中学受験の算数 等積変形—頂点を平行線上で動かして面積を保つ理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

底辺8cm、高さ5cmの三角形を、頂点だけ平行線上で動かして面積を変えずに置きかえる手順と、台形を三角形に直して面積を求める考え方を、図と計算で順に確かめるのが等積変形です。

よくあるのは、お子さまが等積変形の図を見て、頂点を横にずらしただけで「形が変わったから面積も変わる」と答える場面です。さらに「面積が同じなら周の長さも同じはずだ」と考えて、面積は合っているのに周の長さでつまずくこともあります。ここで立ち止まりたいのは計算の速さではなく、底辺と高さのどれが残っているかを見る順番です。図形を動かす前に、底辺と高さを指でなぞる。この確認が、等積変形を使いこなす入口になります。

等積変形が問われる三つの形

等積変形の問題は、大きく三つの形で出てきます。一つ目は、面積を変えずに図形を置きかえて、求めやすい形にする問題です。台形や五角形のような図形を、同じ面積の三角形に直してから面積を求める流れが典型です。二つ目は、面積の等しい図形を選んだり、等しい三角形の組をすべて見つけたりする問題です。三つ目は、面積が等しい理由を言葉で説明させる問題です。答えの数だけでなく、底辺と高さのどれが共通なのかを書けるかが問われます。

条件の読み取りでは、まず平行の記号を探します。辺ADと辺BCが平行である、対角線に平行な直線を引く、といった条件が、等積変形の入口になります。平行の条件がない図で、見た目が平行に見えるという理由だけで高さをそろえると、面積の根拠が崩れます。問題文の「平行」という一語と、図の平行の印を必ず結びつけて読んでください。

どの型でも、最初に決めるのは底辺です。底辺を決めると高さの向きが決まり、平行線が見つかれば頂点を動かせる範囲が決まります。この順番を守ると、計算の前に図形の見通しが立ちます。

問題文の「面積を変えずに」という指示も、読み方で差が出ます。この指示は、面積を求める計算を省いてよいという意味ではありません。形を変える前に面積を求め、変えた後でも同じ面積になることを使う、という意味です。だから等積変形の問題でも、最初に元の図形の面積を出しておくと、変形の途中で数が合わなくなったときに気づけます。変形は計算を楽にする道具であって、計算そのものを省く道具ではありません。

なぜ頂点を動かしても面積が変わらないのか

等積変形とは、面積を変えずに図形の形を変える操作です。名前のとおり、等しい面積のまま形を変えるという意味です。ここで使う道具は、三角形の面積の公式だけです。三角形の面積は、底辺 × 高さ ÷ 2 で求められます。この式を見ると、面積を決めているのは底辺の長さと高さの二つだけだとわかります。辺の傾きや頂点の左右の位置は、式の中に入っていません。

高さは、底辺に垂直な向きに測った長さです。斜めの辺の長さとは別のものです。頂点から底辺に垂線を下ろしたとき、底辺と垂線が出会う点までの距離が高さになります。この定義をあいまいにしたまま図を動かすと、傾いた辺を高さと取り違えて、面積の計算が合わなくなります。

次に、平行線の性質を思い出します。二本の平行な直線の間の距離は、どこで測っても同じです。線路の両側の柵のように、離れ方が一定だと考えてください。この性質が、等積変形の理由の中心になります。

三角形ABCの底辺をBCに決めます。頂点Aを通り、BCに平行な直線を引きます。この直線上のどこかに頂点を移して、三角形DBCを作ります。点DはAを通る平行線上にあるので、DからBCまでの距離は、AからBCまでの距離と同じです。つまり高さが変わりません。底辺BCの長さも動かしていないので、二つの三角形の面積は等しくなります。図1のように、頂点の位置が変わっても、底辺と高さが同じなら面積は同じままです。

図1では、底辺を8cm、高さを4cmにそろえた二つの三角形を示しています。どちらも8 × 4 ÷ 2 = 16cm²です。頂点の左右の位置は違いますが、底辺と高さが同じなので面積は変わりません。

等積変形が成り立つ条件は二つです。一つは、底辺の長さを変えないことです。もう一つは、頂点を底辺に平行な直線上で動かすことです。このどちらかが崩れると、面積は変わります。頂点を平行線から外して斜め上に動かせば高さが変わり、底辺を延ばせば面積は増えます。逆に言えば、この二つの条件を満たす範囲なら、頂点はどこへ動かしてもかまいません。

ここで区別しておきたいのが、切り貼りとの違いです。切り貼りは、図形をはさみで切って別の場所に動かし、並べ直す操作です。辺の長さや角はそのまま残り、形が組み変わるだけです。等積変形は、頂点を動かして形そのものを変える操作です。辺の長さは変わり、角も変わります。二つの操作に共通するのは、面積が変わらないという一点だけです。だから等積変形では、面積は保たれても周の長さは保たれない、ということが起こります。この点は後の誤答の節で、具体的な数で確かめます。

もう一つ、四角形を三角形に変える場合の見方を整理します。平行四辺形や台形では、底辺を決めると高さが決まります。辺ADと辺BCが平行な台形では、ADを底辺にしてもBCを底辺にしても、高さは二本の平行線の間の距離で共通です。この共通の高さを使うと、台形の中にできた三角形の面積を、底辺だけを変えて比べられます。等積変形は、この共通の高さを保ったまま、底辺を別の辺に付け替える操作だと考えると見通しがよくなります。

平行四辺形を三角形に変える見方も同じです。平行四辺形の一つの辺を底辺に決めると、向かい合う辺はその底辺に平行です。だから向かい合う辺の上で頂点を動かしても高さは変わりません。平行四辺形の面積は底辺×高さで求められますが、三角形に変えると÷2が付くので、面積は半分になります。この関係は、平行四辺形の中に三角形を描く問題でよく使います。式の形が変わる理由まで説明できるようにしておくと、応用がききます。

基本例題 — 平行四辺形の中の三角形

例題1です。平行四辺形ABCDがあり、辺BCの長さは8cm、辺ADと辺BCの間の距離は5cmです。辺AD上に点Eをとり、EとB、EとCをそれぞれ結びます。三角形EBCの面積を求めなさい。また、点Eを辺AD上のどこにとっても面積が変わらない理由を説明しなさい。

手順1、底辺を決めます。三角形EBCの頂点はE、B、Cなので、向かい合う辺BCを底辺に選びます。BCの長さは8cmです。手順2、高さを決めます。頂点Eから底辺BCに垂線を下ろします。Eは辺AD上にあり、ADとBCは平行ですから、平行線の間の距離はどこでも同じで、EからBCまでの距離は5cmになります。手順3、公式に当てはめます。8 × 5 = 40、40 ÷ 2 = 20です。手順4、単位を付けます。面積の単位はcm²なので、答えは20cm²です。手順5、確かめます。平行四辺形ABCDの面積は、底辺8cm、高さ5cmなので8 × 5 = 40cm²です。三角形EBCは辺BCを底辺とする高さ5cmの三角形なので、平行四辺形の面積の半分の20cm²になります。

点Eを辺AD上のどこにとっても面積が変わらない理由は、手順2にあります。Eの位置が変わっても、EからBCまでの距離は5cmのままです。底辺BCの8cmも変わりません。面積を決める二つの量がどちらも変わらないので、面積は20cm²で一定になります。図2で、Eを動かしたときの高さの線がいつも同じ長さになることを確かめてください。

図2のように、Eの位置を変えても、底辺BCと高さ5cmはそのまま残ります。この例題で身につけたいのは、答えの20cm²という数ではなく、手順2の考え方です。高さを平行線の間の距離と言い換えられると、頂点が動いても高さが変わらないことが見えます。等積変形の問題では、この言い換えがそのまま理由の説明になります。お子さまが説明を書くときは、底辺はどれか、高さはどこで測るか、その二つがなぜ変わらないのか、の三つを順に書かせると、答案の形が整います。

標準例題 — 台形を一つの三角形に直す

例題2です。台形ABCDがあり、辺ADと辺BCは平行です。ADは4cm、BCは10cm、ADとBCの間の距離は5cmです。対角線ACを引き、点Dを通りACに平行な直線を引きます。この直線と、辺BCをCの側へ延ばした直線との交点をEとします。三角形ABEの面積を求めなさい。

手順1、対角線ACを引きます。台形ABCDは、三角形ABCと三角形ACDの二つに分かれます。手順2、三角形ACDと三角形AECを比べます。二つの三角形は、辺ACが共通の底辺です。頂点Dと頂点Eは、ACに平行な同じ直線上にあります。平行線の間の距離はどこでも同じなので、底辺ACに対する高さが等しくなります。底辺と高さが同じですから、三角形ACDと三角形AECの面積は等しいと言えます。手順3、台形の面積を三角形の和で書きかえます。台形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ACDの面積の和です。三角形ACDを面積の等しい三角形AECに置きかえると、台形の面積は、三角形ABCと三角形AECの面積の和になります。この二つを合わせた図形は、三角形ABEそのものです。

手順4、辺の長さを読み取ります。四角形ACEDは平行四辺形です。向かい合う辺ADとCEは平行で、作図からACとDEも平行だからです。平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので、CEはADと同じ4cmです。手順5、三角形ABEの底辺を求めます。Eは辺BCをCの側へ延ばした直線上にあるので、BEはBCとCEをつなげた長さになり、10 + 4 = 14cmです。手順6、面積を計算します。14 × 5 = 70、70 ÷ 2 = 35です。答えは35cm²です。手順7、別の方法で確かめます。台形の面積の公式を使うと、(4 + 10) × 5 ÷ 2 = 14 × 5 ÷ 2 = 35cm²です。等積変形で求めた値と一致しました。

この問題には、もう一つの解き方があります。台形を対角線ACで分けたまま、二つの三角形の面積を別々に求めて足す方法です。三角形ABCは、底辺BCが10cm、高さが5cmなので10 × 5 ÷ 2 = 25cm²です。三角形ACDは、底辺ADが4cm、高さが5cmなので4 × 5 ÷ 2 = 10cm²です。25 + 10 = 35cm²で、同じ答えになります。

二つの方法は同じ答えになりますが、使う場面が違います。分割して足す方法は、三角形の数が少ないときに計算が速く、面積の内訳も見えます。等積変形で一つの三角形にまとめる方法は、三角形が多くて足し算が長くなるときや、面積を求めたい三角形が一つに決まっているときに力を発揮します。どちらも、底辺と高さをそろえて面積を出すという点は同じです。

ここで効いているのは、ADとBCが平行という条件です。平行でなければ、四角形ACEDは平行四辺形にならず、CEがADと等しくなりません。等積変形では、平行の条件が辺の長さの受け渡しを支えています。逆に、平行の条件が一か所でも崩れている図では、この手順を使えません。図を見た目で判断せず、問題文の条件を確かめてから線を引いてください。

発展例題 — 対角線の交点のまわりで面積を比べる

例題3です。台形ABCDがあり、辺ADと辺BCは平行です。ADは6cm、BCは12cm、ADとBCの間の距離は5cmです。対角線ACと対角線BDが点Pで交わっています。次の三つの組について、面積が等しいことを順に説明しなさい。一つ目は三角形ABDと三角形ACD、二つ目は三角形ABCと三角形DBC、三つ目は三角形ABPと三角形CDPです。

一つ目の組を調べます。三角形ABDの底辺をADに決めると、ADは6cmです。頂点BからADまでの距離は、ADとBCの間の距離と同じで5cmです。よって6 × 5 ÷ 2 = 15cm²です。三角形ACDも、底辺ADが6cm、頂点CからADまでの距離が5cmなので、同じく15cm²です。二つの三角形は、底辺が共通で、頂点が平行線上にあるので面積が等しくなります。

二つ目の組を調べます。三角形ABCの底辺をBCに決めると、BCは12cmです。頂点AからBCまでの距離は5cmなので、12 × 5 ÷ 2 = 30cm²です。三角形DBCも、底辺BCが12cm、頂点DからBCまでの距離が5cmなので30cm²です。これも底辺が共通で、頂点が平行線上にある組です。

三つ目の組を調べます。三角形ABPは、三角形ABCから三角形PBCを取り除いた形です。三角形CDPは、三角形DBCから三角形PBCを取り除いた形です。二つ目の組で、三角形ABCと三角形DBCの面積がどちらも30cm²だとわかりました。同じ30cm²から共通の三角形PBCを引くので、残りの三角形ABPと三角形CDPの面積も等しくなります。

最後に、求めた面積を台形の面積へ戻して確かめます。三角形ABDは15cm²、三角形BCDは30cm²です。この二つを合わせると45cm²になります。台形の面積の公式では(6 + 12) × 5 ÷ 2 = 45cm²です。二つの経路が同じ値になりました。

ここで注意したいのは、面積が等しいと言えることと、面積の値がわかることは別だという点です。三角形ABPと三角形CDPは面積が等しいと説明できますが、この条件だけでは一つの三角形の面積を決めることはできません。等しいという関係を答案に書く問題では、値を求める必要はありません。何が等しくて、なぜ等しいのかを、底辺と高さの言葉で書けば十分です。

面積を二等分する直線を考えるときも、等積変形が役に立ちます。三角形なら、底辺の中点と向かい合う頂点を結ぶと、底辺が二等分され、高さが共通なので面積が二等分されます。四角形のように頂点が四つある図形では、まず対角線で三角形に分け、片方の三角形を等積変形で動かして、二等分する直線を引きやすい形に整えます。手順を丸暗記するのではなく、底辺と高さのどちらを保つのかを決めてから線を引くと、初めて見る図形にも対応できます。

よくある誤答と直し方

誤答の一つ目は、形が変わったから面積も変わる、と答える場合です。頂点を横に動かすと三角形の見た目は細くなったり太ったりするので、面積も変わるように見えます。しかし面積を決めるのは底辺と高さだけです。頂点が平行線上を動く限り高さは変わりません。直し方は、変形の前後で底辺と高さをそれぞれ指でなぞり、二つの数が変わっていないことを確かめることです。

誤答の二つ目は、面積が同じなら周の長さも同じ、と答える場合です。図3で確かめます。左の長方形は、たて4cm、横6cmです。面積は6 × 4 = 24cm²、周の長さは(6 + 4) × 2 = 20cmです。右の平行四辺形は、底辺6cm、高さ4cm、斜めの辺5cmです。面積は6 × 4 = 24cm²で、左と同じです。ところが周の長さは6 + 6 + 5 + 5 = 22cmになり、長方形より2cm長くなります。面積は内側の広さ、周の長さは外側の線の長さです。測っている場所が違うので、一方が同じでも他方が同じとは限りません。

図3で見たとおり、面積と周の長さは測っている場所が違う量です。誤答の三つ目は、斜めの辺をそのまま高さにする場合です。平行四辺形の斜めの辺は、底辺に垂直ではありません。高さは底辺に垂直な向きに測るので、斜めの辺の長さを使うと面積が大きく出てしまいます。直し方は、頂点から底辺へ垂線を一本引き、その長さを高さとして使うことです。垂線が図の外に出る場合は、底辺を延ばしてから垂線を下ろします。

誤答の四つ目は、平行の条件を読まずに見た目で決める場合です。図の二本の線が平行に見えても、問題文に平行と書かれていなければ、平行線の性質は使えません。等積変形の根拠は、問題文の条件と平行の印です。図の見た目だけで高さをそろえると、答案の理由が成り立ちません。

四つの誤答に共通する直し方は、変形の前後で底辺と高さを書き出すことです。底辺の長さ、高さの長さ、面積の三つを小さな表にして並べると、どこが変わってどこが変わっていないかが一目でわかります。表を書く手間は、見直しの時間を短くします。

練習問題

次の五問を解いてください。答えと解き方は、この節の後にまとめてあります。

問題1、三角形ABCがあり、辺BCは9cm、頂点Aから辺BCまでの高さは6cmです。頂点Aを通り辺BCに平行な直線上の点Dをとります。三角形DBCの面積を求めなさい。

問題2、平行四辺形ABCDがあり、辺BCは12cm、辺ADと辺BCの間の距離は5cmです。辺AD上に点Eをとり、EとB、EとCを結びます。三角形EBCの面積を求めなさい。

問題3、台形ABCDがあり、辺ADと辺BCは平行です。ADは5cm、BCは11cm、ADとBCの間の距離は4cmです。対角線ACを引き、点Dを通りACに平行な直線と、辺BCをCの側へ延ばした直線との交点をEとします。三角形ABEの面積を求めなさい。

問題4、長方形と平行四辺形があります。長方形はたて3cm、横8cmです。平行四辺形は底辺8cm、高さ3cm、斜めの辺5cmです。それぞれの面積と周の長さを求めなさい。

問題5、面積が36cm²の長方形があります。次のアからウのうち、この長方形と面積が等しいものをすべて選びなさい。ア、底辺12cm、高さ6cmの三角形。イ、底辺9cm、高さ5cmの平行四辺形。ウ、上底5cm、下底7cm、高さ6cmの台形。

練習問題の答えと解き方

問題1の答えは27cm²です。底辺はBCの9cmです。点DはAを通る平行線上にあるので、DからBCまでの距離はAからBCまでの距離と同じ6cmです。9 × 6 ÷ 2 = 27cm²になります。頂点をどこにとっても高さが6cmで変わらないことが、この問題の要点です。

問題2の答えは30cm²です。底辺はBCの12cmです。点Eは辺AD上にあり、ADとBCは平行なので、EからBCまでの距離は5cmです。12 × 5 ÷ 2 = 30cm²になります。確かめとして、平行四辺形の面積12 × 5 = 60cm²の半分になっていることを見てください。

問題3の答えは32cm²です。三角形ACDと三角形AECは、底辺ACが共通で、頂点DとEがACに平行な直線上にあるので面積が等しいです。四角形ACEDは平行四辺形なので、CEはADと同じ5cmです。BEは11 + 5 = 16cmになります。16 × 4 ÷ 2 = 32cm²です。台形の面積の公式でも(5 + 11) × 4 ÷ 2 = 32cm²となり、一致します。

問題4の答えです。長方形の面積は8 × 3 = 24cm²、周の長さは(8 + 3) × 2 = 22cmです。平行四辺形の面積は底辺×高さで8 × 3 = 24cm²、周の長さは8 + 8 + 5 + 5 = 26cmです。面積はどちらも24cm²で同じですが、周の長さは22cmと26cmで違います。面積が同じでも周の長さは同じにならない、という例です。

問題5の答えはアとウです。長方形の面積は36cm²と示されています。アは12 × 6 ÷ 2 = 36cm²で等しいです。イは9 × 5 = 45cm²で等しくありません。ウは(5 + 7) × 6 ÷ 2 = 12 × 6 ÷ 2 = 36cm²で等しいです。三つとも確かめたうえで、等しいものをすべて選ぶと、アとウになります。

覚えておくこと

• 等積変形は、面積を変えずに図形の形を変える操作です。
• 底辺を固定し、頂点を底辺に平行な直線上で動かすと、高さが変わらないので面積も変わりません。
• 底辺の長さか高さのどちらかが変われば、面積は変わります。
• 面積が同じでも、周の長さは同じとは限りません。
• 変形した後は、元の図形の面積を別の方法で計算し直して確かめます。

つまずきの見分け方

お子さまが斜めの辺を高さと答えるときは、頂点から底辺へ垂線を引かせてください。垂線の長さが高さだと、手を動かして確かめられます。平行線を見つけられないときは、平行の印と問題文の一文を指でなぞらせます。面積と周の長さを混同しているときは、面積は内側の広さ、周の長さは外側の線の長さ、と分けて言わせます。説明が「見た目で同じ」で終わるときは、底辺はどれで、高さはいくつか、と二つを順に聞き返してください。

個別指導では、図を前にして次の三つを確かめます。第一に、底辺を自分で選べるか。第二に、高さを垂線として示せるか。第三に、平行の条件を問題文から拾えるか。この三つがそろえば、等積変形の理由は自分で組み立てられます。計算の前にこの三つを声に出させると、つまずきの場所がはっきりします。

家庭で見直すときは、答えの数より図を描き直す過程を見てください。頂点を動かす前に、底辺に印を付け、高さの垂線を一本引く。その二つが残っているかを、変形の後にもう一度確かめる。この順番が身につくと、等積変形は暗記する公式ではなく、図を見る手順になります。

図形を動かす前に、底辺と高さが残るかを見る。この一手間が、等積変形を計算の道具に変えます。