高校数学I 集合—共通部分と和集合を条件の言葉とベン図で読み分ける｜武蔵野個別指導塾

共通部分と和集合を要素ごとに調べ、全体の変更で補集合がどう変わるかをたどりながら、条件から集合を解く。

よくあるのは、定期テストの復習で補集合を書こうとして、何を全体にしているか決めないまま手が止まる場面です。ある集合に入らない数は、考える範囲を広げればいくらでも増えます。まず候補の範囲を定め、その中で条件に合うかどうかを調べましょう。共通部分と和集合も、円の見た目を覚える前に、1つの要素に対する条件の組み合わせとして読むと整理できます。

問題の形を見分ける

集合の問題には、要素を列挙する型があります。例えば、ある範囲の整数から条件に合う数を選び、波括弧の中に並べます。条件を満たす数がない場合もあり、そのときは空集合として表します。0が要素である集合と、要素がない集合は別物です。まず候補を並べ、条件を満たすか順番に調べると、抜けを見つけやすくなります。

次は、2つの集合の共通部分や和集合を求める型です。「かつ」は両方に入ること、「または」は少なくとも一方に入ることを表します。日常の「どちらか一方」とは違い、数学の「または」には両方に入る場合も含まれます。記号を書き換えるだけでなく、重なりに入る要素の扱いまで説明できるようにします。

もう1つは、全体集合と補集合を組み合わせる型です。全体に含まれる候補のうち、指定された集合に入らないものを選びます。全体の外にある数は、条件に合わなくても補集合の要素にはなりません。要素を数える問題でも、まず全体を確認してから図の領域を分けます。

要素と領域を対応させる

集合とは、対象がその集まりに入るかどうかをはっきり決められるものです。対象の1つを要素といいます。例えば A = {2, 4, 6} なら、4はAの要素であり、4 ∈ A と書きます。3は要素ではないので 3 ∉ A です。波括弧は集まりを表す記号であり、数そのものとは区別します。

要素の順番を変えても集合は変わりません。また同じ要素を重ねて書いても別の要素が増えるわけではありません。{2, 4, 6} と {6, 2, 4} は同じ集合です。一方、{4} は4を要素とする集合で、4という数そのものではありません。要素を問われているのか、集合を問われているのかを確認しましょう。

Aのどの要素もBに入るとき、AはBの部分集合であり、A ⊆ B と書きます。AとBが等しい場合も含みます。空集合 ∅ は要素を持たない集合です。空集合の中にBからはみ出す要素はないので、空集合もBの部分集合です。例えば {4} ⊆ {2, 4, 6} ですが、4 ∈ {2, 4, 6} のように、要素と部分集合の記号を使い分けます。

全体集合 U は、その問題で考える対象の範囲です。AがUの部分集合であるとき、Uの要素でAに入らないもの全体をAの補集合といい、ここでは A̅ と表します。図1のように、長方形をU、円をAとして、円の外側でも長方形の中だけを選びます。長方形の外側は候補そのものではありません。

図1で円の中がA、円の外側で長方形の中が A̅ です。Aと A̅ に共通する要素はなく、合わせるとUになります。U = {1, 2, 3, 4}、A = {2, 4} なら A̅ = {1, 3} です。ところがUを {1, 2, 3, 4, 5} に変え、Aを同じ {2, 4} とすれば A̅ = {1, 3, 5} に変わります。補集合には、どのUを使ったかが必要です。

A ∩ B はAとBの共通部分で、両方に属する要素の集合です。A ∪ B は和集合で、少なくとも一方に属する要素の集合です。重なりがなければ共通部分は ∅ ですし、片方が他方の部分集合なら、共通部分は小さい方、和集合は大きい方になります。円が必ず2つ交わると決めつけず、条件を先に調べます。

基本例題：候補を1つずつ振り分ける

全体集合 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} とします。AをUの偶数の集合、BをUの3の倍数の集合とします。A、B、A ∩ B、A ∪ B、A̅ を、要素を列挙して求めてください。

まずUの各数に偶数という条件を当てます。2、4、6、8が該当するので、

A = {2, 4, 6, 8}

です。同じ候補から3の倍数を探すと3と6なので、

B = {3, 6}

です。6は両方に入り、2、4、8はBに入らず、3はAに入りません。したがって共通部分は

A ∩ B = {6}

です。和集合はAとBのどちらかに入る数を合わせます。6を2回書く必要はないため、

A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8}

となります。補集合はUの中でAに入らない数です。1、3、5、7が残るので、

A̅ = {1, 3, 5, 7}

です。図2のように、候補の8個をAだけ、両方、Bだけ、どちらにも入らない領域に分けられます。領域をまたいで同じ数を重複させないことが、数え漏れを防ぐ目印です。

図2の4領域を元の条件に戻してみます。2、4、8は偶数ですが3の倍数ではなく、6は両方の条件を満たします。3は3の倍数ですが偶数ではありません。残る1、5、7はどちらの条件も満たさず、8個の候補が過不足なく配置されています。補集合にはBだけの領域の3も入ります。Bに入っているかどうかは、A̅ を決める条件ではないからです。

もしA ∩ Bを {2, 3, 4, 6, 8} としたなら、それぞれが両方に入るかを確認します。例えば2はBに入らないので、共通部分には残せません。逆に和集合から6を除くと、AにもBにも入る数を落とすことになります。各要素に「Aに入るか」「Bに入るか」と2回問いかける方法は、図を描けないときの点検にも使えます。

全体が変わるときと、集合が重なるとき

次の例では、全体集合 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} とします。PをUの4の倍数、QをUの6の倍数とします。P ∩ Q、P ∪ Q、P̅ ∩ Qを列挙してください。さらに全体集合を V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} に変え、PをVの4の倍数の集合と定め直したときのPの補集合も列挙してください。

元の全体Uでは、P = {4, 8, 12}、Q = {6, 12} です。両方に入るのは12なので P ∩ Q = {12} です。少なくとも一方に入る数を集めると P ∪ Q = {4, 6, 8, 12} です。12を2回数えないようにします。

P̅ ∩ Qは、Qに入り、かつPに入らない数です。Qの候補6と12を調べると、6はPに入らず、12はPに入ります。よって P̅ ∩ Q = {6} です。Uの外にある数は調べる必要がありません。QからPの部分を取り除くと考えても、同じ結果にたどり着きます。

全体をVに変えた後は、P = {4, 8} です。Vの中から4と8を除き、補集合は {1, 2, 3, 5, 6, 7} となります。12は元のPに入っていた数ですが、Vにはないので、新しい補集合にも入りません。全体を変える際は、補集合の計算だけでなく、条件で定義されたPの中身も新しい全体に合わせて確かめます。

分かれ目は、集合の名前が同じかどうかではなく、どの全体の中で条件を読むかです。Vの各要素に戻せば、4と8だけが4の倍数で、残りの6個はそうではありません。全体が空集合の場合は、その部分集合も空集合で、補集合も空集合です。要素が見つからない場合を置き去りにせず、候補が本当にないことを確認します。

誤答を条件に戻して直す

全体集合を U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}、C = {2, 3, 5} とします。C̅ を求めるとき、誤って {1, 4, 6, 7} と書いたとします。7はCに入っていませんが、Uの要素でもありません。補集合は「Cに入らない数」だけでなく、「Uに入り、Cに入らない数」です。正しくは C̅ = {1, 4, 6} です。

図3のように、7は長方形の外に置きます。円の外という条件は満たしても、全体の中という条件を満たさないため、補集合に入れません。修正するときはUの要素を左から調べ、Cに入る2、3、5を除きます。残った1、4、6をCに戻しても重なりがなく、合わせるとUの6要素に戻ります。

もう1つの誤りは、和集合で共通部分を除くことです。「AまたはB」を、片方にしか入らない場合と読んでしまうことが原因です。重なりの要素についても、少なくとも一方に属するかを尋ねれば答えははいです。共通部分を含めて和集合を作り、共通部分を求める問いと混同しないようにします。

集合を列挙した後の検査では、書いた数が条件に合うかという確認と、書かなかった候補に該当する数がないかという確認を両方行います。前者だけでは余分な数は見つかっても、抜けは見つかりません。全体を列挙できる問題では、各候補に印を付けて照合すると、空集合と書いたときにも根拠を残せます。

練習：まず問題をまとめて解く

次の各問では、求める集合を要素の列挙で答えてください。空集合の場合は ∅ と書いてください。

1. U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} とし、DをUの奇数、EをUの5の倍数とします。D ∩ E、D ∪ E、D̅ を求めてください。0も5の倍数とします。
2. U = {a, b, c, d, e, f}、F = {a, c, e}、G = {b, c, d} とします。F ∩ G、F ∪ G、F̅ ∩ Gを求めてください。
3. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} とし、HをUの7より大きい数の集合、JをUの3以下の数の集合とします。H、H ∩ J、H ∪ J、H̅ を求めてください。
4. U = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}、K = {4, 8, 12}、L = {8, 12} とします。LがKの部分集合かを答え、K ∩ L、K ∪ L、L̅ を求めてください。

練習の答えと調べ方

1. D = {1, 3, 5, 7, 9}、E = {0, 5} です。共通するのは5なので D ∩ E = {5}、少なくとも一方に入る数は D ∪ E = {0, 1, 3, 5, 7, 9} です。Uに入る偶数が残るため D̅ = {0, 2, 4, 6, 8} です。0は奇数ではありませんが5の倍数なので、和集合と補集合の両方に入ります。10個の候補を奇数かどうかで分けると、それぞれ5個ずつで、抜けはありません。

2. 共通する文字はcなので F ∩ G = {c} です。両集合の文字を重複なく集めると F ∪ G = {a, b, c, d, e} です。Gのb、c、dのうちFに入らない文字はbとdなので F̅ ∩ G = {b, d} です。fはどちらにも入らず、和集合にも入りません。元の6文字を4領域に分けると、Fのみがa、e、共通がc、Gのみがb、d、外側がfです。

3. Uに7より大きい数はないため H = ∅ です。J = {1, 2, 3} なので H ∩ J = ∅、H ∪ J = {1, 2, 3} です。Hに入る候補はないので H̅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} です。7は7より大きくない点に注意します。各候補を元の条件と照合すると、補集合が全体に一致する理由も確かめられます。

4. Lの要素8と12はどちらもKに入るため L ⊆ K です。したがって K ∩ L = {8, 12}、K ∪ L = {4, 8, 12} です。Uから8と12を除くと L̅ = {2, 4, 6, 10, 14} です。Kに入る4もLには入らないので補集合に残ります。Lとその補集合を合わせると、元のUの7要素に戻ります。

持ち帰る要点

全体集合を決めてから補集合を作ります。
共通部分は両方に属する要素です。
和集合は少なくとも一方に属する要素です。
列挙後は余分な要素と抜けの両方を点検します。

どこで止まったかを見つける

集合の記号が書けても、要素ごとの条件を言葉に戻せないことがあります。図の塗り方を暗記している場合は、塗った場所の要素がどの条件を満たすかを尋ねると、理解の境目が見えます。例えば共通部分に片方だけの要素を書いた場合は、その要素がもう片方にも入る理由を尋ねます。言えなければ、2つの条件を別々に判定するところからやり直します。反対に判定はできるのに列挙で漏れるなら、全体の候補に印を付ける手順を試します。

個別指導で確認するなら、まず生徒自身に長方形が何を表すか説明してもらいます。次に円の外の点を1つ指し、それが全体の中か外かを確かめます。補集合で誤った位置を選んだときも、答えを消す前に元の2条件を順に照合すると、どちらの条件を見落としたかが見えてきます。全体と条件を言葉で結び直せば、図の領域にも根拠を持って戻れます。