の和は 1 で和は 6/5 ではなく 7/5 です。この組は条件に合わないため採用できません。存在の確認には後で別の組を使います。

(s + c)² = 1 + 2sc
36/25 = 1 + 2sc
2sc = 11/25
sc = 11/50

次に、和の立方の展開を使います。

(s + c)³ = s³ + 3sc(s + c) + c³
s³ + c³ = (s + c)³ - 3sc(s + c)
(s³ + c³)/(s + c) = (s + c)² - 3sc
                         = 36/25 - 33/50
                         = 39/50

共通因数 s + c を消す前に、それが 6/5 であると確認したことが重要です。条件を満たす組は s = (6 + √14)/10、c = (6 − √14)/10 と取れます。両方正で、和は 6/5、積は (36 − 14)/100 = 11/50、二乗の和は 1 です。したがって鋭角の三角比として実現し、計算した値も元の分数式に戻ります。

発展例題：条件の存在と分母

0° ≦ θ ≦ 180° で sin θ + cos θ = t とします。式 (sin θ − cos θ)²/(1 − 2 sin θ cos θ) が定義される t の範囲と、その式の値を求めてください。範囲の端を含むかも示します。

まず t の取りうる範囲は -1 ≦ t ≦ √2 です。一方、元の分母は次のように書けます。

1 - 2sc = (s - c)²

分母が 0 となるのは s = c のときです。s ≧ 0 と s² + c² = 1 より、s = c = √2/2 です。このとき t = √2 です。反対に t = √2 なら t² = 1 + 2sc から sc = 1/2 となり、(s − c)² = 0 です。よって除外する t は √2 です。

-1 ≦ t < √2
(s - c)²/(1 - 2sc) = (s - c)²/(s - c)²
                              = 1

最後の約分は分母が 0 でない範囲で行いました。t = -1 は θ = 180° で実現し、そのとき分子と分母はともに 1 です。上の範囲の各値が実現することは、半円上の点を右端から左端へ動かすと s + c が 1 から √2 を経て -1 まで連続して変わることから確かめられます。元の条件に戻すと、除外した端では分子も分母も 0 なので、答えを 1 と延長して代入することはできません。

消してよい部分を見分ける

図3のように、分子の和から s を消して c を残す計算を考えます。s = 1/2、c = √3/2 とすると、元の式は 1 + √3 ですが、残した c は √3/2 です。値が一致しないので、この消し方は成立しません。

図3の正しい分解は、分子の各項を同じ分母で割る操作です。

(s + c)/s = s/s + c/s
            = 1 + c/s  （s ≠ 0）

例えば分子が s(s + c) なら、s ≠ 0 のもとで s を共通因数として消せます。見た目に同じ文字があるかではなく、分子全体と分母全体の掛け算の因数かどうかを確認します。s = 0 では元の分数が定義されないため、変形後の式に値を入れて元の答えにすることもできません。

もう一つの失敗は、和の二乗から和を求める際、正の根だけを無条件に選ぶことです。例えば 135° では和は 0 ですが、さらに鈍角を大きくすると和は負です。角の範囲、あるいは与えられた和の符号を根拠にして選びます。分母が 0、範囲外の積、符号不明の平方根は、それぞれ別の確認箇所です。

練習：条件を式へ戻す

次の各問は 0° ≦ θ ≦ 180° とします。答えは指定された形で求めてください。

sin θ cos θ = -3/8 のとき、(sin θ − cos θ)² を分数で求めてください。
sin θ + cos θ = 1/2 のとき、sin θ cos θ を分数で求めてください。
sin θ cos θ = 1/8 かつ sin θ + cos θ > 0 のとき、和を根号を用いて求めてください。
sin θ + cos θ = 0 のとき、sin³ θ + cos³ θ を整数で求めてください。
sin θ cos θ = 3/5 を満たす θ が存在するか、理由を添えて答えてください。

解答と解き方

二乗の差の形を使います。

(s - c)² = 1 - 2sc
          = 1 - 2・(-3/8)
          = 7/4

答えは 7/4 です。逆に (1 − 7/4)/2 = -3/8 となり、元の積に戻ります。積は -1/2 以上 1/2 以下なので、範囲の条件も満たします。例えば s = (1/2 + √7/2)/2、c = (1/2 − √7/2)/2 なら二乗の和は 1、積は -3/8 です。

与えられた和を二乗します。

1/4 = 1 + 2sc
2sc = -3/4
sc = -3/8

答えは -3/8 です。逆に 1 + 2・(-3/8) = 1/4 で、正の和 1/2 の二乗と一致します。1問目の確認で用いた組の和は 1/2 なので、この条件も実現します。

積から和の二乗を求め、指定された符号を使います。

(s + c)² = 1 + 2・1/8
          = 5/4
s + c = √5/2

答えは √5/2 です。二乗して 5/4、そこから積は (5/4 − 1)/2 = 1/8 に戻ります。例えば s = (√5 + √3)/4、c = (√5 − √3)/4 はともに正で、二乗の和が 1、積が 1/8 です。

和が 0 なので c = -s です。

s³ + c³ = s³ + (-s)³
         = s³ - s³
         = 0

答えは 0 です。s = √2/2、c = -√2/2 は二乗の和が 1 で、元の和も 0 です。この角は範囲内の 135° なので、条件は実現します。和で割る方法を選ぶと分母が 0 になるため、この問題には使えません。

(s − c)² ≧ 0 より 1 − 2sc ≧ 0、すなわち sc ≦ 1/2 です。ところが 3/5 > 1/2 なので、条件を満たす角は存在しません。実際に代入すると (s − c)² = 1 − 6/5 = -1/5 となり、実数の二乗が負になる矛盾が生じます。形式的に式を進める前に、元の条件自体を調べる必要があります。