高校受験の数学 一次方程式—等式の性質から移項と分母を払う手順をつなぐ｜武蔵野個別指導塾

移項の符号を両辺の操作から見直し、括弧や分母を含む式も代入で検算する一次方程式の手順をたどります。

よくあるのは、中1が移項で変える符号を取り違える場面です。左辺の数を右辺へ移すときは符号を変えられたのに、右辺の文字を左辺へ移すときには、そのまま書いてしまいます。移項を「向こう側へ移す」という動きだけで覚えると、何をしたのか見失いやすくなります。等号の両側に同じ操作をするところから順にたどると、符号を変える理由と、答えを元の式に戻す意味がつながります。

式のどこを整えるか

一次方程式では、両辺に同じ操作をする理由から移項を考えます。括弧、分数、小数を含む式も、等しさを保つ手順と代入による検算をつなげます。

一次方程式では、文字の値によって成り立つ等式を見て、等式を成り立たせる値を求めます。出方には、文字と数が両辺にある式を整理する型、括弧を外してから整理する型、分数や小数を含む式を整数の係数に直す型があります。どの型でも、操作する前後で成り立つ文字の値が変わらないように進めます。

たとえば右辺にも文字があるとき、最初に右辺から文字の項を消すか、左辺から消すかは選べます。どちらでも同じ値に着きますが、途中で項の符号を落とさないことが必要です。文章の数量から方程式を作る問題は別に扱い、ここでは与えられた式の解き方と検算に焦点を当てます。

等式を保つ操作と移項

等号の左を左辺、右を右辺といい、等号で結んだ式を等式といいます。文字にある数を代入して左右が等しくなるとき、その数を方程式の解といいます。解くとは、その値を求めることです。文字が1種類で、整理したときにその文字の1次の項が残る方程式を一次方程式と呼びます。

図1のように、等しい2つの量には、両方に同じ数を足しても、両方から同じ数を引いても、等しさが残ります。また、両辺に同じ数をかけても等しさは残り、0でない同じ数で両辺を割っても等しさは残ります。解を求める途中では、逆の操作で元に戻れるよう、0でない数をかけます。0で割る操作はできません。

図1の式 x + 3 = 8 では、両辺から3を引くと x = 5 です。左辺の +3 が右辺で -3 になった形なので、これを「+3 を移項する」といいます。実際には片側の項が飛び移るのではなく、両辺から3を引き、左辺の +3 と -3 が打ち消し合っています。

逆に左辺に -3 があれば、両辺に3を足すので、右辺には +3 が現れます。右辺の項を左辺へ移す場合も同じです。+2x を消したければ両辺から2xを引き、左辺に -2x を書きます。移項する項を符号込みで見て、その反対の項を両辺に加えると考えてください。動かしていない項の符号は変えません。

分数がある式では、各分母の公倍数を両辺のすべての項にかけると、分母を払えます。分子の一部にだけかけるのではなく、項全体にかけます。小数も同様に、両辺の各項を10倍や100倍して整数の係数にできます。ただし、整数の項にも同じ倍率をかける必要があります。

基本例題：括弧と移項をつなぐ

次の方程式を解き、整数で答えてください。

3(x − 2) = x + 8

左辺の括弧の中には2つの項があります。図2のように、3をそれぞれにかけてから、右辺の文字を左辺へ、左辺の数を右辺へ集めます。等号の位置をそろえて書くと、どの行で何が変わったか追いやすくなります。

まず分配法則で、3をxと -2 の両方にかけます。

3x − 6 = x + 8

両辺からxを引くと、右辺のxが消えます。

3x − 6 − x = x + 8 − x

同類項をまとめて、次のようになります。

2x − 6 = 8

次に両辺に6を足します。これは左辺の -6 を右辺へ +6 として移項する操作です。

2x − 6 + 6 = 8 + 6

2x = 14

両辺を0でない2で割ります。

x = 7

答えは x = 7 です。元の式に戻すと、左辺は 3(7 − 2) = 15、右辺は 7 + 8 = 15 です。左右が等しいので、求めた値は元の方程式を成り立たせます。

途中式で 3x − 2 とした場合は、3を -2 にかけ忘れています。たとえその後の移項が正しくても、別の方程式を解いたことになります。検算で左右が異なったら、最後の割り算から決めつけず、元の括弧を外す行まで戻ってください。括弧の前が負の数なら、括弧内の各項の符号にも注意します。

分母を払う順番を選ぶ例題

次の方程式を解き、既約分数で答えてください。

(x − 1)/3 + 0.5 = (x + 2)/4

分母3と4、および0.5を分数で表したときの分母2の公倍数として12を選びます。最初に小数を分数に直す方法もありますが、ここでは0.5のまま両辺の各項を12倍します。括弧内の差や和は、それぞれ分子全体です。

12(x − 1)/3 + 12 × 0.5 = 12(x + 2)/4

4(x − 1) + 6 = 3(x + 2)

分配法則を使うと、次の式になります。

4x − 4 + 6 = 3x + 6

4x + 2 = 3x + 6

両辺から3xを引き、続けて両辺から2を引きます。

4x − 3x + 2 = 6

x + 2 = 6

x = 4

整数も分母を1とする分数で表せるので、指定の形では x = 4/1 です。元の式に4を代入すると、左辺は (4 − 1)/3 + 0.5 = 1 + 1/2 = 3/2、右辺は (4 + 2)/4 = 6/4 = 3/2 です。小数を近似値として扱わず、0.5を正確に1/2として照合しました。

分母を先に払うか、括弧を先に外すかが選択の分かれ目です。今回のように分子が括弧でまとまっている場合は、先に12倍すると整数で計算できます。先に各項を分ける方法でも構いませんが、分子の両方の項を分母で割る必要があります。共通の倍率を選ぶときは、分数の分母だけでなく小数の位にも目を向けます。

もし12を最初の分数にだけかければ、左辺と右辺を同じ倍率にしたことになりません。整数や小数の項を含め、等号の左右の各項に倍率を書いてから約分すると、かけ忘れを点検できます。計算が長くなっても、元の式へ戻して左右が一致するまでを一続きにしましょう。

符号を間違えた行を探す

図3のように、5x − 4 = 2x + 8 で右辺の +2x を左辺へ移す際、5x + 2x − 4 = 8 と書く誤りがあります。この行は両辺から2xを引く操作になっていません。右辺では2xが消えているのに、左辺には2xを足しているからです。

正しくは両辺から2xを引き、5x − 2x − 4 = 8 とします。整理すると 3x − 4 = 8、両辺に4を足して 3x = 12、両辺を3で割って x = 4 です。元の式では左辺が 5 × 4 − 4 = 16、右辺が 2 × 4 + 8 = 16 となります。

誤った行をそのまま進めると、7x − 4 = 8 から x = 12/7 です。元の式の左辺は 60/7 − 28/7 = 32/7、右辺は 24/7 + 56/7 = 80/7 で一致しません。代入は誤りがあると知らせますが、場所までは指定しません。左右に同じ操作をしたか、最初に崩れた行を探して直します。

また、移項した項に隣接する項まで符号を変える間違いもあります。上の式では +2x を移しても、左辺にもとからある -4 はその行では -4 のままです。複数の項を一度に移して混乱するときは、1項ずつ移すか、両辺に加える式を省略せず書きます。

検算で左右が等しくならなかったら、まず代入した値そのものを確認します。負の値を入れるとき、たとえば -2x のxに負の数を入れる場合は、負の数どうしの積が正になります。代入の符号を間違えると、正しい解を誤りと判断してしまいます。左右を別々に計算し、それぞれの値を並べて比較してください。

一方、移項の途中で左右が異なる操作をしていても、後の計算の誤りが重なって偶然正しい値にたどり着くことがあります。したがって検算に加え、各行が前の行から同じ操作で得られているかを確認します。両辺から同じ項を引く、両辺の全項を同じ0でない数で割る、という操作を説明できれば、計算の道筋も確認できます。

分母を払うとき、選んだ数がすべての分母で割り切れなければ、分数が残ることがあります。それ自体が等しさを壊すわけではありませんが、整数に直すという目的には届きません。分母を書き出し、それぞれで割り切れる数を選び直します。分母を消そうとして、両辺の一部に異なる数をかけてはいけません。

手を動かす4問

それぞれの方程式を解き、指定した形で答えてください。先に4問を解いてから、後の解答と比べます。答えの値は、それぞれの元の式に代入して確認してください。

1. 7x + 5 = 3x − 11 を解き、整数で答えてください。
2. 2(3x + 1) = 4x − 7 を解き、既約分数で答えてください。
3. (x + 3)/2 − (x − 1)/5 = 19/5 を解き、整数で答えてください。
4. 0.2x + 1.4 = 0.5x − 0.4 を解き、整数で答えてください。

解答と確かめ

1. 両辺から3xを引き、両辺から5を引くと、4x = -16 です。両辺を4で割り、x = -4 です。元の式の左辺は 7 × (-4) + 5 = -23、右辺は 3 × (-4) − 11 = -23 です。右辺の -11 は移していないので、そのまま書きます。

2. 括弧を外すと 6x + 2 = 4x − 7 です。両辺から4xと2を引くと 2x = -9 となり、x = -9/2 です。元の左辺は 2(3 × (-9/2) + 1) = 2 × (-25/2) = -25、右辺は 4 × (-9/2) − 7 = -25 です。括弧全体を2倍するところに戻して確かめます。

3. 両辺の各項を10倍すると 5(x + 3) − 2(x − 1) = 38 です。括弧の前の -2 を両方にかけて、5x + 15 − 2x + 2 = 38 となります。したがって 3x = 21、x = 7 です。元の式の左辺は (7 + 3)/2 − (7 − 1)/5 = 5 − 6/5 = 19/5 で、右辺と一致します。

4. 両辺の各項を10倍すると 2x + 14 = 5x − 4 です。両辺から2xを引き、両辺に4を足すと 18 = 3x、よって x = 6 です。元の左辺は 0.2 × 6 + 1.4 = 2.6、右辺は 0.5 × 6 − 0.4 = 2.6 です。小数はそれぞれ正確な値として計算しています。

答えを代入しても左右が合わないときは、分母を払う倍率、括弧の前の符号、移項した項の順に調べると、どの操作で等しさが崩れたかを追えます。分数の答えを小数に丸めてしまうと、左右が正確に等しいか判断できないので、分数のまま計算します。

たとえば2では、括弧の中の1にも2をかける必要があります。もし 6x + 1 = 4x − 7 と書いたら、元の式と異なる式を解くことになります。最初の式から次の式へ、各項がどこに現れたかを指で追ってください。符号が違うのか、項が抜けたのかを区別すれば、直す場所を絞れます。

3では、引き算の後ろの分数全体に10をかけるため、括弧の前が -2 になります。-2(x − 1) の2番目の積は +2 です。ここを -2 とした場合、分母を払う操作は正しくても分配の段階で等しさが崩れます。各積を別々に書いてからまとめると、負の数どうしの積を見落としにくくなります。

4で0.2xと0.5xだけを10倍し、1.4と -0.4をそのままにすると、左右全体を10倍したことにはなりません。小数点を動かすだけの作業とせず、各項の前に10をかける式を書いてみます。元の式へ代入した左右が異なれば、倍率をかけた範囲に戻って確かめます。

検算で左右が一致しても、途中の説明が読み取れなければ次の問題に同じ手順を使いにくくなります。両辺から何を引いたか、どの数で割ったかを声に出して確認します。答えが負の数でも、文字の代入には括弧を付け、元の符号と代入する数の符号を区別します。

要点を手元に

両辺に同じ操作をして等しさを保ちます。
移項は反対の項を両辺に加える操作です。
分母を払う倍率は両辺の各項にかけます。
最後に元の式の左右へ代入します。

どの行から一緒に確かめるか

答えが合わないとき、お子さまが最初に書いた行と次の行を比べてください。移項した項に印を付け、両辺に何を加えたかを言葉にできれば、符号の決め方をたどれます。括弧を外した直後に違いがあれば、外側の数を各項にかけたかを調べます。分母を払う行で違いがあれば、倍率をすべての項に書き込んで点検します。

個別指導では、正解だけでなく、どの操作を選んだかと代入した左右の計算を本人に説明してもらうと、符号の誤りと分配の誤りを区別できます。自分の行を元の式までたどり直す習慣が、一次方程式の解を確かなものにします。