高校受験の数学 文字式の計算—項と係数を見分けて一次式を正しくまとめる｜武蔵野個別指導塾

異なる文字の項を区別し、括弧の前の負号や分数を含む計算を整理して、元の式と同じ量を保つ手順をたどります。

よくあるのは、中学1年生がノートに並んだ x と y を見て、係数の数字を足し、別の文字を1つにまとめてしまう場面です。数字の計算が合っていても、何の個数を足したかが変わると、元の式と同じ量を表せません。文字を見比べ、符号を含めて項を分けるところから始めましょう。

何を見て計算を選ぶか

文字式では、項を符号と一緒に読み、文字の種類を確かめてからまとめます。括弧を外す操作と各項を数で割る操作も順に点検します。

文字式の計算では、まず同じ文字を持つ項をまとめる型があります。例えば 3x と 2x は x が合わせて5個分なので 5x ですが、3x と 2y は同じ種類とは限らず、足しても 5xy にはなりません。次に、括弧の前の数を各項にかけてから整理する型があります。さらに、式全体を数で割る型では、各項をその数で割ることが必要です。

答えが短くなることだけを目的にすると、違う項を無理に合わせてしまいます。元の式と同じ量を表したまま、同じ種類の項だけを集めるのが計算の目標です。展開の公式はここでは扱いません。

項を符号ごとに仕分ける

加法の形で式を見たとき、足し合わされるひとまとまりを項といいます。引き算も負の数を足す形に直して考えます。例えば 4x − 3y + 2 は、4x、-3y、2 の3項です。先頭以外の項も、直前の符号を含めて読みます。

文字にかかる数を係数といいます。4x の係数は4、-3y の係数は-3です。x は 1x、-y は -1y と考えます。文字を含まない 2 は定数項です。文字部分が同じ項を同類項と呼び、係数を足し合わせられます。

図1のように 4x − 3y + 2 + x では、4x と x が同類項です。係数の 4 と 1 を足して 5x とし、-3y と 2 は残すので、結果は 5x − 3y + 2 です。文字が異なる項と定数項は、それぞれ別の種類として残します。

同類項を集めるときは、項の符号も一緒に移します。例えば 2a − 5 + 3 − a なら、文字の項は 2a − a、定数項は -5 + 3 です。合わせると a − 2 になります。-5 の負号を置き去りにすると、元と違う式になってしまいます。

文字が同じでも係数が反対なら、足した結果は0です。たとえば 6a − 6a + 4 は 4 です。文字の項が消えたからといって計算失敗ではありません。一方、異なる文字の項が残ることも失敗ではありません。何が同じ種類なのかを先に判定すると、どちらの場合も落ち着いて扱えます。

括弧を外してからまとめる

次の式を計算し、同類項をまとめた式で答えてください。

3(2x − 4) − (x + 5)

最初の括弧の前の 3 は、括弧の中の両方の項にかかります。後の括弧の前の負号は、括弧全体に -1 をかけることを表します。図2のように、それぞれがどの項にかかるかを確かめます。

3(2x - 4) - (x + 5)
= 3 × 2x + 3 × (-4) + (-1) × x + (-1) × 5
= 6x - 12 - x - 5
= 6x - x - 12 - 5
= 5x - 17

1行目では分配法則を使い、括弧の外の数を中の各項にかけました。2行目では積を計算しています。3行目では符号ごと項を動かし、文字の項と定数項をそれぞれ並べました。最後に 6 − 1 = 5、-12 − 5 = -17 と計算します。

確かめるために x = 2 を元の式へ入れると、3(4 − 4) − (2 + 5) = -7 です。答えの式でも 5 × 2 − 17 = -7 となります。代入の一致は計算の点検になりますが、1つの値で一致したことだけで、いつでも同じ式だと証明したことにはなりません。各行が分配法則や同類項の計算でつながっていることも確認します。

括弧を外した直後に暗算で項を消すと、どの数をどこにかけたか見失いやすくなります。特に引く括弧は、中の最初の項だけでなく最後の項まで符号を変えます。途中の1行を残すと、誤りが起きた位置を探せます。

割る数と括弧の範囲に注意する問題

次の式を計算し、係数を約分した分数または整数で表してください。

(3a − 6) ÷ 2 − (a − 4) ÷ 3

両方の括弧は、それぞれ直後の数で割ります。先に各項を割る方法と、分数として通分してからまとめる方法があります。ここでは各項を割って種類ごとに集めます。

(3a - 6) ÷ 2 - (a - 4) ÷ 3
= (3/2)a - 3 - ((1/3)a - 4/3)
= (3/2)a - 3 - (1/3)a + 4/3
= (9/6)a - (2/6)a - 9/3 + 4/3
= (7/6)a - 5/3

最初の括弧では 3a と -6 の両方を2で割ります。次の括弧でも a と -4 の両方を3で割り、その結果全体を引きます。引く括弧を外すと、-4/3 は +4/3 に変わります。文字の項は分母を6に、定数項は分母を3にそろえてから計算します。

割る数が括弧の外にあるときは、どこまでが割られるかが分かれ目です。例えば 3a − 6 ÷ 2 なら割る対象は 6 で、先ほどの (3a − 6) ÷ 2 とは異なります。また、0で割る計算はできません。この問題の割る数は2と3なので、その心配はありません。

検算として a = 6 を入れます。元の式は (18 − 6) ÷ 2 − (6 − 4) ÷ 3 = 6 − 2/3 = 16/3 です。結果の式も (7/6) × 6 − 5/3 = 7 − 5/3 = 16/3 となります。分数を小数に直さず、正確な値で比べます。

間違えた行から戻る

4x + 2y − x を 5xy とする答えを考えます。係数を足したうえで文字もつなげていますが、足し算と掛け算を混同しています。4x と -x は同類項なので 3x にできますが、2y は別に残ります。

図3のように正しい整理は 4x − x + 2y = 3x + 2y です。例えば x = 1、y = 2 とすると、元の式は 4 + 4 − 1 = 7 です。誤答の 5xy は 10、正しい式は 3 + 4 = 7 です。異なる値になるので、誤答は元の式と同じ量を表していません。

もう1つ、7 − (2x − 3) を 7 − 2x − 3 とする間違いがあります。引く対象は括弧全体なので、-3 も引くことになります。正しくは 7 − 2x + 3 = 10 − 2x です。括弧を外す前に -1 を各項にかけると書き添えると、後ろの項の符号も点検できます。

誤答を消す前に、どの操作で元の式との関係が変わったか印を付けてみましょう。文字の種類を混ぜたのか、符号を落としたのかで、戻る場所が異なります。答えを見て直すだけでなく、その行に戻って操作を言葉で説明すると、次の問題にも使えます。

自分で試す4問

次の各式を計算し、同類項をまとめた式で答えてください。分数は約分した形で表します。

1. 7p − 4 + 2p + 9
2. 5m − 3n − 2m + n
3. 2(3t + 5) − 4(t − 2)
4. (5z + 3) ÷ 4 − (z − 1) ÷ 2

答えと途中の考え方

1. 文字の項と定数項を分けると、7p + 2p − 4 + 9 = 9p + 5 です。p = 2 を元の式に入れると 14 − 4 + 4 + 9 = 23、答えの式でも 18 + 5 = 23 です。定数の -4 は負号ごと移します。

2. m の項は 5m − 2m = 3m、n の項は -3n + n = -2n です。したがって 3m − 2n です。m = 2、n = 3 では元の式は 10 − 9 − 4 + 3 = 0、答えの式も 6 − 6 = 0 です。異なる文字を含む項は残ります。

3. まず 2 と -4 をそれぞれ括弧内の両方にかけます。

2(3t + 5) - 4(t - 2)
= 6t + 10 - 4t + 8
= 2t + 18

t = 1 を元の式に入れると 2 × 8 − 4 × (-1) = 20、答えの式は 2 + 18 = 20 です。-4 と -2 の積が正になる点に注意します。

4. 各項を割ってから、引く括弧の符号を変えます。

(5z + 3) ÷ 4 - (z - 1) ÷ 2
= (5/4)z + 3/4 - ((1/2)z - 1/2)
= (5/4)z + 3/4 - (1/2)z + 1/2
= (3/4)z + 5/4

z = 1 を代入すると、元の式は (5 × 1 + 3) ÷ 4 − (1 − 1) ÷ 2 = 8 ÷ 4 − 0 = 2 です。整理した式でも (3/4) × 1 + 5/4 = 8/4 = 2 となり、一致します。検算が合わない場合は、整理の手順だけでなく、代入後の足し算も確認します。

検算で数が一致しないときは、答えの式をすぐに変える前に、元の式への代入と四則計算も確かめます。一致した後も、割った範囲と符号を途中式に戻って点検してください。

計算の途中で迷ったときの見直し

同類項を選ぶ前に、式を項ごとに区切る練習をすると、符号の取り違えを見つけやすくなります。たとえば -2b + 8 − 5b − 1 は、-2b、+8、-5b、-1 の4項です。文字の項を合わせると -7b、定数項を合わせると 7 なので、-7b + 7 です。負の係数を2つ足すとき、数字の 2 と 5 の差を求めるのではなく、-2 + (-5) を計算します。

逆に、係数の符号が違う場合は正負を含めた和を考えます。-9c + 4c なら係数は -9 + 4 = -5 なので -5c です。文字の前にある数の絶対値だけを見て 5c とすると、符号が逆になります。c = 1 を入れると元は -5 ですから、正の 5 にはならないと点検できます。

分配法則では、掛ける数が負の場合も同じ手順を使います。-2(3d − 7) は、-2 × 3d と -2 × (-7) の和なので -6d + 14 です。両方に同じ -2 をかけますが、それぞれの項の符号が違うため、積の符号も違います。括弧の中の符号を一律に変えてからさらに負の数をかけると、二重に符号を変えてしまうので注意してください。

式全体を割るときも、文字の項と定数項の両方を扱います。(8q − 12) ÷ 4 は 8q ÷ 4 − 12 ÷ 4 = 2q − 3 です。最初の項だけを割った 2q − 12 は元の式と同じではありません。q = 2 のとき元の式は (16 − 12) ÷ 4 = 1 ですが、誤った式は -8 です。点検に使う値は自由に選べますが、文字の項が消える値ばかりを使うと、係数の誤りを見逃すことがあります。

答えを整える順番は1通りとは限りません。文字の項を先に集めても、定数項を先に計算しても、各項の符号と値を保てば同じ結果になります。途中式を読み返す際は、並び順の違いだけで判断せず、どの項がどの計算に使われたかを追います。分数が残った場合は、係数と定数項をそれぞれ約分し、足し算の前に分母をそろえます。

項を集める前には、括弧の内側を勝手に他の項と組み合わせないことも大切です。たとえば 5 − (3h + 2) では、括弧全体を引くので 5 − 3h − 2 = 3 − 3h です。先に 5 と 2 を足してしまうと、引く対象の 2 が足す対象に変わります。括弧を外した行で各項の符号を書き、それから整理すれば、この違いを見落としにくくなります。

計算の結果を読むときは、残った文字が何種類あるかにも注目します。異なる文字が残る式は、それぞれの値に応じて量が変わります。無理に短くする必要はありません。係数が0になった項は書かず、残った項が同類項でなければ、そこで整理は終わりです。最初の式と最後の式の間を1行ずつたどり、各操作の根拠を言えるか試してください。

手元に残す要点

項は直前の符号を含めて読みます。
同類項だけを係数でまとめます。
括弧の外の数は中の各項にかけます。
式全体を数で割るときも各項を割ります。
代入による点検と途中式の確認を併用します。

どの行で止まったかを見る

お子さまが答えを間違えたときは、まず最初に元の式と違う量になった行を一緒に探します。異なる文字をまとめたなら、各項の文字部分に印を付け、同じ種類を選ぶ理由を口にしてもらいます。符号が違うなら、引く括弧を -1 倍として書き直し、各項に矢印を引いて確認します。

個別指導で確かめたいのは、正答を覚えたかだけでなく、割る範囲や符号を自分で指せるかという点です。数を代入して食い違った場合も、元の式と整理後の式の両方を再計算します。項の種類と操作の範囲が見えれば、文字式の計算は筋道を追って直せます。