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【数学III】いろいろな関数の微分を図解で総まとめ—積・商・合成関数・三角・指数・対数・媒介変数｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学III】いろいろな関数の微分を図解で総まとめ—積・商・合成関数・三角・指数・対数・媒介変数のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

x sin xやxˣの微分を例題でたどり、逆関数・媒介変数・円の接線を3枚の図で確かめます。公式を選ぶ理由と、分母や対数の条件まで順に確認できます。

よくあるのは、雨の日に部室の長机で宿題を開き、y=sin(2x)の微分をcos(2x)と書いたあと、解答についている「2」の理由がわからなくなるという場面です。sin xを微分するとcos xになることは覚えていても、かっこの中まで変化することを見落とすと、途中から答えが合わなくなります。公式の暗記を増やす前に、式のどの部分がどの変数とともに動くかを見分ける必要があります。

数学IIIでは、三角関数・指数関数・対数関数へと微分の対象が広がります。さらに、積や商の形をした式、関数の中に別の関数が入った式、xとyを別の文字で表した曲線も扱います。見かけは複雑でも、使う規則を式の外側から順に選べば、計算の道筋を作れます。ここでは導関数を求める方法を中心に学び、最後に「計算できる点の条件」まで確かめます。接線の傾きという微分の意味を手放さずに読むことが、公式を使い分ける支えになります。

この単元で身につけること

積と商の微分を使います。2つの関数が同時に変わるとき、一方の変化だけで済ませず、それぞれの変化を式に反映します。
合成関数を外側と内側に分けます。外側を微分したあと、内側の導関数をかける理由を、変化の割合のつながりとして捉えます。
三角関数・指数関数・対数関数の導関数を求めます。弧度法、対数の底、真数条件も公式と一緒に確認します。
逆関数と対数微分法を扱います。直接計算しにくい関数でも、変数を入れ替えたり両辺の対数をとったりして、既知の微分へ戻します。
媒介変数表示と陰関数から傾きを求めます。yがxの式として表れていなくても、各変数の関係を微分できます。
高次導関数を計算します。一度求めた導関数をさらに微分し、関数の変化をより詳しく調べる準備をします。

数学IIの多項式の微分と、極限の単元で学んだ微分係数の定義が出発点です。分数式の整理、三角関数の基本値、対数の性質に不安があるときは、微分の公式とは分けてその計算を確かめると、つまずいた場所を見つけやすくなります。

基本の考え方

積・商・合成関数は「式の形」で選びます

関数y=f(x)のx=aにおける微分係数は、hを0に近づけたときの{f(a+h)-f(a)}/hの極限です。その極限が有限の値として存在するとき、そこで微分可能といいます。aを動かして各点での微分係数を対応させた関数が導関数f′(x)です。y′やdy/dxも、yをxで微分したことを表します。dy/dxは変化の割合を示す記号であり、いつでも通常の分数と同じ操作ができるわけではありません。

微分可能な関数u=u(x)、v=v(x)について、和と定数倍はそれぞれ微分できます。(u+v)′=u′+v′、(cu)′=cu′です。積では、(uv)′=u′v+uv′となります。「左だけを微分した項」と「右だけを微分した項」の和です。辺の長さがともに変わる長方形の面積を思い浮かべると、一方の辺だけの変化では面積の変化を捉えきれないことが見えてきます。

積の公式は、差の取り方からも確かめられます。u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)を、{u(x+h)-u(x)}v(x+h)+u(x){v(x+h)-v(x)}に分け、hで割って極限をとります。微分可能なら連続なのでv(x+h)はv(x)に近づき、u′v+uv′が得られます。公式の2つの項は、単なる暗記の飾りではありません。

商の公式は、v≠0のところで(u/v)′=(u′v-uv′)/v²です。分子は「分子の微分×分母」から「分子×分母の微分」を引き、分母は元の分母の2乗にします。順序を逆にすると符号が変わります。y=u/vをyv=uと書き直し、積の公式でy′v+yv′=u′とすれば、商の公式を導けます。元の式の分母が0になる点は、整理後に式が簡単になっても勝手に定義域へ加えられません。

合成関数y=f(g(x))では、u=g(x)と置くとy=f(u)です。必要な点で両方が微分可能なら、dy/dx=(dy/du)×(du/dx)、すなわちy′=f′(g(x))g′(x)となります。入力xの変化がまずuを変え、その変化がyへ伝わるため、2段階の変化率をかけます。例えばy=(3x+1)²なら、外側の2乗を微分して2(3x+1)、内側を微分して3なので、y′=6(3x+1)です。

規則は1つだけ使うとは限りません。y=x sin(x²)なら、最も外側はxとsin(x²)の積です。先に積の公式で2項に分け、sin(x²)を微分する場面で合成関数の公式を使います。式全体を見ずに最初に目についたsinだけを微分するより、外側から内側へ進むほうが、必要な項を保てます。

三角・指数・対数の公式と条件を対にします

三角関数の基本公式は、(sin x)′=cos x、(cos x)′=-sin x、(tan x)′=1/cos²xです。角xは弧度法で表します。度数法の数値をそのまま変数にすると別の係数が必要になるので、微分に入る前に角の単位を確認します。sin xの公式の土台には、hを0に近づけたときsin h/hが1へ近づくという極限があります。

tan x=sin x/cos xに商の公式を使うと、導関数は(cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²xです。ただしcos x≠0の点に限ります。公式に見える分母は、元の関数が定義されない場所を見つける手掛かりでもあります。合成したsin uなら導関数はcos u×u′、cos uなら-sin u×u′です。

以下、log xは自然対数、つまり底eの対数を表します。eは自然対数の底となる定数です。指数関数では(eˣ)′=eˣ、またa>0、a≠1の定数aについて(aˣ)′=aˣ log aとなります。a=1なら関数は定数1なので導関数は0です。eを底にするとlog e=1なので、余分な係数が現れません。例えば(e²ˣ)′=2e²ˣで、指数の2xの微分もかけます。

対数関数では、x>0のとき(log x)′=1/xです。底がaの対数をlogₐ xと書けば、(logₐ x)′=1/(x log a)となり、a>0、a≠1が条件です。これは底の変換logₐ x=log x/log aから得られます。底を明示しないlogの約束は教材によって確かめる必要があり、計算では今どの底を使っているかをはっきりさせます。

合成関数log uは、u>0の範囲で(log u)′=u′/uです。一方、u≠0の範囲では(log|u|)′=u′/uも成り立ちます。例えばlog|x|の導関数はx<0でも1/xですが、log x自体は実数の範囲でx<0に定義されません。導関数の式が似ていても、元の関数の定義域は区別します。

逆関数では対応する点と傾きを交換します

y=f(x)がある区間で1対1に対応するとき、入力と出力の役割を逆にした関数を逆関数といいます。逆関数をgとすればg(f(x))=xです。両辺を微分するとg′(f(x))f′(x)=1なので、対応する点でg′(f(a))=1/f′(a)となります。ここでは逆関数がその点の近くで定義され、元の関数の導関数が連続でf′(a)≠0である場合を考えます。0の逆数は作れないことにも注意が必要です。

図1のように、y=x²をx≧0に制限すると逆関数はy=√xです。点(2,4)と点(4,2)は直線y=xに関して対称で、前者の傾き4に対し後者の傾きは1/4です。横の増分と縦の増分が入れ替わるので、傾きも逆数になります。y=x²を実数全体で考えると、2と-2の両方が4へ移るため、そのままでは逆関数を1つに定められません。

平方根の導関数は、x>0で(√x)′=1/(2√x)となります。元の放物線の原点では傾きが0なので、逆数の公式は使えません。平方根のグラフの原点では右側からの変化率が際限なく大きくなり、有限の微分係数は得られません。図の対称性と公式の条件を一緒に読むと、適用範囲が具体的に見えます。

例題で解き方を確かめる

例題1　積と商を見分けて微分します

y=x sin x、およびz=sin x/(x+1)の導関数を求めます。式の一部が同じでも、全体が積か商かによって使う公式が変わります。

yではu=x、v=sin xと分けます。u′=1、v′=cos xなので、積の公式からy′=1×sin x+x cos xです。2つの因子がともにxに応じて変化するため、2項が必要です。
zでは分子をu=sin x、分母をv=x+1とします。u′=cos x、v′=1なので、z′={(x+1)cos x-sin x}/(x+1)²です。分母の微分が1でも、それをかけた項を消してよいわけではありません。
zの定義域はx≠-1です。導関数の分母を見直して同じ制限が残っていることを確かめます。x=0を代入するとy′(0)=0、z′(0)=1となり、各項を落としていないかの確認にも使えます。

答え：y′=sin x+x cos x、z′={(x+1)cos x-sin x}/(x+1)²（x≠-1）です。

積の導関数をu′v′にすると、例題のy′はcos xとなり、x=0で1を返してしまいます。もとのx sin xは原点付近でx²に近い動きをするので、原点で傾きが0になる結果と整合します。特定の点での確認だけでは公式の証明にはなりませんが、計算の誤りを発見する手掛かりになります。

例題2　積の内側にある合成関数を微分します

y=e²ˣ sin(3x)の導関数を求め、x=0における微分係数も求めます。指数関数と三角関数の積であり、その両方の中に合成関数があります。

最も外側をu=e²ˣ、v=sin(3x)の積と見ます。はじめにy′=u′v+uv′と枠を作ると、どちらの微分も必要だとわかります。
uはeの指数が2xなので、u′=e²ˣ×2です。vはsinの中が3xなので、v′=cos(3x)×3です。外側の公式だけで止めず、内側の導関数をかけます。
代入してy′=2e²ˣ sin(3x)+3e²ˣ cos(3x)を得ます。共通因子をまとめるとe²ˣ{2sin(3x)+3cos(3x)}です。x=0ではe⁰=1、sin 0=0、cos 0=1を使います。

答え：y′=e²ˣ{2sin(3x)+3cos(3x)}、y′(0)=3です。

この例では、e²ˣを微分しても指数の2xは残り、sin(3x)を微分しても角の3xは残ります。内側の式そのものを消してしまうのではなく、外側を変えた式に内側の変化率を追加します。整理後の形は見やすさのためで、展開した2項の形でも正しい答えです。

例題3　底と指数が両方動く式を微分します

x>0でy=xˣの導関数を求めます。xˣは「xのx乗」であり、指数が定数のべき関数とも、底が定数の指数関数とも違います。このようなとき、対数の性質を使って指数を前へ出す対数微分法が役立ちます。

x>0ならy>0なので、両辺の自然対数をとれます。log y=x log xとなります。対数をとる前に正であることを確認するのは、同じ実数の範囲で式を扱うためです。
両辺をxで微分します。左辺のyもxの関数なので、合成関数としてy′/yです。右辺には積の公式を使い、log x+x×(1/x)=log x+1となります。
y′/y=log x+1の両辺にyをかけ、最後にy=xˣを戻します。yを残したままでも途中式としては意味がありますが、求める導関数はxの式にまとめます。

答え：y′=xˣ(log x+1)（x>0）です。

対数微分法は、正の関数を底に持つ「関数の関数乗」にも使えます。また、積や商がいくつも重なった式を、対数をとって和や差へ変える用途もあります。ただし、因子が負になる可能性がある場合はlog|y|などの扱いと、0になる点を別に考える必要があります。計算を短くする方法でも、定義域の点検は省略しません。

例題4　媒介変数から曲線の傾きを求めます

実数tを用いてx=t²、y=t³と表される曲線について、t=1でのdy/dxとd²y/dx²を求めます。tのようにxとyを結び付ける別の変数を媒介変数といいます。図2にはt≧0の部分を描きました。

xもyもtの関数なので、まずdx/dt=2t、dy/dt=3t²を求めます。dx/dt≠0のところでは、合成関数の微分からdy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)です。したがってt≠0でdy/dx=3t/2となります。
t=1の点は(x,y)=(1,1)で、傾きは3/2です。図2のように、接線はy-1=(3/2)(x-1)となります。図中の接線は、この式で曲線上の点を通るように描かれています。
第2次導関数はdy/dxをxで微分したものです。tで微分したあとdx/dtで割るので、d²y/dx²={d(3t/2)/dt}/(2t)=(3/2)/(2t)=3/(4t)です。t=1を代入します。

答え：t=1でdy/dx=3/2、d²y/dx²=3/4です。

図2ではtが0から増えると点は右上へ進みます。同じ速さでtを増やしても、横の変化量と縦の変化量は同じではありません。その割合を割り算で比べるのが媒介変数の微分です。なおt=0ではdx/dt=0なので、この割り算の公式は直接使えません。約分後の3t/2へ0を入れるだけで微分の存在を結論づけず、必要なら枝ごとの式や極限を調べます。

高次導関数は、y′をさらに微分したy″、その次のy‴というように、微分を繰り返して得ます。y″は第2次導関数で、d²y/dx²とも書きます。これは(dy/dx)²という「導関数の2乗」とは別です。例えばy=sin xなら、y′=cos x、y″=-sin x、y‴=-cos xとなり、4回目の微分でsin xへ戻ります。高次導関数でも新しい四則計算の規則が増えるわけではなく、前の導関数へ同じ微分法を適用します。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　内側の微分をかけ忘れます

誤った書き方：y=log(1+x²)に対してy′=1/(1+x²)とします。どこが違うかというと、logの中がxではなく1+x²なのに、その変化率を1として扱っている点です。ここでは真数1+x²がすべての実数xで正になるので、定義域は実数全体です。

正しい書き方：u=1+x²と置き、dy/du=1/u、du/dx=2xから、y′=2x/(1+x²)とします。外側の微分と内側の微分を別々の行に書くと、かけ忘れを見つけやすくなります。x=0で傾きが0になることも、左右対称な元の関数の形と整合します。

誤り2　陰関数のyを定数として扱います

誤った書き方：x²+y²=25をxで微分して2x+2y=0とします。どこが違うかというと、曲線上でxを動かしたときyも変わるのに、y²の微分にdy/dxをかけていない点です。このようにxとyの関係式で関数を表す方法を陰関数表示といいます。

正しい書き方：yを局所的にxの関数として扱えるところで、2x+2y y′=0とし、y≠0ならy′=-x/yです。例えば点(3,4)は3²+4²=25を満たし、傾きは-3/4です。円全体は1つのy=f(x)にはなりませんが、点(3,4)の近くでは上半円y=√(25-x²)を選べます。図3のように、そこでの接線3x+4y=25は半径と垂直です。

図3の右端(5,0)ではy=0なので、-x/yに代入できません。そこでの接線は鉛直な直線x=5で、有限のdy/dxはありません。「分母が0だから曲線上の点がない」のではなく、「その点でyをxの微分可能な関数として扱えない」と読みます。微分後の式を割る前に、割る量が0でないかを確認することが必要です。

誤り3　第2次導関数をtだけで微分します

誤った書き方：x=t²、y=t³からdy/dx=3t/2を得たあと、d²y/dx²=3/2とします。どこが違うかというと、3/2はdy/dxをtで微分した値であり、求めたいxに関する変化率ではない点です。微分する変数を省いて考えると、この取り違えが起こります。

正しい書き方：d/dxでの微分を「tで微分してdx/dtで割る」と読み、d²y/dx²=(3/2)/(2t)=3/(4t)とします。別の誤りとして、(d²y/dt²)/(d²x/dt²)=6t/2=3tとする方法も成り立ちません。1階の公式を記号だけ2階に置き換えることはできず、まずdy/dxという関数を作る必要があります。各行に何で微分したかを書き添えると、修正すべき段階がはっきりします。

練習問題

練習1

y=(x²+1)/(x-1)の導関数を求めてください。最初に定義域を記し、商の公式の分子を展開する前の形も残します。計算後にx=2での導関数の値を確かめてください。

練習2

y=sin(2x)の第1次導関数と第2次導関数を求めてください。さらにx=π/4でのそれぞれの値を求めます。角は弧度法です。2回目の微分でも内側の2xを意識して計算します。

練習3

x>0でy=x² log xの導関数を求め、x=1での微分係数を求めてください。対数微分法を使わず、積の公式で求められます。例題3のxˣと、式の構造がどう違うかも言葉にしてみます。

練習4

次の2つの傾きを求めてください。(1) y=eˣの逆関数について、点(e,1)における傾き。(2) 円x²+y²=25について、点(4,3)における接線の傾き。どちらも、公式の分母になる量が0でないことを確認します。

答えと解説

練習1の答えは、y′=(x²-2x-1)/(x-1)²（x≠1）、x=2で-1です。商の公式から{2x(x-1)-(x²+1)}/(x-1)²となります。分子の後半にはかっこが必要で、-x²-1と両方の符号を変えます。別の確認として、元の式をx+1+2/(x-1)と変形すれば、y′=1-2/(x-1)²となり、同じ結果になります。

練習2の答えは、y′=2cos(2x)、y″=-4sin(2x)です。x=π/4ではy′=0、y″=-4となります。2回目は係数2をそのまま残し、cos(2x)の導関数-2sin(2x)をかけます。y″が-4になるのは、もとの関数値が負だからではありません。この点でのyは1ですが、導関数が減少する向きに変化しています。

練習3の答えは、y′=2x log x+x、x=1で1です。積の公式の後半はx²×(1/x)=xとなります。ここではx²というべき関数とlog xという関数をかけているので、通常の積の微分で十分です。対数微分法を選ぶかどうかは、対数という文字の有無ではなく、式を変形すると微分しやすくなるかで判断します。

練習4の答えは、(1) 1/e、(2) -4/3です。(1) 元の関数上の対応点は(1,e)で、そこでの導関数はeなので、その逆数をとります。逆関数y=log xを直接微分してx=eを入れても一致します。(2) 2x+2y y′=0へ(4,3)を代入すると8+6y′=0となり、y′=-4/3です。点の座標を逆に入れると別の点での傾きになるため、式に代入する順序も確認します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

求めた導関数は、次に接線、増減、極値、グラフの凹凸を調べる道具になります。積分の計算でも、合成関数や積の微分を逆向きに読む場面があります。微分した結果を覚えるだけでなく、どの規則を使ってその形になったかを残しておくと、次の単元で式のつながりを追えます。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目はy=sin(3x²)について「外側はsin、内側は3x²」と声に出してから微分する方法です。答えは6x cos(3x²)です。外側と内側をそれぞれ指し示せれば、係数6xが突然現れたものではないと説明できます。2つ目は例題1の商の微分をノートを閉じて書き、分子の順序とx≠-1の条件を元の式と照合する方法です。長い計算を増やさず、規則の選択と条件を切り分けて点検します。

個別指導で確認する際は、合成関数が難しければuを使った置き換えまで、商の整理で止まれば分数式の通分と符号処理まで戻ります。お子さまのノートを見るときも、答えの一致だけでなく「何で微分したか」「どこで割ったか」が書かれているかを見ると、次に確かめる箇所を具体的にできます。