中学受験算数 おうぎ形の面積と弧—中心角の割合から弧と面積を別々に求める｜武蔵野個別指導塾

半径6 cm、中心角90度のおうぎ形で、弧と周の差を線でたどり、面積を求める式と区別して学びます。

よくあるのは、小6のお子さまが曲がった部分の長さを出して、おうぎ形の周全体の答えとしてしまう場面です。計算した部分が間違っていなくても、求める範囲が足りないことがあります。円から切り取った形を思い浮かべ、曲線と直線を指でたどってみましょう。

おうぎ形では、中心角が円全体の何倍かを使って、曲線の長さと内側の面積をそれぞれ求めます。最後に何を答えるかによって、半径を足すかどうかも変わります。

問われる量を先に囲む

問題には大きく分けて3つの聞き方があります。1つ目は、曲がった部分である弧（こ）の長さです。円周の一部分なので、円全体の周の長さに、中心角の割合を掛けます。弧の両端から中心までの直線は含めません。

2つ目は、おうぎ形の周の長さです。外側をぐるりと一周するため、弧に加え、中心から両端までの半径2本を通ります。弧を計算したら終わりにせず、問題文の「周」をもう一度見ます。

3つ目は、内側の面積です。こちらは円全体の面積を中心角の割合で分けます。同じ割合を使いますが、もとの円周と円の面積は別の量です。長さの答えには cm、面積には cm² を付け、途中でも何を出した式か言葉を添えます。

中心角が示されていないときは、示された角が中心にあるかを見ます。円周上にある角を、そのまま中心角として使うことはできません。角の頂点が円の中心にあることと、2本の半径で囲まれる範囲が求めたい部分であることを確かめてから割合を決めます。

全体の何分のいくつかを見る

図1は、円を同じ中心角の部分に4つに分けたうちの1つです。円の中心から円周へ引いた線が半径で、2本の半径がつくる角が中心角です。円の中心のまわりは一周で360度ですから、90度のおうぎ形は円全体の4分の1です。

図1の色が付いた部分を見ます。曲がった赤い線が弧で、青い2本の直線が半径です。弧は円周の4分の1、色の付いた面積は円の面積の4分の1です。曲線の長さと広さは別物ですが、どちらも同じ角度で等しく4つに分けたうちの1つなので、割合は同じになります。

円周は直径 × 円周率、円の面積は半径 × 半径 × 円周率です。中心角が何度であっても、おうぎ形の割合は「中心角 ÷ 360」で表せます。たとえば120度なら 120 ÷ 360 = 3分の1、144度なら 144 ÷ 360 = 5分の2です。先に約分すると、円全体のどのくらいを選ぶかが見えます。

半径が同じなら、中心角が大きいおうぎ形ほど弧は長く、面積も大きくなります。ただし、周には半径2本が別に含まれます。中心角の割合を半径2本にまで掛けると、周を回る道のりが短くなってしまいます。

基本例題：曲線と周を分ける

半径6 cm、中心角90度のおうぎ形があります。円周率は3.14とします。弧の長さ、周の長さ、面積をそれぞれ小数で求めてください。図2の色の付いた部分が対象です。

図2の中心から円周までの2本はどちらも6 cmです。求める3つの量を、円全体の量と割合に分けて表に置きます。

まず中心角の割合を出します。90 ÷ 360 = 4分の1です。次に円周を出すため、半径2本分の直径を求めます。

6 × 2 = 12 cm

12 × 3.14 = 37.68 cm

弧は円周の4分の1なので、37.68 ÷ 4 = 9.42 cmです。この9.42 cmは曲がった線の長さであり、まだ周全体ではありません。周を一周するには直線の6 cmを2本通るので、次のように足します。

9.42 + 6 + 6 = 21.42 cm

円周を4で割っただけでは、四分円の面積にはなりません。半径を2回掛けて円全体の広さを出し、その4分の1を取ります。

6 × 6 × 3.14 = 113.04 cm²

113.04 ÷ 4 = 28.26 cm²

答えは弧が9.42 cm、周が21.42 cm、面積が28.26 cm²です。周が弧より半径2本分だけ長いことも確かめられます。面積の値と周の値を大小比較しても意味はありません。単位が違う量だからです。

残った部分を使う例題

半径10 cmの円から、中心角72度のおうぎ形を1つ切り取ります。残った大きいおうぎ形の弧の長さ、周の長さ、面積を小数で求めてください。円周率は3.14とします。切り口はどちらも円の中心から円周までの直線です。

切り取る部分が72度でも、求めるのは残りです。72度の割合をそのまま掛けると、求めたい部分と反対側を計算してしまいます。まず中心のまわりから切り取る角を引きます。

360 − 72 = 288度

288 ÷ 360 = 5分の4

残りは円全体の5分の4です。円周は 10 × 2 × 3.14 = 62.8 cm なので、残りの弧は 62.8 ÷ 5 × 4 = 50.24 cm です。周はこの弧と切り口の2本からなるため、50.24 + 10 + 10 = 70.24 cm です。

円全体の面積は 10 × 10 × 3.14 = 314 cm² です。残りの面積は 314 ÷ 5 × 4 = 251.2 cm² となります。答えは弧50.24 cm、周70.24 cm、面積251.2 cm²です。

別の見方でも検算できます。切り取った小さい部分の弧は 62.8 ÷ 5 = 12.56 cm で、円周から引くと 62.8 − 12.56 = 50.24 cm です。面積も 314 ÷ 5 = 62.8 cm² を全体から引くと 251.2 cm² になります。弧は全体から引けますが、残りの周を出すときは新しい切り口2本を足す点が分かれ目です。

図で中心角が2つ書かれている場合も同じです。色を塗った部分がどちらの角に対応するかを、中心から弧まで目で追います。小さい角が見えていても、大きい方の領域を求めるなら一周から引いた角を使います。

答えが足りないときの直し方

図3は基本例題と同じ半径6 cm、中心角90度の形です。弧の計算結果9.42 cmを周の答えにしてしまったとします。この値は誤答のうち、弧を求める途中までは正しい数です。足りない箇所を図の線に沿って調べます。

図3の赤い弧を端から端までたどるだけでは、出発点へ戻りません。そこから中心を通ってもう一方の端に戻るには、青い半径を2本通ります。9.42 + 6 + 6 = 21.42 cm と直します。半径を1本しか足さない場合も、まだ1本が残っていないか、周を指で一周すると見つけられます。

別の誤りとして、円全体の周に半径2本を足してから4分の1にする方法があります。これでは半径も4分の1に縮みます。割合を掛ける対象は弧を含む円周であって、切り口の長さではありません。弧を求める行と半径を足す行を分けて書くと、範囲を取り違えにくくなります。

面積についても、半径を1回しか掛けずに 6 × 3.14 ÷ 4 とするのは誤りです。これは円の面積をもとにしていません。半径 × 半径 × 3.14 で円の面積を求めてから割合を掛け直します。式の横に円周、弧、円の面積などの名前を書くと、どこで量が変わったかを追えます。

練習：条件を読み分ける

次の問題では、いずれも円周率を3.14とします。答えは指定された単位で小数にしてください。図を描くときは、半径2本と求める弧を別の印で区別します。

1. 半径8 cm、中心角45度のおうぎ形の弧の長さを、cmで求めてください。
2. 半径5 cm、中心角144度のおうぎ形の周の長さを、cmで求めてください。
3. 半径12 cm、中心角150度のおうぎ形の面積を、cm²で求めてください。
4. 半径15 cmの円から中心角120度のおうぎ形を切り取ります。残りのおうぎ形の周の長さを、cmで求めてください。切り口は中心から円周までの直線です。

練習の答えと途中の道筋

1. 弧を出す

45 ÷ 360 = 8分の1です。円周は 8 × 2 × 3.14 = 50.24 cm ですから、弧は 50.24 ÷ 8 = 6.28 cm です。求められたのは弧なので、半径を足す必要はありません。答えは6.28 cmです。

2. 周を出す

144 ÷ 360 = 5分の2です。円周は 5 × 2 × 3.14 = 31.4 cm です。弧は 31.4 ÷ 5 × 2 = 12.56 cm になります。周には半径2本が入るため、12.56 + 5 + 5 = 22.56 cm です。答えは22.56 cmです。

3. 面積を出す

150 ÷ 360 = 12分の5です。円の面積は 12 × 12 × 3.14 = 452.16 cm² です。その12分の5を取ると、452.16 ÷ 12 × 5 = 188.4 cm² です。弧の長さではなく広さを問われているので、もとにするのは円周ではありません。答えは188.4 cm²です。

4. 残りの周を出す

残りの中心角は 360 − 120 = 240度 です。240 ÷ 360 = 3分の2なので、残る弧は円周の3分の2です。円周は 15 × 2 × 3.14 = 94.2 cm、弧は 94.2 ÷ 3 × 2 = 62.8 cm です。周には切り口2本を加え、62.8 + 15 + 15 = 92.8 cm です。答えは92.8 cmです。

割合を決める前の点検

図の中で2本の半径がつくる角は、中心をはさんで小さい側と大きい側に分かれます。角度の数字が小さい側に書いてあれば、その数字は小さい側の弧に対応します。大きい側の面積を聞かれているときは、数字を見つけたところで計算を始めず、求める領域を指でなぞってから360度との差を出します。どちらの側かを文章で指定している場合も、図の塗りと文章が一致するか確認します。

同じ半径のおうぎ形を2つ合わせて円全体になる場合、2つの弧の長さの和は円周になります。2つの面積の和も円全体の面積になります。ところが、2つの周を足すと、それぞれに含まれる半径が重なって数えられます。周の和が円周そのものになるとは限らないため、確かめに使う量を選ぶときにも弧と周を分けて考えます。

計算の途中で小数点の位置に迷ったら、割合から見当を付けます。円の4分の1の弧は円周より短く、4分の1の面積は円全体の面積より小さいはずです。この見当は計算の代わりにはなりませんが、桁を間違えた答えを見つける助けになります。周については弧に半径2本を足すので、その見当をそのまま当てはめないようにします。

問題の条件が不足しているときも注意が必要です。中心角だけでは円の大きさが決まらず、半径だけでは切り取る割合が決まりません。図の見た目が直角に見えても、直角の印や角度の条件がなければ90度と決められません。必要な数や印を問題文と図の両方から探し、見つからなければ勝手な数を置かずに条件を確かめます。

逆に、直径が与えられた場合は半分にして半径を出してから面積に使います。円周は直径から直接求められますが、おうぎ形の周に足す2本は半径です。直径を2本足してしまわないよう、図の中心から端までの長さを先に記入します。数字が合っていても、どの線の長さかを確かめることが間違いを防ぎます。

中心角の割合を分数にしたら、分母と分子を同じ数で割って約分します。計算の順序を整理でき、どの部分を取るかも読みやすくなります。答えを書いた後は、問題が弧、周、面積のどれを求めていたかに戻り、単位と合わせて見直します。

手元に残す要点

• 中心角を360度と比べ、求める部分の割合を決めます。
• 弧は円周に割合を掛けて出します。
• 周は弧に半径2本を足します。
• 面積は円の面積に割合を掛け、cm²などで表します。
• 残りを問うときは、残る側の中心角を選びます。

家で見守るとき

お子さまの答えが合わないときは、すぐに式を書き直す前に、何を求めた数か聞いてみます。「その長さは図のどこからどこまで」と尋ね、弧を指したら、次に「周を一周すると残りにどの線を通る」と問い返します。線を自分でたどれれば、半径を足す判断を自分で直せます。

面積で止まった場合は、まず円全体の広さを指し、そこから何分のいくつを選ぶかを尋ねます。計算を代わりに進めるより、中心角がどの領域を表しているか本人に説明してもらうと、割合の取り違えも見つかります。最後に単位を見直し、長さと広さを区別できたかを確認します。

弧の両端から中心へ戻る道をたどれば、おうぎ形の周が見えてきます。