中学受験算数 三角形の内角と外角—辺を延ばした角から未知の角を順に求める｜武蔵野個別指導塾

辺の延長でできる角を内角と区別し、式と自作問題でたどり、三角形の内角と外角を追う。

よくあるのは、三角形の角を求める式に、辺を延ばしてできた外側の角まで足してしまう小4の場面です。図の近くに書かれた数を全部使いたくなりますが、180°にまとめられる角には決まった組があります。まずどの三角形の内側を見るかを選び、次に一直線の角を使う順番を身につけましょう。

どんな角が問われるか

1つ目は、三角形の内側にある2つの角から、残りの内角を求める型です。三角形の3つの内角の和は180°なので、わかっている2つを引けば残りが出ます。辺の長さや向きが違っても、内側の3つの角を選ぶことは変わりません。

2つ目は、辺を延ばした先にある外角を求める型です。外角とそのとなりの内角は一直線を作るので、和が180°です。また、その外角は、となりではない2つの内角の和にもなります。どちらを使うかは、すでにわかっている角を見て決めます。

3つ目は、三角形を分ける線が引かれ、外角から別の三角形の角へ進む型です。図全体で一度に計算するのではなく、線で囲まれた三角形を1つずつ見ます。角が同じ点に集まっていても、どの2本の線にはさまれているかで別の角になります。

内側の角と延ばした先の角

三角形ABCで、辺BCをCの先まで延ばし、延長上に点Dを取ります。図1では三角形の内側を淡く塗り、Cの外側の角を示しています。角ACBは辺CAと辺CBにはさまれた内角で、角ACDは辺CAと延長した辺CDにはさまれた外角です。

図1のB、C、Dはこの順に一直線に並びます。Cを中心にCBからCDまで開いた角は180°ですから、角ACBと角ACDを合わせると180°になります。一方、三角形ABCの内角はA、B、Cの3か所です。外角ACDは三角形の内側にないので、内角の和を出すときの3つには入りません。

外角と離れた2つの内角の関係も、2つの180°を比べると見えます。三角形ABCの内角Aと内角Bと内角Cの和は180°です。内角Cと外角ACDの和も180°なので、共通の内角Cを取り除くと、外角ACDは内角Aと内角Bの和に等しくなります。

ここで「離れた」とは、外角がある頂点C以外の頂点AとBにある、同じ三角形の内角を指します。Cのとなりの内角を足すのではありません。また、辺をまっすぐ延ばしたという条件が必要です。線が折れている場合や、点の並びが示されていない場合に、見た目だけで一直線と決めないようにします。

角の名前は真ん中の文字が頂点です。角ACDなら頂点はCで、CAとCDの間を見ます。角の名前が長く感じられるときは、頂点に小さな印をつけ、両側の文字へ指を動かすと、どの開きかを確認できます。

基本例題：2つの内角から外角へ

三角形ABCで、角Aは50°、角Bは60°です。辺BCをCの先まで延ばした直線上に点Dがあります。角ACBと外角ACDをそれぞれ求めます。図2の角の印を見て、まず三角形の内側にある3つを選びましょう。

図2で最初に使うのはA、B、Cの内角です。Cの外側にある角ACDは、ここではまだ足しません。計算の場所と理由を表にすると、次の順番になります。

答えは角ACBが70°、角ACDが110°です。角ACBと角ACDを足すと70 + 110 = 180°となり、一直線の条件にも合います。単位の度を最後まで付けると、角の大きさを求めていることが見やすくなります。

別の確かめ方では、外角ACDに隣り合わない内角Aと内角Bを足します。50 + 60 = 110°なので、先ほどの外角と一致します。この方法なら外角を直接求められますが、内角Cも問われているので、内角の和を使う計算を省かないでおきます。

図を読むとき、Cで線が3方向に伸びているため、角の取り違えが起こりやすくなります。CBからCAへ向かう開きが内角、CAからCDへ向かう開きが外角です。名前の両端が指す線を指でなぞり、塗られた三角形の内側か外側かを確認してから式に移ります。

線で分けた三角形を順に見る

三角形PQRで、辺QR上に点Sがあります。角QPSは25°、角PSQは110°、角SPRは35°です。線PSで三角形PQRを2つに分けています。角PQS、角PSR、角PRSを求めましょう。Q、S、Rはこの順に一直線上にあります。

最初に見るのは三角形PQSです。この三角形ではPとSの内角がわかるので、残りのQを求められます。25 + 110 = 135°、180 − 135 = 45°です。したがって角PQSは45°です。

次に点Sのまわりを見ます。角PSQと角PSRは、線QSと線SRが一直線なので合わせて180°です。180 − 110 = 70°より、角PSRは70°です。この70°は三角形PSRの内角です。先ほどの110°は同じ三角形について見ると外角なので、両方を内角として足しません。

最後に三角形PSRへ移ります。Pの内角は35°、Sの内角は70°ですから、35 + 70 = 105°、180 − 105 = 75°です。角PRSは75°になります。求めた角を元の図へ戻すと、P全体の角は25 + 35 = 60°、Qは45°、Rは75°です。60 + 45 + 75 = 180°となり、大きな三角形でも確かめられます。

判断の分かれ目は、Sの110°を見た瞬間に、どちらの三角形を選ぶかです。左側の三角形PQSなら110°は内角です。右側の三角形PSRなら、その角は辺SRをSからQの方向へ延ばしてできた外角です。同じ印でも、選ぶ三角形によって役割が変わります。

また、角PQSは三角形PQRの角PQRと同じです。Qから見てSはRの方向にあるため、線QSと線QRは同じ方向に重なります。こうした点の並びを確認すると、小さい三角形で出した答えを大きい三角形に移してよい理由がはっきりします。

外角を3つ目の内角にしてしまったら

図3では、三角形ABCの内角Aが40°、内角Bが80°です。辺BCをCの先のDまで延ばし、角ACDを調べます。誤って40 + 80 + 外角ACD = 180°と置くと、外角を60°と答えてしまいます。これは誤答です。

図3の誤りは計算の引き算より前にあります。180°になる三角形の内角はA、B、Cにある角で、Cでは角ACBを選びます。角ACDはその外側なので、AとBの内角に加えて180°にすることはできません。

直すときは、まず内角の合計からCの内角を求めます。40 + 80 = 120°、180 − 120 = 60°です。ここで出た60°は誤答の式で外角と呼んだ数と同じですが、実際は内角ACBです。外角ACDは180 − 60 = 120°になります。

外角を直接出しても、離れた内角の和は40 + 80 = 120°です。外角が60°だとすると、となりの内角60°と合わせて120°にしかならず、一直線の180°に足りません。式が合っているかだけでなく、答えを図のどの角に書くかまで確かめると、名前の取り違えを直せます。

外角が大きく見えるから120°と判断するのではなく、一直線の角か離れた2つの内角を根拠にします。図は角の位置を読む助けになりますが、見た目の大きさを測って計算の代わりにしないことも大事です。

外角から内角へ戻るとき

外角の大きさが先に示されている問題では、内角を先に求める道と、離れた内角を先に求める道があります。たとえば、ある三角形の外角が140°で、離れた内角の1つが85°なら、もう1つの離れた内角は140 − 85 = 55°です。外角のとなりの内角は180 − 140 = 40°です。85 + 55 + 40 = 180°となり、どちらの道も同じ三角形につながります。

このとき140 − 85の式が意味するのは、外角に等しい2つの内角の和から、わかっている片方を取り去ることです。180から85を引く式では、どの角との和が180°なのかが抜けています。引く数を選ぶ前に、まず等しくなる角の組を言葉で説明しましょう。

延長線を自分で引く問題でも、辺の向きを変えずにまっすぐ延ばします。たとえば辺BCをCの先へ延ばしたとき、外角はCの内角と並びます。Bの先へ延ばした場合はBの外角になり、足し合わせる離れた内角の組も変わります。延ばす頂点を間違えると、正しい性質を覚えていても別の角を求めてしまいます。

式を書いた後は、三角形の内側に記した3つの角を順にたどり、合計が180°かを確かめます。外角も求めたなら、その頂点の内角と合わせて180°かを確認します。途中で同じ角に違う数が入ったら、足し算をやり直す前に、選んだ線と頂点の名前から見直しましょう。

自分で解く問題

紙に三角形と延長線を描き、使う三角形の内側に印をつけてから計算しましょう。角の名前は、真ん中の文字を頂点として読みます。図を大きく描き、求める角に印をつけておきます。

1. 三角形ABCの角Aは35°、角Bは65°です。角Cを求めます。
2. 三角形DEFで角Dは48°、角Eは72°です。辺EFをFの先まで延ばしたところに点Gを取ります。角DFGを求めます。
3. 三角形JKLで辺KLをLの先まで延ばした点をMとします。外角JLMは130°、角Jは55°です。角Kと角JLKを求めます。
4. 三角形UVWの辺VW上に点Tがあります。角VUTは30°、角UTVは105°、角TUWは45°です。V、T、Wはこの順に一直線上にあります。角UVT、角UTW、角UWTを求めます。

答えと考えた道筋

1. 35 + 65 = 100°です。三角形の内角の和から引いて、180 − 100 = 80°となります。答えは角Cが80°です。3つの内角を足すと35 + 65 + 80 = 180°で、条件に合います。

2. 外角DFGに隣り合わない内角はDとEなので、48 + 72 = 120°です。答えは120°です。別に角DFEを求めると180 − 120 = 60°で、外角との和は60 + 120 = 180°です。外角がFにあることと、足した2つが同じ三角形のD、Eにあることを確かめます。

3. 外角JLMは、離れた内角Jと内角Kの和です。130 − 55 = 75°より、角Kは75°です。また、角JLKと外角JLMは一直線になるので、180 − 130 = 50°です。答えは角Kが75°、角JLKが50°です。55 + 75 + 50 = 180°と、三角形の内角でも検算できます。

4. まず三角形UVTで30 + 105 = 135°、180 − 135 = 45°より、角UVTは45°です。次にTの一直線から180 − 105 = 75°となり、角UTWは75°です。三角形UTWでは45 + 75 = 120°、180 − 120 = 60°なので、角UWTは60°です。大きい三角形のUの角は30 + 45 = 75°で、75 + 45 + 60 = 180°とも確かめられます。

覚えておくこと

• 三角形の内角は3つで、和は180°です。
• 延長線が一直線なら、外角ととなりの内角の和は180°です。
• 外角は、同じ三角形の離れた2つの内角の和です。
• 線で分けた図では、どの三角形を使うか先に決めます。
• 求めた数を元の角へ戻し、別の関係でも確かめます。

家で確かめるときの声かけ

お子さまが外角を内角の和に足したら、すぐに式を書き直す前に、選んだ三角形の内側を指でたどってもらいます。「Cの内側はどの2本の線の間かな」と問い、内角と外角の境目を見分けられるかを観察します。2本を示せたら、次は一直線になる角の組を探してもらいます。

途中で止まった場合は、三角形の内角の和と一直線の角のどちらを使う場面かを一緒に選び、計算はお子さまに任せます。答えが出た後は、数を図に戻して、となりの角との和や離れた2つの角の和で確かめます。外角を見つけたら、まずその三角形の内側を確かめましょう。