【物理】物質波と原子模型を図解で総まとめ—ド ブロイ波・ボーアの原子模型・水素原子のスペクトル｜武蔵野個別指導塾

電子の波長から水素原子の発光までを、定常波とエネルギー準位の図でつなぎます。加速電子やスペクトルの計算例を通して、量子条件と振動数条件を使い分ける力を養えます。

よくあるのは、塾の自習室の白板の前で、水素原子の電子が内側の軌道へ移る矢印を見て、「電子の速さが変わるから光が出る」と説明したところで、光の波長を求める式が出てこなくなるという場面です。円運動の式は知っていても、電子の運動と光のエネルギーをどこで結びつけるかが見えないと、覚えた公式がばらばらになります。

この単元には、電子に対応する波と、原子が放出する光という、別の波が登場します。電子の波長は運動量から、光の波長は原子のエネルギーの差から求めます。この区別を先に置くと、同じ記号 λ が使われていても迷いにくくなります。円周に波がぴったり収まる条件を出発点に、許される電子の状態、光の色が限られる理由へと順に進みましょう。最後には、準位図の矢印から吸収と放出を判定し、水素原子のスペクトル系列まで説明できるようにします。

この単元で身につけること

• 物質波の波長を運動量と結びつけます。λ＝h/p の p は運動量の大きさで、速さが光速より十分小さい電子では p＝mv と表せます。
• 電圧で加速した電子の波長を求めます。電場が電子にした仕事を運動エネルギーに変え、速さを経由せずに運動量を計算する道筋も使います。
• ボーアの量子条件の意味を説明します。軌道の円周が物質波の波長の整数倍になる条件から、どんな円軌道でも許されるわけではないことを読み取ります。
• エネルギー準位図から光の吸収・放出を区別します。原子のエネルギーが下がるときに放出される光子のエネルギーは、前後の準位の差です。
• 水素原子のスペクトル系列を分類します。戻る先の準位が同じ遷移をまとめ、ライマン系列、バルマー系列、パッシェン系列を見分けます。

力学で学んだ運動量と円運動、電気で学んだ電位差と仕事、波で学んだ定常波が、この単元でつながります。難しい新しい計算を増やすより、すでに知っている式をどの対象に使うかを確かめることが理解の土台です。

基本の考え方

電子にも波の性質がある

物質波は、電子などの粒子に対応する波です。ド ブロイは、運動量の大きさ p を持つ粒子に対して、波長 λ が λ＝h/p で与えられると考えました。h はプランク定数です。光について成り立つ運動量と波長の関係を物質にも広げた考えであり、古典的な円運動の法則だけから導ける式ではありません。物質波はド ブロイ波とも呼ばれます。

電子の波の性質は、電子線を結晶に当てたときの回折や干渉に表れます。結晶中に規則正しく並ぶ原子によって散乱された電子線が強め合う方向と弱め合う方向を作ることは、波としての性質を使うと説明できます。一方、検出される電子は一つずつ局所的な反応を起こします。「粒子だから波ではない」と切り分けるのではなく、観測する現象に応じて両方の性質が現れると押さえます。

ただし、電子が水面のように上下に揺れているわけではありません。また、物質波を電子から飛び出す光と考えるのも違います。ここでは波の詳しい数学的な扱いへ進まず、回折・干渉と波長の関係を使います。運動量が大きいほど波長が短くなることが、最初に読める重要な性質です。

速さ v が光速より十分小さい場合は、p＝mv を代入して λ＝h/(mv) と書けます。同じ電子なら速さを2倍にすると波長は半分です。日常の大きな物体にもこの考えは適用されますが、運動量が大きいため波長は非常に短く、身の回りの隙間などで波としての性質を見分けることは容易ではありません。物質波を電子だけに特有の名前だと思わないようにします。

この先の数値計算には、教科書でよく使う近似値 h＝6.63×10⁻³⁴ J·s、電子の質量 m＝9.11×10⁻³¹ kg、電気素量 e＝1.60×10⁻¹⁹ C、光速 c＝3.00×10⁸ m/s を使い、答えを有効数字3桁で示します。電子の電荷は −e ですが、e 自体は正の大きさです。エネルギーの単位 eV は電子ボルトと読み、1 eV＝1.60×10⁻¹⁹ J です。

ボーアの原子模型と円周に収まる波

原子の中心には正の電荷を持つ原子核があり、その周りに電子があります。原子核の周りを電子が円運動するという古典的な模型だけでは、原子の安定性を説明できません。古典的な電磁気学では、円運動する電子は電磁波を出してエネルギーを失うと考えられるためです。ボーアは、水素原子の電子には、光を出さずに存在できる特別な状態があると仮定しました。これを定常状態といいます。

定常状態として許される円軌道には、mvr＝nh/(2π) という量子条件を課します。r は軌道半径、n は1、2、3、…という正の整数で、量子数です。この条件は古典力学から自動的に出る法則ではありません。後に物質波の考えを使うと、円周に波がつながる条件として意味を捉えられるようになりました。

円周の長さ 2πr に n 個の波長が収まるなら、2πr＝nλ です。ここへ λ＝h/(mv) を代入すると 2πr＝nh/(mv) となり、両辺を整理すればボーアの量子条件が得られます。図1のように、円周を切り開いた長さに整数個の波が収まれば、端をつなぎ直したとき波の位相が一致します。整数個でなければ、つなぎ目で波の山と谷の位置が合いません。

図1は n＝3 の条件を、円周に沿う位置を横方向に取って示した模式図です。曲線の上下は電子の実際の軌道ではなく、波のつながりを考えるための表示です。また、横方向の長さは1波長ずつ等しく区切っています。定常波を学んだときの「境界に合う波だけが残る」という考えを使えますが、弦の両端のような固定端が原子の中にあるわけではありません。

円運動の条件も使って、許される半径を確かめます。クーロンの法則の比例定数を k とすると、原子核を静止しているものと近似した水素原子では mv²/r＝ke²/r² です。左辺は円運動に必要な力、右辺は原子核と電子の間の電気的な引力の大きさです。量子条件から v＝nh/(2πmr) と表して代入し、r について整理すると、rₙ＝n²h²/(4π²mke²) が得られます。したがって rₙ＝n²r₁ で、n が大きい状態ほど軌道半径は大きくなります。

この模型は水素原子のような電子が1個の原子・イオンを考えるときに力を発揮します。ただし、ここで示すエネルギーの数値は水素原子のものです。多数の電子を持つ原子へ、そのまま同じ半径やエネルギーを当てはめることはできません。また、この円軌道の絵を、現在の原子の理解における電子の正確な道筋とみなすことも避けます。

エネルギー準位と光の色

水素原子の電子の運動エネルギーは K＝mv²/2 です。先ほどの円運動の式から mv²＝ke²/r なので、K＝ke²/(2r) と書けます。原子核から無限に離れた位置を位置エネルギーの基準にすると、電気的な位置エネルギーは U＝−ke²/r です。引力で結びついた位置では、無限遠へ引き離すために仕事が必要なので、U は負になります。

電子と原子核の系の力学的エネルギーは E＝K＋U＝−ke²/(2r) です。rₙ が n² に比例することから、Eₙ は −1/n² に比例します。水素原子では、Eₙ＝−13.6/n² eV と表せます。このように許されるエネルギーの値をエネルギー準位と呼びます。最も低い n＝1 が基底状態で、それより高い n＝2、3、…は励起状態です。

エネルギーが負でも、運動エネルギーが負なのではありません。運動エネルギーは正で、より大きな絶対値を持つ負の位置エネルギーを加えた結果が負です。E＝0 は、電子が原子核から無限に離れ、運動エネルギーも0という境目です。原子から電子を引き離すことを電離といい、基底状態からの電離には少なくとも13.6 eV が必要です。

ある準位から別の準位へ移ることを遷移といいます。高い準位から低い準位への遷移で放出される光子のエネルギーは、hν＝E高−E低 です。ν は光の振動数で、この関係をボーアの振動数条件といいます。これは原子の失ったエネルギーが光子のエネルギーになるというエネルギー保存の表現です。逆に低い準位から高い準位へ光で移るには、その差に合うエネルギーの光子を吸収します。

真空中の光では c＝λν なので、波長は λ＝hc/(E高−E低) です。差が大きいほど振動数は高く、波長は短くなります。電子の物質波には λ＝h/p、放出光には λ＝hc/ΔE を使います。計算を始める前に「どちらの波の波長か」を日本語で書くと、式の選択がはっきりします。

例題で解き方を確かめる

例題1　速さから電子の物質波の波長を求める

電子が速さ2.00×10⁶ m/s で運動しています。この電子の物質波の波長を求めましょう。光速に比べて十分小さい速さとして、p＝mv を使います。

1. 求める対象を「電子の物質波」と決め、λ＝h/p を選びます。原子の発光の問題ではないので、エネルギー準位の差は使いません。
2. p＝mv＝9.11×10⁻³¹×2.00×10⁶＝1.822×10⁻²⁴ kg·m/s と計算します。ここは途中の値なので、最後の答えより多い桁を保ちます。
3. λ＝6.63×10⁻³⁴/(1.822×10⁻²⁴) を計算します。J·s を kg·m²/s と見れば、運動量で割った単位が m になることも確かめられます。

答え：3.64×10⁻¹⁰ m です。

原子の大きさに近い短い波長が得られました。速さを変えた場合の見通しは、数値を入れ直す前に立てられます。同じ電子で速さを2倍にすれば運動量も2倍なので、波長は半分です。関係を一度言葉で確かめておくと、指数の計算違いにも気づけます。

例題2　電圧で加速した電子の波長を求める

初めの速さを無視できる電子を、100 V の電位差で加速します。ここでは100 V を有効数字3桁の値として扱います。加速後の電子の物質波の波長を求めましょう。

1. V は加速に使う電位差の大きさで、eV が電子の電場から受け取った正の仕事を表します。初めの速さを無視すると、電子が得る運動エネルギーは K＝eV です。
2. K＝p²/(2m) を使い、p＝√(2meV) とします。この式は p＝mv と K＝mv²/2 から v を消して得られるため、速さを先に求めなくてもかまいません。
3. λ＝h/√(2meV) に代入します。K＝1.60×10⁻¹⁷ J、p は約5.40×10⁻²⁴ kg·m/s なので、波長が求まります。途中では丸める前の値を使います。

答え：1.23×10⁻¹⁰ m です。

この場合の速さは5.93×10⁶ m/s で、光速の約1.98％です。ここでは相対論による修正を無視する近似が使えます。加速電圧をいくら大きくしても同じ式を無条件で使えるわけではありません。また、λ は電圧そのものの逆数ではなく、電圧の平方根の逆数に比例します。電圧が4倍になれば波長は半分になると読み取れます。

例題3　水素原子が出す光の波長を求める

水素原子が n＝3 の状態から n＝2 の状態へ遷移します。放出される光の波長を求め、どの系列に属するか答えましょう。図2のように準位の高さをそろえて描くと、引き算の順序が見えます。

図2の縦軸はエネルギーを表し、等間隔の目盛りを付けています。準位線の間隔は等しくなく、n が大きいほど E＝0 に近づいて詰まります。赤い下向きの矢印が、今回求める n＝3 から n＝2 への遷移です。

1. E₃＝−13.6/9 eV、E₂＝−13.6/4 eV と書きます。負の数では0に近いほうが高い準位なので、E₃ のほうが高くなります。
2. 光子のエネルギーを ΔE＝E₃−E₂＝13.6×(1/4−1/9) eV とします。これは1.89 eV で、J に直すと3.02×10⁻¹⁹ J です。後の計算には丸める前の値を入れます。
3. λ＝hc/ΔE を計算し、m から nm へ換算します。1 nm＝10⁻⁹ m なので、6.58×10⁻⁷ m は658 nm です。
4. 遷移先が n＝2 なので、バルマー系列と分類します。系列を決めるのは出発点の3ではなく、戻る先の2です。

答え：波長6.58×10⁻⁷ m（658 nm）の光で、バルマー系列です。

この波長は可視光の赤色の領域にあります。ここで得た値は、本文に示した近似定数から計算した値です。より細かい定数を使った表の波長と末尾が少し違っても、与えられた定数で一貫して計算できていれば考え方は同じです。

例題4　励起状態からの電離を考える

n＝2 の状態にある水素原子を、光の吸収によって電離させます。必要な最小の光子エネルギーと、電離を起こせる光の最長波長を求めましょう。

1. 電離の境目を E＝0 とします。最小のエネルギーを考えるので、電子が無限遠で持つ運動エネルギーを0と置きます。
2. 必要なエネルギーは 0−E₂＝0−(−3.40)＝3.40 eV です。基底状態の電離エネルギー13.6 eV を、そのまま使わないことがポイントです。
3. 3.40 eV を5.44×10⁻¹⁹ J に換算して λ＝hc/ΔE に入れます。光子エネルギーと波長は反比例するので、エネルギーが最小となる境目が波長の最大値です。

答え：最小の光子エネルギーは3.40 eV、最長波長は3.66×10⁻⁷ m（366 nm）です。

これより短い波長の光子が吸収されれば、電離に必要な分を超えるエネルギーは、原子核の反動を無視すると放出電子の運動エネルギーになります。束縛された準位どうしの遷移では決まった差が必要ですが、電離後の電子には余分な運動エネルギーを持たせられる、という違いがあります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　量子条件と振動数条件を取り違える

誤った書き方は、「電子の軌道を決めるために hν＝E高−E低 を使う」です。この式が結びつけるのは原子のエネルギー差と光の振動数であり、一つの定常状態で許される半径を直接決める条件ではありません。

正しい書き方は、「軌道の条件は mvr＝nh/(2π)、光の吸収・放出の条件は hν＝E高−E低」です。前者は状態を決め、後者は状態の間の変化を決めます。電子の円運動の回転の頻度と、放出光の振動数を同じものとみなすこともできません。ノートでは前者の横に円、後者の横に2本の準位線と矢印を描くと、対象の違いを確かめられます。

誤り2　負のエネルギーをそのまま光子に渡す

誤った書き方は、「n＝3 から n＝2 へ移るので、光のエネルギーは E₂−E₃ で負になる」です。E₂−E₃ は原子のエネルギーの変化であって、放出された光子が持つエネルギーではありません。原子が失う量と光が受け取る量を同じ符号にしたことが原因です。

正しい書き方は、「原子の変化は E₂−E₃＜0、光子のエネルギーは E₃−E₂＞0」です。放出では下向き、吸収では上向きに矢印を描き、光子のエネルギーは常にその矢印に対応する正の差として扱います。図2の縦軸を使えば、負の数の絶対値が大きい n＝1 は、最も低い準位だと確認できます。

誤り3　系列を出発点で分類する

誤った書き方は、「n＝3 から始まる光はすべてパッシェン系列」です。系列は、いくつかの出発点から同じ準位へ戻る遷移をまとめたものなので、出発点だけでは決まりません。n＝3 から n＝1 へ戻ればライマン系列、n＝2 へ戻ればバルマー系列です。

正しくは、戻る先が n＝1 ならライマン系列、n＝2 ならバルマー系列、n＝3 ならパッシェン系列と書きます。図3のように、上側の n＝4 を共通にしても、矢印の終点が変われば系列は変わります。図の上下の間隔もエネルギー差に比例させているため、下まで長く伸びる矢印ほど短波長の光に対応します。

ライマン系列は紫外線、パッシェン系列は赤外線です。バルマー系列には可視光の線が含まれますが、高い準位からの遷移や系列の短波長側の極限は紫外線側に入るので、「全部が可視光」とは書きません。原子が出す光を波長ごとに分けると、連続した色の帯ではなく、特定の波長の線が並びます。これが線スペクトルです。

系列の式も準位の差から作れます。出発点を n、戻る先を q として n＞q とすると、光子のエネルギーは13.6×(1/q²−1/n²) eV です。これを hc/λ と等しく置いて整理すると、1/λ＝R×(1/q²−1/n²) となります。R はリュードベリ定数で、ここで使う近似値からは R＝1.09×10⁷ m⁻¹ です。q を固定して n を大きくすると1/n² が小さくなり、波長はその系列の最短波長に近づきます。暗記した系列の式も、準位の差の書き換えだと理解できます。

練習問題

練習1

速さ3.00×10⁶ m/s の電子の物質波の波長を求めましょう。電子の速さは光速に比べて十分小さいものとします。最初に「速さが例題1より大きいので、波長はどう変わるか」を予想してから計算してください。

練習2

初めの速さを無視できる電子を、400 V の電位差で加速します。400 V は有効数字3桁の値として扱います。物質波の波長を求め、例題2の結果との比も答えましょう。比は電圧と波長の関係から先に求められます。

練習3

水素原子が n＝2 から n＝1 へ遷移するとき、放出光の光子1個のエネルギーを eV で、波長を m で求めましょう。さらに、系列名と、紫外線・可視光・赤外線のどれに当たるかを答えてください。

練習4

ボーアの模型で、n＝3 の軌道半径は基底状態の何倍ですか。また、n＝3 からの電離に必要な最小エネルギーを eV で求めましょう。半径の比と電離エネルギーが、量子数に対して逆向きに変化することも確認してください。

答えと解説

練習1の答えは2.43×10⁻¹⁰ m です。λ＝h/(mv) に代入します。速さは例題1の1.5倍なので、波長はその2/3です。比は途中で丸めていない値どうしで比べます。予想した「速いほど波長が短い」と一致することまで確かめましょう。

練習2の答えは6.14×10⁻¹¹ m で、例題2の波長の0.500倍です。λ＝h/√(2meV) を使います。電圧が4倍なので、得る運動エネルギーは4倍、運動量は2倍、波長は半分という順序です。エネルギーが4倍だから速さも4倍、としないようにします。

練習3の答えは10.2 eV、1.22×10⁻⁷ m、ライマン系列の紫外線です。差は E₂−E₁＝−3.40−(−13.6)＝10.2 eV となります。J に換算すると1.63×10⁻¹⁸ J ですが、波長を求める段階では換算前から保持した桁で計算します。戻る先が n＝1 なので、系列名も決まります。

練習4の答えは半径が9倍、最小エネルギーが1.51 eV です。半径には rₙ＝n²r₁、エネルギーには Eₙ＝−13.6/n² eV を使います。n＝3 から0まで上げるために必要な量は13.6/9 eV です。電子が外側の状態にあるほど原子核との結びつきが弱く、電離に必要なエネルギーも小さいと読めます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

次に原子核や放射線を学ぶときにも、状態の前後のエネルギーを比べ、放出されるものが持つエネルギーを考えます。ただし、水素原子のこの準位式は電子の状態についての式です。原子核そのものの変化へ −13.6/n² eV を持ち込まず、何の状態が変化しているのかを区別する必要があります。

家庭での1つ目の確認は、紙に n＝1、2、3 と E＝0 の線を描き、n＝3 から n＝2 の矢印に「放出」、逆向きに「吸収」と書くことです。5分以内に、それぞれの光子のエネルギーが同じ正の差になる理由を説明してみましょう。計算が止まったら、まず負の数の大小を読み直します。

2つ目は、電子の速さを2倍、加速電圧を4倍、光子のエネルギーを2倍にした場合を、別々に紙に書くことです。それぞれの波長が元の半分になる理由を、使う式を添えて説明します。同じ「半分」でも、物質波と光では出発する量が違うことを5分で確かめられます。

個別指導では、λ の対象が曖昧なら物質波と光の区別へ、eV の換算が止まるなら電位差と仕事へ、準位の上下を逆に読むなら負の数の比較へ戻って確認します。保護者の方がお子さまの説明を聞く場合も、公式を言えたかだけでなく、「何の波長を求めたのか」を聞くと、理解している部分が見えやすくなります。

まとめ

白板に描かれた電子の移動の矢印を、速さの変化だけで説明しようとすると、光の波長を決める根拠が抜けてしまいます。まず許される状態を量子条件で定め、次に前後のエネルギーを振動数条件で結ぶと、円運動の模型と線スペクトルが一つの筋道になります。

問題で見慣れない波長が出ても、電子に対応する波なのか、原子が受け渡す光なのかを決めれば、最初の式を選べます。準位図の矢印は移動の距離ではなく、原子と光が受け渡すエネルギーを示します。光の色を決めるのは、軌道の見た目ではなく二つの状態のエネルギー差です。