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中学受験の算数面積の分割—対角線と補助線で複合図形を三角形に分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形を掘り下げる

台形やひし形の面積を、対角線1本で三角形に分けて足す方法と、外側の長方形から引く方法で比べます。足した三角形が重なったときの直し方が、面積の分割です。

ノートに台形を写して、対角線を1本引いたところで手が止まる場面があります。三角形が2つできたのは見えるのに、どちらの三角形の底辺をどこにとるかで迷い、消しゴムの跡が濃くなっていきます。別の日には、複合図形を三角形に分けたつもりが、2つの三角形が真ん中で重なっていて、答えが合わなくなることがあります。面積の分割は、線を引く前に、どこで分ければ重ならないかを決める勉強です。

面積の分割で問われる3つの型

ひとつめは、形のままでは面積の公式を使えない図形に、補助線を1本引いて三角形の和に変える型です。台形を対角線で2つに分ける、ひし形を4つの直角三角形にする、五角形の角どうしを結ぶ、といった作業がここに入ります。どこに線を引くかで三角形の数は変わりますが、重なりとすき間がなければ、どの分け方でも面積の合計は同じになります。

ふたつめは、すでに引かれている線を読む型です。図に対角線が引いてあるとき、どの三角形とどの三角形を足せば全体になるかを、指でなぞりながら説明します。このとき、2本の線が図形の中で交わっていると、三角形どうしが重なっていることがあります。重なった部分を2回足していないか、反対に数えていない部分が残っていないかを、線の交点から確かめます。

みっつめは、足す方法と引く方法を比べる型です。外側にぴったり囲む長方形を考え、角の三角形を引いて求めるやり方で、同じ面積が出るかを確かめます。2通りの答えが一致すれば、分割の線や高さの選び方が正しかったことの証拠になります。逆に数がずれたときは、どちらかの線が重なっているか、高さを斜めの辺から取っているかのどちらかであることが多いです。

問題文を読むときは、平行な辺の組、直角の位置、高さがどの辺に垂直かを先に書きこみます。図にない長さを目分量で決めてしまうと、あとで三角形の面積が合いません。与えられた長さだけで解ける形に分けることが、分割の出発点になります。

図に書きこむのは、長さだけではありません。平行な辺には同じ向きの矢印を、直角には小さな四角の印を、高さには底辺に垂直な線を添えます。印がそろっていれば、どの三角形の底辺と高さを使うかが図の上で決まり、式を立てる順番も自然に決まります。逆に印がないまま計算を始めると、似た長さの辺を取り違えやすくなります。

対角線で分けると足し算になる理由

紙をはさみで2枚に切っても、2枚の面積の合計はもとの紙と同じです。面積の分割は、この当たり前の事実だけを根拠にしています。ただし、切った紙を重ねて数えてはいけません。重なった部分を2回足すと面積は増え、切り忘れて一枚につながった部分があれば面積は減ります。分けた図形が、もとの図形を重なりなく、すき間なく覆っていることが条件です。

四角形には対角線が2本あります。向かい合う頂点を結ぶ線で、どちらの対角線を引いても、四角形は2つの三角形に分かれます。台形のように上底と下底が平行な図形では、2つの三角形の高さがどちらも平行な辺の間の距離になるので、上底を底辺とする三角形と下底を底辺とする三角形の和が、そのまま台形の面積になります。上底と下底の長さが違っても、高さが同じだから足し算でまとめられる、というのが式の意味です。

ひし形は、4つの辺の長さが等しい四角形です。対角線は垂直に交わり、それぞれの中点で交わります。この性質から、ひし形は4つの合同な直角三角形に分かれ、1つの三角形の面積は、対角線の半分どうしをかけて2で割った数になります。4つ分をまとめると、対角線×対角線÷2という公式になります。長方形から角の三角形を引く方法でも、同じ数になります。

補助線は、思いつきで引くのではなく、次の3つから選ぶと迷いません。頂点と頂点を結んで対角線にする、頂点から底辺へ垂線を下ろす、底辺と平行な線を引いて台形や長方形を作る、の3つです。どれを選んでも、引いた線が図形の外に出ていないか、2本の線が途中で交わっていないかを確かめます。線が交わると、そこで新しく小さな図形ができ、数え方の説明が難しくなります。

引き算の方法は、ぴったり囲む長方形を先に決めるところから始めます。囲む長方形の縦と横は、図形のいちばん外側の長さです。そこから、図形に含まれない角の三角形を1つずつ引きます。角の三角形は直角をはさむ2辺がわかれば面積を出せるので、斜めの辺の長さを求める必要はありません。

高さを選ぶときは、底辺に垂直な長さだけを使います。斜めの辺は底辺に対して垂直ではないので、そのまま高さにはできません。直角三角形なら直角をはさむ2辺が底辺と高さになりますが、そうでない三角形では、頂点から底辺の延長線へ垂線を下ろした長さが高さです。図1のように、対角線が2つの三角形を分け、それぞれの高さが平行な辺の間の距離になっていることを確かめてください。

図1の左は、四角形を対角線で2つの三角形に分けたところです。右は、ひし形を囲む長方形から角の三角形を引く方法を示しています。どちらの方法でも、分けた部分の面積の合計がもとの図形の面積になります。

台形を対角線で2つの三角形に分ける

上の辺と下の辺が平行な台形で、上の辺が6cm、下の辺が10cm、高さが5cmの問題を考えます。対角線を1本引いて2つの三角形に分け、それぞれの面積を足して求めてみます。台形の面積の公式を覚えていなくても、三角形の面積の式だけで答えに届くのがこの方法の利点です。

手順1。対角線は、上の辺の右端と下の辺の左端を結ぶとします。すると、下の辺を底辺とする三角形と、上の辺を底辺とする三角形の2つができます。

手順2。下の辺を底辺とする三角形の面積を出します。底辺は10cm、高さは平行な2つの辺の間の距離なので5cmです。10×5÷2で25cm²になります。

手順3。上の辺を底辺とする三角形の面積を出します。底辺は6cm、高さは同じく5cmです。6×5÷2で15cm²になります。

手順4。2つの三角形を足します。25+15で40cm²です。これが台形の面積になります。

手順5。公式で確かめます。台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2なので、(6+10)×5÷2で40cm²です。2つの三角形の合計と一致しました。

手順6。もう1本の対角線で分けても確かめられます。上の辺の右端と下の辺の左端を結ぶと、今度は別の2つの三角形ができますが、面積の合計はやはり40cm²です。対角線の選び方で答えが変わらないことを、数字で確かめておくと安心です。

上底と下底の位置が左右にずれている台形でも、考え方は同じです。2つの三角形の高さは、どちらも平行な2つの辺の間の距離で決まるので、上底が下底の真ん中になくても5cmのままです。図をかくときに上底を中央にそろえる癖がつくと、この高さが同じであることを見落としにくくなります。

図2に、対角線で分けた2つの三角形と、それぞれの面積を書きこみました。2つの三角形は形が違っても、どちらも高さは5cmであることに変わりはありません。

図2のように、高さの線は底辺に垂直に引きます。図の上では、上の辺と下の辺が平行なので、2つの三角形の高さが同じ長さになることが読み取れます。

ひし形を4つの三角形にする方法と、長方形から引く方法

対角線が6cmと8cmのひし形の面積を、2通りの方法で求めてみます。どちらの方法も、対角線が垂直に交わり、交わる点がそれぞれの対角線の中点になっていることを前提にしています。この性質は、4つの辺がすべて等しいひし形だからこそ成り立ちます。平行四辺形でも、4つの辺が等しくないものは、対角線が中点で交わっても垂直とは限りません。

ひとつめの方法は、4つの直角三角形に分けて足すやり方です。対角線が中点で交わるので、6cmの対角線は3cmずつに、8cmの対角線は4cmずつに分かれます。できる直角三角形は、直角をはさむ2辺が3cmと4cmです。1つの面積は3×4÷2で6cm²になります。これが4つあるので、6×4で24cm²です。

4つの直角三角形が合同になるのは、ひし形の4つの辺が等しく、対角線がそれぞれの中点で交わるからです。対角線の交点を中心に180度回すと、向かい合う三角形が重なります。合同な三角形は面積も等しいので、1つ分を4倍すれば全体の面積になります。

ふたつめの方法は、ひし形を囲む長方形から、4つの角の三角形を引くやり方です。対角線の長さがそのまま長方形の縦と横になるので、長方形の面積は6×8で48cm²です。四隅には、直角をはさむ2辺が3cmと4cmの直角三角形が4つできます。1つ6cm²なので4つで24cm²です。48から24を引くと24cm²になり、分割して足した数と一致しました。

囲む長方形の縦と横が対角線の長さになるのは、長方形の辺が2本の対角線と平行で、4つの頂点が長方形の辺に接しているからです。長方形の中心は対角線の交点と重なり、縦の長さは8cmの対角線、横の長さは6cmの対角線と同じになります。この対応を図で確かめてから、引き算の式を立てます。

最後に公式でも確かめます。ひし形の面積は対角線×対角線÷2なので、6×8÷2で24cm²です。3つの求め方がそろったところで、それぞれの式が何を数えているかを比べてみてください。分割の方法は小さな三角形の和を数え、引き算の方法は大きな長方形との差を数え、公式はその2つを1本の式にまとめたものです。

この2つの方法は、ひし形に限らず、対角線が垂直に交わる図形なら同じように使えます。ただし、垂直に交わることを確かめずに対角線をそのまま長方形の縦と横にしてしまうと、囲む長方形が図形より大きくなり、引き算の数が合いません。図に直角の印を書きこんでから計算を始めると、この間違いを防げます。

対角線と2つの高さから四角形の面積を出す

四角形ABCDで、対角線ACが10cm、頂点Bから対角線ACまでの距離が3cm、頂点Dから対角線ACまでの距離が4cmという問題を考えます。BとDは対角線ACをはさんで反対側にあります。この条件だけで、四角形の面積を求めることができます。

手順1。対角線ACを底辺とみて、四角形を三角形ABCと三角形ACDに分けます。2つの三角形は、どちらも底辺がACです。

手順2。三角形ABCの面積を出します。底辺が10cm、高さがBからACまでの距離3cmなので、10×3÷2で15cm²です。

手順3。三角形ACDの面積を出します。底辺が同じ10cm、高さがDからACまでの距離4cmなので、10×4÷2で20cm²です。

手順4。2つを足して、15+20で35cm²です。これが四角形ABCDの面積になります。

別の解き方もあります。2つの三角形は底辺が共通なので、高さを先に足してから計算できます。3+4で7cm、10×7÷2で35cm²です。三角形を2回に分けて計算する代わりに、高さの合計を1つの高さとしてまとめた式です。分配のきまりを使っているだけで、考え方は同じです。

計算の前に、与えられた長さが同じ図形の中に収まるかを確かめます。対角線が10cmで、片側の高さが3cm、反対側の高さが4cmなら、頂点BとDは対角線からそれぞれ3cm、4cm離れた位置にあります。図に垂線と直角の印を書き、2つの頂点が対角線をはさんで反対側にあることを見てから、足し算の式を立てます。

この方法で気をつけるのは、高さが対角線に垂直な長さであることです。頂点から対角線へ垂線を下ろし、直角の印を図に書きこみます。斜めに引いた線の長さをそのまま高さにすると、面積は必ずずれます。また、BとDが対角線の同じ側にある図では、2つの三角形は足し算にならず、大きい三角形から小さい三角形を引く形になります。問題の図で2つの頂点が対角線をはさんで反対側にあるかを、最初に確かめてください。

この考え方は、四角形が台形でもひし形でもないときに役立ちます。公式がない図形でも、対角線1本と2つの高さがわかれば、三角形2つの和として面積を組み立てられます。図形の名前で解き方を決めるのではなく、対角線を底辺にしたときに高さが読めるかで決める、という見方に慣れておくと、初めて見る形にも線を引けます。

重なった三角形を足してしまう誤答

角Bが直角の四角形ABCDで、ABが10cm、BCが6cm、点Dが点Cから右へ4cm、上へ2cmの位置にある問題を考えます。この四角形の面積を、三角形2つに分けて足す問題です。

ある子は、三角形ABCと三角形BCDに分けました。三角形ABCは、直角をはさむ2辺が10cmと6cmなので、10×6÷2で30cm²です。三角形BCDは、辺BCを底辺とみて、高さをDからBCまでの距離4cmと考え、6×4÷2で12cm²です。2つを足して30+12で42cm²と答えました。

ところが、この42cm²は正しくありません。三角形ABCと三角形BCDは、辺BCを共通の辺とし、どちらも辺BCの右側に広がっています。そのため、2つの三角形は中央で重なり、重なった部分を2回足しています。さらに、辺ADの側には、どちらの三角形にも数えられていない部分が残っています。図3のオレンジの部分が重なり、灰色の部分が数え忘れです。重なりと数え忘れが同時に起きるので、足した数が正しい面積より大きくなるとは限らず、小さくなることもあります。

正しくは、対角線BDで四角形を2つに分けます。三角形ABDは、辺ABを底辺とすると、高さがDから辺ABまでの距離8cmなので、10×8÷2で40cm²です。三角形BCDは、先ほどと同じく12cm²です。40+12で52cm²になります。42cm²と比べると10cm²の差があり、これが重なりと数え忘れの差です。

もう1つ、見た目で長さを決めてしまう誤りもあります。点Dが点Cの真上にあるように見えても、問題文には右へ4cm、上へ2cmと書かれています。図の見た目と与えられた長さが違うときは、必ず数字を優先し、図にその数字を書きこみます。三角形ABDの高さ8cmは、BCの6cmと、DがCより上にある2cmを足した長さです。この2cmを書き忘れると、正しい52cm²に届きません。

この誤答を防ぐには、分けた2つの三角形が同じ辺を共有しているとき、その辺の同じ側に2つとも広がっていないかを確かめます。同じ側にあれば、2つの三角形は重なっています。共通の辺をはさんで反対側に広がるように分けるか、対角線を1本だけ引いて分け直します。図3のように、重なった部分に色を塗ってみると、自分の線がどこで交わっているかに気づけます。

図3では、青い三角形ABCと赤い線で囲んだ三角形BCDが、中央のオレンジの部分で重なっています。灰色の部分は、どちらの三角形にも数えられていない場所です。

練習問題

次の5問を、図を書きながら解いてください。答えは次の節にまとめてあります。

上の辺が4cm、下の辺が9cm、高さが6cmの台形があります。対角線を1本引いて2つの三角形に分け、面積を求めてください。
対角線が10cmと4cmのひし形があります。4つの直角三角形に分ける方法で、面積を求めてください。
四角形ABCDで、対角線ACが12cm、BからACまでの距離が2cm、DからACまでの距離が5cmです。BとDはACをはさんで反対側にあります。面積を求めてください。
縦7cm、横12cmの長方形の、1つの角から直角をはさむ2辺が4cmと3cmの直角三角形を切り取りました。残った図形の面積を求めてください。
下の辺が11cm、上の辺が5cm、高さが6cmで、左の辺が下の辺に垂直な台形があります。この台形を囲む長方形から、右側の直角三角形を引く方法で面積を求めてください。

図は、与えられた長さを書きこんでからかいてください。平行な辺には同じ向きの矢印を、直角には小さな四角の印を添えると、どの辺を底辺にしたときにどの長さが高さになるかが、図の上で決まります。

解答と途中の解き方

答えは39cm²です。下の辺を底辺とする三角形は9×6÷2で27cm²、上の辺を底辺とする三角形は4×6÷2で12cm²です。27+12で39cm²になります。公式の(4+9)×6÷2でも39cm²です。
答えは20cm²です。対角線が中点で交わるので、直角三角形の直角をはさむ2辺は5cmと2cmになります。1つは5×2÷2で5cm²、4つで20cm²です。対角線×対角線÷2の10×4÷2でも20cm²になります。
答えは42cm²です。三角形ABCは12×2÷2で12cm²、三角形ACDは12×5÷2で30cm²です。12+30で42cm²になります。高さをまとめて12×(2+5)÷2と計算しても42cm²です。
答えは78cm²です。長方形の面積は12×7で84cm²です。切り取った直角三角形は4×3÷2で6cm²なので、84から6を引いて78cm²になります。
答えは48cm²です。囲む長方形は11×6で66cm²です。右側の直角三角形は、直角をはさむ2辺が11から5を引いた6cmと6cmなので、6×6÷2で18cm²です。66から18を引いて48cm²になります。公式の(5+11)×6÷2でも48cm²です。