高校受験の数学 一次方程式の利用—数量の関係を等式にして解の意味まで確かめる｜武蔵野個別指導塾

代金、過不足、速さの文章題を等式にし、求めた人数や時間を元の条件に戻すことで立式を点検します。

よくあるのは、中1の生徒が配る人数を方程式で求め、元の条件に戻さずに答える場面です。計算が合っていても、余りを足す向きや不足を引く向きを取り違えると、人数は違ってきます。求めた数を実際に配る場面へ戻し、両方の配り方で同じ総数になるかまで見届けましょう。

文のどこから等式を作るか

一次方程式の文章題では、代金や配る個数、移動する道のりを等式にします。求めた数を問題の条件に戻し、量の意味まで確かめます。

一次方程式の利用では、文章に書かれた数量を文字で表し、同じ数量を2通りに表して等式にします。代金の問題なら「品物の代金の合計」と「支払った金額からつり銭を引いた金額」を比べられます。過不足の問題では、配る個数と余りや不足から、それぞれ元の総数を表します。速さの問題では、同じ道のりを速さと時間の積で表します。

どの型でも、まず求めるものを単位とともに決めます。次に、文章中の条件を使って文字を含む式を作り、左右が何を表すかを書いてから等号を置きます。計算で文字の値を得た後も、文章に戻る作業が残ります。人数なら正の整数か、時間なら出発後の時間として成り立つかを調べ、求められたものを単位つきで答えます。

文字を置き、同じ量を2通りに見る

例えば、1人に4個ずつ配って3個余るとします。人数を x 人と置くと、配った数は 4x 個で、元の総数は 4x + 3 個です。余った分は配った数に加えます。一方、1人に6個ずつ配ろうとすると5個足りないなら、全員に配るために必要な 6x 個より実際の総数は5個少ないので、総数は 6x − 5 個です。

図1のように、余る場合と足りない場合のどちらも、出発点は同じ「元の総数」です。必要な数をそのまま総数としないよう、何を足せば、あるいは何を引けば実際の数になるかを言葉で確かめます。この例では 4x + 3 = 6x − 5 と表せます。

図1の2本の式は、配り終えた数と配るために必要な数が等しいと言っているのではありません。余りや不足を調整した後の総数が等しいという意味です。実際に解くと x = 4 となり、4人に4個ずつ配って3個余ると19個、6個ずつでは24個必要で5個不足するのでやはり19個です。

代金では「単価 × 個数」が代金です。単価と個数のどちらを文字にしたかを記しておくと、得られた値が円なのか個なのかを見失いません。速さでは「速さ × 時間」が道のりです。速さが分速なら時間は分、時速なら時間は時間にそろえてから掛けます。たとえば30分は 1/2 時間です。単位をそろえる前に掛け算すると、式が一見整っていても違う量を比べてしまいます。

基本例題：同じ総数を表す

鉛筆を何人かの子どもに配ります。1人に7本ずつ配ると4本余り、1人に9本ずつ配ろうとすると6本足りません。子どもの人数を整数で、鉛筆の総数を整数で求めなさい。

図2のように、2通りの配り方から同じ鉛筆の総数を表します。求める人数を x 人とすると、7本ずつ配った数は 7x 本です。4本余るので、総数は 7x + 4 本です。9本ずつ配るには 9x 本必要ですが、6本足りないため、実際の総数は 9x − 6 本です。

同じ総数なので、次の等式が成り立ちます。

7x + 4 = 9x − 6

左辺から文字の項をなくすため、両辺から 7x を引きます。

4 = 2x − 6

右辺の -6 をなくすため、両辺に6を足します。

10 = 2x

両辺を2で割ると、

x = 5

となります。x は人数なので、5人と読み取ります。総数は 7 × 5 + 4 = 39 から39本です。図2のもう一方に戻しても、9 × 5 − 6 = 39 です。

さらに場面で確かめます。5人に7本ずつ配ると35本を使い、39 − 35 = 4 本余ります。9本ずつ配るには45本必要で、45 − 39 = 6 本足りません。人数と本数はいずれも正の整数で、問題の両方の条件に合います。答えは5人、39本です。

もし計算で人数が 5/2 人となったら、方程式の解をそのまま人数にできません。式の作り方と計算を調べ直し、それでも正しければ、その条件を満たす人数はないと判断します。方程式の解と、場面で許される答えは同じとは限らないからです。

代金では何を等しくするか

代金の場面でも、等号の左右が同じ金額を表すようにします。例えば1個80円の消しゴムを何個か買い、120円の定規を1本買って、1000円を出したところ、つり銭が240円だったとします。消しゴムの個数を x 個とすると、品物の代金は 80x + 120 円です。実際に支払う代金は 1000 − 240 = 760 円ですから、80x + 120 = 760 と置けます。

両辺から120を引くと 80x = 640、80で割って x = 8 です。8個の消しゴムと定規の代金は 80 × 8 + 120 = 760 円で、1000円から引くと240円が残ります。個数は正の整数で、支払額とつり銭の条件にも合います。ここで 80x + 120 = 1000 とすると、つり銭まで代金に含めたことになります。代金と出したお金を比べるときは、つり銭の分を調整する必要があります。

同じ関係は 80x + 120 + 240 = 1000 と書いても表せます。こちらの左辺は代金とつり銭を合わせた金額で、右辺の出した金額と等しくなります。左右の形が違っても、何と何を等しくしたのか説明できれば、式の意味を確かめられます。反対に、円と個数を直接等号で結ぶことはできません。数量の名前と単位を式のそばに書くと、この違いが見えます。

文章題に取りかかるとき、数字を見つけた順に足したり引いたりする必要はありません。先に未知数を決め、残りの数量をその文字で表し、同じものを指す2つの表現を探します。条件が複数あるときは、どの条件を文字式に使い、どの条件を等式に使ったかを確認します。式ができたら、文字に適当な数を入れて各部分の意味を読む方法もあります。その数が問題の答えでなくても、余りを足す向きなどの点検に役立ちます。

速さでは時間の差を同じ単位にする

家から図書室まで一定の速さで歩きます。分速60 mで歩くと、分速80 mで歩くときより6分長くかかります。道のりを整数の m で求めなさい。

遅い方の時間を文字にする方法もありますが、ここでは速い方の時間を x 分とします。遅い方は6分長いので x + 6 分です。道のりはどちらも同じですから、分速に時間を掛けて次の式を作れます。

80x = 60(x + 6)

右辺の括弧を外すと 80x = 60x + 360 です。両辺から 60x を引いて 20x = 360、両辺を20で割って x = 18 です。これは分速80 mで歩く時間であり、求める道のりではありません。道のりは 80 × 18 = 1440 m です。

場面に戻すと、遅い方は 18 + 6 = 24 分で、60 × 24 = 1440 m です。どちらの道のりも1440 m、時間の差も6分です。答えは1440 mです。

分かれ目は、文字をどちらの時間に置いたかです。遅い方を y 分と置けば、速い方は y − 6 分なので 60y = 80(y − 6) となります。解は y = 24 で、同じ道のりに戻ります。長い方に6を足したり、短い方から6を引いたりすると、時間の前後が逆になります。式にする前に、どちらが長いかを言葉で書いておくと判断しやすくなります。

誤った式を条件へ戻す

基本例題で、9本ずつ配る場合の総数を 9x + 6 として、7x + 4 = 9x + 6 と置く誤りを考えます。これを解くと x = -1 です。負の人数は成り立たないため、この時点で答えにはできません。ただし、負になったから符号を何となく変えるのでは、誤りの場所は残ったままです。

図3のように、9x は全員に9本ずつ配るために必要な本数です。実際にはそこまで6本届かないので、必要な数から6本を引いて実際の総数を表します。反対に、実際の総数に6本を足せば必要な本数になる、と考えても同じです。

図3に沿って「実際の総数 + 6 = 必要な数」と書けば、7x + 4 + 6 = 9x です。これを整理しても x = 5 になります。余りと不足のどちらでも、矢印がどの量からどの量へ向かうかを見て加減を選びます。

計算結果が正の整数でも安心はできません。誤った式からたまたま整数が出ることもあるためです。例えば図1の関係で不足を足すと 4x + 3 = 6x + 5 となり負の数が出ますが、別の数では整数が出ることもあります。出た数を配る場面に戻し、余る数と不足する数をそれぞれ計算することが、立式の確認になります。

自分で試す問題

次の3問は、まず数量の関係を書き出してから解いてみましょう。いずれも答えの単位と形を指定しています。途中で文字を置いたものと最後に問われたものが違う場合は、最後の計算を忘れないようにします。

1. 1冊120円のノートを何冊か買い、150円のペンを1本買いました。合計は990円でした。ノートの冊数を整数で求めなさい。
2. 折り紙を何人かに配ります。1人に5枚ずつ配ると8枚余り、1人に8枚ずつ配ろうとすると7枚足りません。人数と折り紙の総数をそれぞれ整数で求めなさい。
3. 同じ道のりを分速90 mで進むと、分速120 mで進むより4分長くかかります。道のりを整数の m で求めなさい。

問題の答えと戻しての確認

1. ノートを x 冊とすると、ノート代は 120x 円です。ペン代を加えた合計が990円なので、120x + 150 = 990 です。両辺から150を引くと 120x = 840、120で割ると x = 7 です。7冊とペン1本の代金は 120 × 7 + 150 = 990 円です。冊数は正の整数で条件に合うので、答えは7冊です。合計からペン代を引いた840円がノート代であることも確認できます。

2. 人数を x 人とすると、総数は 5x + 8 枚であり、もう一方では 8x − 7 枚です。したがって 5x + 8 = 8x − 7 です。両辺から 5x を引いて 8 = 3x − 7、両辺に7を足して 15 = 3x なので、x = 5 です。総数は 5 × 5 + 8 = 33 枚です。5人に5枚ずつ配れば33 − 25 = 8枚余り、8枚ずつには40枚必要で40 − 33 = 7枚足りません。答えは5人、33枚です。どちらも正の整数で、両方の配り方を満たします。

3. 分速120 mで進む時間を x 分とすると、分速90 mでは x + 4 分です。同じ道のりなので 120x = 90(x + 4) です。括弧を外して 120x = 90x + 360、両辺から 90x を引くと 30x = 360、よって x = 12 です。道のりは 120 × 12 = 1440 m です。遅い方では 12 + 4 = 16 分かかり、90 × 16 = 1440 m です。距離が一致し時間の差も4分なので、答えは1440 mです。

3問を比べると、最初の問題は代金の合計、次は折り紙の総数、最後は道のりを等しくしています。文字の値を求めた時点で終わらず、設問が求める量をもう一度読み直しましょう。特に最後の問題では12は時間であり、道のりはその時間に速さを掛けて求めます。過不足では2通りの総数が一致していても、余りと不足の向きが文章どおりかを別々に確かめます。条件に戻すことで、式の意味を読み違えた場合にも気づけます。

覚えておきたい手順

• 文字が表す数量と単位を決めます。
• 同じ数量を2通りに表して等式にします。
• 解を元の場面に戻し、条件と整数性を調べます。
• 問われた数量を単位つきで答えます。

式のどこで迷っているか

お子さまが答えを出せないときは、計算だけでなく、式の各部分が何を表すかを聞いてみてください。例えば過不足なら、掛け算が「配った数」なのか「配るのに必要な数」なのかを説明できるかが手がかりです。ここが曖昧なら、具体的な人数を仮に入れて、余りや不足を加減した結果が元の数になるかを一緒にたどれます。

個別指導で確かめる箇所も、本人の書いた式によって変わります。等式を作れない場合は左右の単位と意味を言葉にし、計算後に止まる場合は文字が表す量と設問の求める量を並べます。答えを代入したときに条件が合わなければ、計算と立式を順に見直します。数量の意味を確かめる習慣が、一次方程式の利用を支えます。