中学受験算数 ひし形の面積—対角線で分けて面積の半分の意味をつかむ｜武蔵野個別指導塾

対角線が12 cmと8 cmのひし形を長方形と比べ、積を半分にする理由や交点からの長さの扱いを確かめます。

よくあるのは、対角線の長さを掛けたところで計算を終え、その積をひし形の面積として答える小5の場面です。2本の長さを使うところまでは合っていますが、積が表すのはひし形を囲む長方形の面積です。どこを半分にするのか、線を引いて確かめましょう。

問題の形を見分ける

ひし形の面積を求める問題には、まず2本の対角線の長さが与えられる形があります。頂点と向かい合う頂点を結び、2本とも端から端までの長さを使います。交点から頂点までの長さが書かれているときは、それが対角線の半分なのか、図と条件を確認してから全体の長さに直します。

次に、面積と片方の対角線から、もう片方の長さを求める形があります。面積を2倍すると何になるかを考えてから、わかっている長さで割ります。先に2で割ると、囲む長方形の面積から遠ざかるので注意が必要です。

もう1つは、ひし形の中の三角形や、外側の長方形との面積を比べる形です。求める範囲がひし形全体なのか、その一部分なのかを指でなぞります。式が正しくても、最後に答える範囲が違えば別の答えになります。

対角線と直角がつくる4つの部分

向かい合う頂点どうしを結ぶ線が対角線です。ひし形は4辺の長さが等しい四角形で、2本の対角線は互いの真ん中で直角に交わります。図1では、横と縦の対角線を引き、その両端を通る長方形で囲んでいます。

図1の交点から各頂点までの線は、それぞれ対角線の半分です。4つに分かれた三角形は、直角をはさむ2辺がそれぞれ同じ長さなので、重ねるとぴったり合います。たとえば右上の三角形の底辺は横の対角線の半分、高さは縦の対角線の半分です。

外側の長方形も対角線を通る線で4つの小さな長方形に分かれます。それぞれの小さな長方形は、ひし形の辺で対角線方向に2つの三角形へ分かれ、その面積は等しくなります。したがって、ひし形の内側は外側の長方形全体の半分です。残りの4つの角の部分も、合わせると同じ半分です。

外側の長方形の横と縦は、ひし形の2本の対角線と同じ長さです。そこで「対角線 × 対角線 ÷ 2」でひし形の面積を求められます。2で割るのは対角線の長さを半分にするためではなく、掛け算で求めた長方形の面積を半分にするためです。

直角に交わるという性質は、四角形なら何でも使えるわけではありません。見た目が傾いた四角形でも、ひし形だと条件に書かれているか、4辺が等しいと示されているかを確認します。対角線の長さだけがわかる一般の四角形には、この式をそのまま使えません。

基本例題：長方形を先に求める

問題：図2のひし形は、横の対角線が12 cm、縦の対角線が8 cmです。面積を整数で、cm²を単位として求めましょう。

図2の外側の長方形は横12 cm、縦8 cmです。ひし形の頂点が長方形の各辺の真ん中にあることと、ひし形の面積が長方形の半分であることを結び付けます。

答えは48 cm²です。式を1つにまとめると、12 × 8 ÷ 2 = 48です。ただし、まとめた式だけを覚えるより、96 cm²がどの範囲なのかを言えることが大切です。96 cm²の中には、ひし形の外側にある4つの三角形も含まれています。

別の数え方でも確かめます。交点から横の頂点までは12 ÷ 2 = 6 cm、縦の頂点までは8 ÷ 2 = 4 cmです。4つの三角形の1つは、底辺6 cm、高さ4 cmなので、6 × 4 ÷ 2 = 12 cm²です。4つ合わせると12 × 4 = 48 cm²となり、先の答えと一致します。

この確認では、対角線を半分にしてから三角形の面積を求めました。一方、最初の式では対角線をそのまま掛け、長方形の面積を半分にしました。途中で使う2分の1の意味が異なるので、2通りを混ぜて余分に割らないようにします。

少し難しい例題：交点までの長さから考える

問題：ひし形の面積は90 cm²です。横の対角線は15 cm、対角線の交点から上の頂点までは何 cmですか。整数で答えましょう。

まず求めたいのは縦の対角線全体ではなく、その半分です。面積が長方形の半分なので、囲む長方形の面積は90 × 2 = 180 cm²です。横が15 cmの長方形の縦は、180 ÷ 15 = 12 cmです。これは縦の対角線全体の長さに当たります。

ひし形の対角線は互いの真ん中で交わるので、交点から上の頂点までは12 ÷ 2 = 6 cmです。答えは6 cmです。長方形を2倍してから割る計算と、対角線を半分にする計算は、対象が違います。式の横に「長方形」「対角線全体」「交点から上」と書くと取り違えを防げます。

判断の分かれ目は、問題が端から端までを尋ねているか、交点から端までを尋ねているかです。もし縦の対角線全体を問われたなら、12 cmで止めます。交点からの長さを問われた今回だけ、さらに2で割ります。面積が90 cm²で横が15 cmという条件に対して、15 × 12 ÷ 2 = 90と戻せることも確認します。

交点からの長さが先に与えられる場合は順序が逆です。その長さを2倍して対角線全体に直してから、もう1本の全体の長さと掛けます。図の横に書かれた数字が線のどこからどこまでを指すか、両端を鉛筆で示すと読み違いに気づきやすくなります。

誤答を図で直す

基本例題で「12 × 8 = 96 cm²」と答えたとします。これは誤答です。2本の対角線を掛ける操作自体は正しいものの、そこで求めた96 cm²は図3の外側の長方形全体です。ひし形の外側まで数えています。

図3で淡く塗られたひし形と、四隅の白い部分を見比べます。各小長方形の中で、斜めの辺が2つの等しい面積の三角形を分けます。4か所で同じことが成り立つため、色の部分と白い部分の面積は等しくなります。96 ÷ 2 = 48 cm²と直せます。

別の誤りとして、12 ÷ 2 × 8 ÷ 2 ÷ 2 = 12 cm²を全体の答えにすることがあります。この式が表すのは、対角線で分けた4つの三角形のうち1つの面積です。全体を問われていれば、さらに4倍します。先に「式が表す範囲」を確かめれば、どこで数え終わったかを見つけられます。

対角線の片方をひし形の辺と取り違える間違いにも注意します。辺は隣り合う頂点を結ぶ線、対角線は向かい合う頂点を結ぶ線です。辺の長さを2本掛けても、一般には囲む長方形の面積にはなりません。どの線を使ったか図に印をつけてから式を読み直します。

練習：線の全体と半分を選ぶ

次の問題はすべてひし形です。図を自分で描き、対角線の交点と、問題に書かれた長さの両端を記しましょう。

1. 2本の対角線が10 cmと6 cmです。面積を整数で、cm²を単位として求めましょう。
2. 横の対角線が18 cm、縦の対角線の交点から上の頂点までが4 cmです。面積を整数で、cm²を単位として求めましょう。
3. 面積が84 cm²で、一方の対角線が14 cmです。もう一方の対角線の全体の長さを整数で、cmを単位として求めましょう。
4. 2本の対角線が16 cmと10 cmです。対角線で分けた4つの三角形のうち、2つ分の面積を整数で、cm²を単位として求めましょう。

答えとたどり方

1. 10 × 6 = 60 cm²は、ひし形を囲む長方形の面積です。その半分の60 ÷ 2 = 30 cm²が答えです。交点からの長さを使うなら、5 × 3 ÷ 2 = 7.5 cm²が1つ分で、7.5 × 4 = 30 cm²です。途中に小数があっても答えは整数です。

2. 縦の対角線全体は4 × 2 = 8 cmです。したがって、18 × 8 ÷ 2 = 72 cm²です。4 cmをそのまま対角線全体として使うと、半分の範囲しか数えられません。18 cmは横全体、8 cmは縦全体と、両方の範囲をそろえます。

3. 囲む長方形の面積は84 × 2 = 168 cm²です。一方の辺が14 cmなので、もう一方は168 ÷ 14 = 12 cmです。答えは12 cmです。14 × 12 ÷ 2 = 84 cm²と戻し、問題の面積に一致することを確認します。

4. ひし形全体は16 × 10 ÷ 2 = 80 cm²です。対角線によって等しい面積の三角形が4つできるので、2つ分は全体の半分です。80 ÷ 2 = 40 cm²が答えです。4つのうち1つは80 ÷ 4 = 20 cm²で、20 × 2 = 40 cm²としても確かめられます。

条件が足りるかを先に調べる

問題の中に数字が2つあっても、その2つが必ず対角線とは限りません。たとえば、ひし形の辺の長さと対角線1本の長さが書かれているとき、2つの数字を掛けて2で割る式は、対角線の公式とは別の式です。まずそれぞれの数字の両端を図に記し、向かい合う頂点を結んでいるか確かめます。必要な長さがまだ出ていなければ、与えられた別の条件からその長さを求められるかを考えます。

辺の長さが等しいことはひし形を見分ける条件として役立ちますが、面積の式に入れる数字は2本の対角線の全体の長さです。図に長さの印が複数あるときは、辺についた数字と内部の線についた数字を色分けせずとも、線の両端に小さな印をつけて区別できます。途中で新しい長さを求めたら、その値を図の該当する区間のそばに書き戻します。

また、直角の印がある2本の線を見つけても、それがひし形の対角線とは限りません。辺に垂直な線なら、底辺と高さを使う場面かもしれません。交点から4つの頂点へ線が伸びているか、2本とも頂点から向かいの頂点までつながっているかを見ます。ひし形であることが条件にあるからこそ、対角線が互いの真ん中で交わる性質を使えます。

対角線の長さがそれぞれ違う場合でも、ひし形の中の4つの三角形は同じ面積です。横方向は左右に等しく分かれ、縦方向は上下に等しく分かれるからです。ただし、三角形の1つの面積がわかったことと、ひし形全体の面積がわかったことは別です。求める場所に印をつけ、1つ分を何個集めるのかを数えます。

計算を戻して確かめる

答えが出たら、単位と大きさの両方を見ます。長さを掛け合わせた結果は面積なのでcm²、逆算で求めた対角線は長さなのでcmです。面積の数字にcmを付けたり、線の長さにcm²を付けたりしないよう、答えを一度声に出して読みます。

長方形の面積と比べると、ひし形の面積はその半分です。答えが長方形全体と同じなら、最後の割り算が抜けている可能性があります。反対に、ひし形を4つに分けた三角形1つ分と一致しているなら、求める範囲が全体か部分かを確認します。数値だけを眺めるより、図のどの範囲かを隣に書いて照合する方が原因を探しやすくなります。

逆算では、求めた対角線を元の面積の式に入れ直します。交点から頂点までを求めたときは、その長さを2倍して全体に戻してから使います。途中が割り切れていても、最後に求める長さの範囲が違うことはあります。計算の正しさと、問題が求めた範囲の正しさを分けて確かめましょう。

覚えておくこと

• ひし形の対角線は互いの真ん中で直角に交わります。
• 対角線の積は、それを辺とする外側の長方形の面積です。
• ひし形の面積は、その長方形の面積の半分です。
• 交点から頂点までの長さと、対角線全体を区別します。
• 部分を問われたら、全体を求めてから範囲に合わせます。

家で見守るときの手順

お子さまが積を答えたときは、すぐに「2で割る」と教える前に、「その積は図のどこからどこまでの面積かな」と尋ねてみてください。外側の長方形を指せれば、ひし形との違いに目を向けられます。指す場所が定まらなければ、対角線の両端を通る長方形を一緒に描き、四隅と中央の面積を比べます。

次は、交点からの長さが出る問題で、全体の線を指してもらいます。答えを先に伝えず、書いた式の各数字がどの線を表すかを説明してもらい、必要なところだけ問い返します。最後に面積から対角線へ戻す問題を1問確かめれば、公式を逆向きに使えるかも見えます。

線の両端と面積の範囲を指で確かめる習慣が、ひし形の計算を支えます。