【小5算数】比例の入口を図解で総まとめ—2つの量の変わり方を表で読む｜武蔵野個別指導塾

リボンの本数と長さ、水を入れる時間と量を使って、比例の表を縦と横に読みます。増える数と何倍かの違いを、3枚の図と例題・練習問題で、表の読み方が身につきます。

よくあるのは、通学電車の座席で宿題の表を見ながら、「上は1ずつ増えるけれど、下は4ずつ増える。同じ増え方ではないから比例ではないのかな」と鉛筆が止まる場面です。数字の増え方に気づけていても、何を比べればよいのかがはっきりしないと、比例という言葉を使うのは難しく感じます。

比例で注目するのは、増えた数が同じかどうかではなく、もとの何倍になったかです。リボンの本数と全部の長さのように、いっしょに変わる2つの量を表にすると、そのきまりが見つけやすくなります。表の空欄も、順にたし算をするだけでなく、離れた列を比べて求められます。

ここでは、表のどこからどこへ目を動かすかを確かめながら進めます。答えの数字に加えて「何が何倍だから」と言えるようになることが目標です。計算に迷ったときも、量の名前と単位を読むところへ戻れます。

この単元で身につけること

• いっしょに変わる2つの量を見つけます。本数と長さ、時間と水の量など、何と何を比べるかを言葉でつかみます。
• 表の同じ列を縦に読みます。上下の数字がひと組になり、同じ場面の本数と長さなどを表していることを確かめます。
• 表の同じ行を横に読みます。1本から2本、1本から3本という変化に、もう一方の量がどう対応するかを調べます。
• 比例の意味を説明します。一方が2倍、3倍になると、もう一方も2倍、3倍になる関係を、具体的な数で確かめます。
• 表のきまりを使って空欄を求めます。1あたりから求める方法と、わかっている列を何倍かする方法を選びます。

これまで学んだ「1つ分の大きさ × いくつ分」というかけ算が土台です。多くの教科書では5年生で比例の入口を学びますが、初めての計算を覚えるというより、知っているかけ算で2つの量のつながりを読む学習です。

基本の考え方

まずは量の名前とひと組を読む

長さが4cmのリボンを何本か用意します。重ねず、すき間を空けずにつないだときの全部の長さを調べましょう。どのリボンも4cmという条件があるので、2本なら8cm、3本なら12cmになります。本数が変わると全部の長さも変わるため、この2つの量を表に並べます。

表を読む最初の仕事は、左端にある量の名前と単位を確かめることです。上の行は本数、下の行は長さです。2と8の列を縦に読むと「2本のとき、全部の長さは8cm」となります。3と12なら「3本のとき12cm」です。上の2と、隣の列の12をひと組にしないよう、同じ列を指でたどりましょう。

図1のように、上の行で1本から2本へ進むと2倍です。下の行でも、対応する4cmから8cmへ進むと2倍になっています。1本から3本へは3倍で、4cmから12cmへも3倍です。

比例は「同じ倍になる」という関係

一方の量が2倍、3倍、…になると、もう一方の量も2倍、3倍、…になるとき、もう一方の量は一方の量に比例するといいます。リボンなら「全部の長さは本数に比例します」と言えます。2つの量の名前を入れると、何について説明しているのかがはっきりします。

ここで、2倍というのは2をたすことではありません。もとの数に2をかけることです。1本の2倍は2本ですが、4cmの2倍は8cmです。上は1増え、下は4増えています。それでも、どちらももとの2倍なので、比例のきまりに合っています。

比べる出発点は、いつも1の列とは限りません。2本から4本も2倍で、8cmから16cmも2倍です。どの列を出発点にしたかをそろえ、上と下で同じ向きに比べるのが大切です。上では1本から4本、下では8cmから16cmと別の列を出発点にすると、正しい比較になりません。

横の変化と縦のつながりを区別する

表を横に見ると、本数は1ずつ、長さは4cmずつ増えます。この増え方は次の列を考える手がかりです。ただし「どちらも増えている」だけでは、比例とは決められません。同じ倍になるかまで調べる必要があります。

縦に見ると、全部の長さは「本数 × 4」で求められます。4はリボン1本分の長さを表す数です。反対に、全部の長さを本数でわると、4 ÷ 1 = 4、8 ÷ 2 = 4、12 ÷ 3 = 4となり、どの列でも1本分が4cmとわかります。横の2倍・3倍は列どうしの比較、縦の4は1本分を表す数です。

0本なら全部の長さは0cmです。ただし、0でわる計算はできないので、1本分をわり算で調べるときは0本の列を使いません。また、少ない列だけを見て判断するときには注意が必要です。長さの違うリボンが混ざれば、この表のきまりは続きません。「どれも同じ長さ」という問題の条件も、表の数字と合わせて読みます。

例題で解き方を確かめる

例題1　本数と代金の表を作る

1本60円の鉛筆を買います。代金は鉛筆の代金だけとします。1本、2本、3本、4本の代金を求め、代金が本数に比例するか説明しましょう。

1. 変わる量を「本数」と「代金」と書きます。1本の値段はどれも60円なので、変わらない条件として分けておきます。
2. 代金を「60 × 本数」で求めます。60 × 1 = 60、60 × 2 = 120、60 × 3 = 180、60 × 4 = 240です。1本分を本数だけ集めるので、かけ算を使います。
3. 1本から2本は2倍で、60円から120円も2倍です。1本から3本は3倍で、60円から180円も3倍です。1本の値段が同じなので、この先も本数と同じ倍だけ代金が変わります。

答え：代金は順に60円、120円、180円、240円で、代金は本数に比例します。

表を作るときは、本数の真下にその代金を書きます。「60、120、180、240」と数だけを並べるより、本と円の単位を添えたほうが、何を求めたかを説明しやすくなります。比例かどうかを聞かれたら、答えに同じ倍になることも添えましょう。

例題2　1の列がない表から求める

空の水そうに、毎分同じ量の水を入れます。入れ始めてから2分で6L、4分で12Lたまりました。水は外へ流れず、水そうからあふれないものとします。6分では何Lたまるでしょうか。

1. 時間とたまった水の量をひと組にします。「2分で6L」をもとにすれば、6分は2分の何倍かを調べられます。1分の列がなくても始められます。
2. 6 ÷ 2 = 3より、時間は3倍です。空から毎分同じ量ずつ入れるため、水の量も3倍になり、6 × 3 = 18と求められます。
3. 1分分でも確かめます。6 ÷ 2 = 3より毎分3Lなので、3 × 6 = 18です。2つの求め方で同じ水の量になりました。

答え：6分では18Lたまります。

図2のように、同じ形の水そうを並べると、時間が2倍、3倍になるのに合わせて水の量が2倍、3倍になる様子を比べられます。図の水面の高さも、それぞれ6L、12L、18Lに合わせてあります。

この例題では、6 ÷ 2という同じ見た目の計算が2回出てきました。時間の6分を2分でわると3倍です。一方、水の6Lを2分でわると1分分の3Lです。使った数字だけでなく、何を何でわったかを書くと、計算の意味を取り違えずに済みます。

例題3　増える量が一定でも比例するか

水そうに初めから5Lの水があり、毎分3Lずつ足します。1分後には8L、2分後には11L、3分後には14Lです。水そうの中の水の量は、水を足し始めてからの時間に比例するでしょうか。

1. 表す水の量を確かめます。ここで調べるのは、後から足した水だけでなく、初めの5Lも含む全部の水です。量の名前を取り違えると結論が変わります。
2. 時間が1分から2分になると2倍です。そのとき水の量が8 × 2 = 16Lになるかを調べます。同じ倍になるかを見るため、増えた量の比較だけでは終わりません。
3. 実際は5 + 3 × 2 = 11Lで、16Lとは違います。時間は2倍でも全部の水は2倍にならないので、比例のきまりに合いません。

答え：水そうの中の全部の水の量は、時間に比例しません。

1分ごとに3Lずつ増える点は例題2と同じです。違いは、初めの5Lがあることです。毎分同じ量という言葉だけで決めず、どこから数え始め、何の量を調べるかを確かめましょう。

つまずきやすいところと直し方

1　増えた数を「倍」と書いてしまう

間違った書き方は「2本から4本は2増えた。だから8cmにも2をたして10cm」です。増えた数の2と、2倍の2を混ぜています。正しくは「4 ÷ 2 = 2で本数が2倍だから、8 × 2 = 16cm」です。

増えた本数を使うなら、増えた2本分の長さを先に求めます。4 × 2 = 8cm増えるので、8 + 8 = 16cmです。たし算でも求められますが、本をそのままcmにたすことはできません。数字の横に単位を書くと、この混同に気づけます。

2　同じ数ずつ増えたら比例と決める

間違った書き方は「例題3は3Lずつ増えるから比例する」です。これは増える量だけを見ていて、同じ倍になるかを確かめていません。正しくは「1分から2分は2倍だが、8Lから11Lは2倍ではないので比例しない」です。

図3のように、8Lの2倍に当たる16Lと、実際の11Lを同じ目盛りで比べます。初めの5Lもいっしょに2倍した16Lと、5Lに2分分の6Lを加えた11Lは違う量です。「増え続けること」と「比例すること」を分けて考えましょう。

3　上下の数字だけで2倍を探してしまう

間違った書き方は「1本の下が4cmなので4倍。2倍ではないから比例しない」です。表の上下と、横の変化を混ぜています。正しくは「本数が1本から2本へ2倍になると、長さも4cmから8cmへ2倍になるので、比例のきまりに合う」です。

上下のつながりを調べることにも意味はありますが、そこでは1本分の長さを探します。横の比較では、上の行と下の行に同じ出発の列と到着の列を決めましょう。矢印を2本書き、両方に同じ「× 2」を付けられるか確かめると、見る場所をそろえられます。

練習問題

答えを書く前に、変わる2つの量の名前を丸で囲みましょう。計算式には、どの数字をもとにしたかが伝わるように単位や短い説明を添えます。

練習1

1冊80円のノートを買います。代金はノートの代金だけです。2冊と5冊の代金を求め、代金が冊数に比例する理由を説明しましょう。

練習2

同じ重さのおもりが3個で21gあります。おもりの重さは個数に比例します。9個では何gでしょうか。3個の列をもとに求めましょう。

練習3

水が初めから2Lある容器に、毎分4Lずつ水を入れます。水は外へ流れず、あふれないものとします。1分後と2分後の全部の水の量を求め、全部の水の量が時間に比例するか調べましょう。

答えと解説

練習1：2冊は80 × 2 = 160円、5冊は80 × 5 = 400円です。1冊の値段が同じなので、冊数が2倍、3倍になると代金も2倍、3倍になり、比例します。

練習2：9 ÷ 3 = 3で個数が3倍なので、21 × 3 = 63gです。1個分の重さから確かめても、21 ÷ 3 = 7、7 × 9 = 63となります。

練習3：1分後は2 + 4 = 6L、2分後は2 + 4 × 2 = 10Lです。時間が2倍でも水の量は6 × 2 = 12Lにならないので、比例しません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

比例の表を読む力は、速さが一定のときの時間と道のりなどを考える土台になります。6年生では式やグラフでも比例を表しますが、まずはどの列どうしを比べたのか説明できれば十分です。

家庭では、5分ほどで次の2つを試せます。1つ目は、同じ長さの紙テープを1本、2本、3本とすき間なく並べ、本数と長さを表にする方法です。2つ目は、同じ計量スプーンで水をすり切り1杯ずつ入れ、杯数と入れた量の関係を話す方法です。どちらも「同じ大きさのひとまとまり」をそろえます。

お子さまが迷ったとき、個別指導では比例という名前を答える前に、表の同じ列をひと組として読めるかまで戻って確かめます。必要なら「1つ分」と「いくつ分」のかけ算を、実物を並べて確かめます。

まとめ

表の空欄が埋まったら、使った2つの列を指して、なぜその計算をしたのか話してみましょう。「なんとなく次も増えそう」から「本数が3倍なので長さも3倍」へ説明が変われば、離れた列の値にも見通しが持てます。

また、初めに水が入っている問題では、同じ量ずつ増えるだけでは判断できないことも確かめました。答えが違ったときは、計算を繰り返す前に、比べた量の名前を読み直せます。比例を見抜く根拠は、2つの量を同じ出発点から比べたときの「同じ倍」です。