中学受験の算数 多角形の角度—三角形への分割と外角の一周から角を求める｜武蔵野個別指導塾

三角形の数え間違いを図で直し、外角の和や正多角形の条件から辺の数を探る多角形の角度。

よくあるのは、小学生が多角形を三角形に分けた後、その数を一つ多く数える場面です。頂点から引いた線の本数と、できた三角形の個数が混ざると、その後の計算が正しくても角度の和が変わってしまいます。線の両側を別々に数え直し、元の図形を隙間なく覆ったかを確かめましょう。

ここで扱うのは、へこんだ頂点のない凸多角形と正多角形です。へこみのある図形や星形では、分割や外角の向きに別の注意が必要なので扱いません。

何を求める問題か

まず、辺の数から内角の和を求める型があります。頂点を一つ選んで対角線を引き、三角形が何個できるかを調べます。逆に、内角の和から辺の数を求める型では、和を180°ずつのまとまりに戻してから、元の辺の数を考えます。

次に、外角から辺の数を求める型があります。多角形の周りを同じ向きに一周するときの曲がり角に注目します。正多角形なら外角が等しいので、一周分を一つの外角で割れます。ただし、外角が等しいという条件がない多角形に、この割り算を使うことはできません。

さらに、内角の一部と残りの角の関係から、個々の角を求める型があります。和がわかっても、それぞれの大きさが決まるとは限りません。等しい、あるいは比が決まっているなどの条件を読み、角の和と組み合わせます。図の見た目だけで等しいと決めず、問題文の条件に印をつけましょう。

三角形の個数と外角の一周

内角は、多角形の隣り合う2辺が内側につくる角です。対角線は隣り合わない頂点を結ぶ線です。凸多角形では、選んだ一つの頂点から引いた対角線は図形の内部を通り、図形を三角形に分けられます。

図1のように六角形の頂点Aから対角線を引くと、三角形は4個です。辺BC、CD、DE、EFをそれぞれ底辺と見ると、各底辺に対して頂点Aを持つ三角形が一つずつあります。辺ABと辺AFは分けられた部分の外側の辺であり、底辺としてさらに数えると重複します。

六角形の内角は、分けた三角形の角を集めたものです。頂点Aでは4個の角を合わせると元の内角になり、ほかの頂点でも分かれた角を合わせると元の内角になります。三角形の内角の和は180°なので、六角形の内角の和は180°を4個分、720°です。

同じ方法では、辺が7本なら三角形は5個、辺が8本なら6個です。選んだ頂点につながる両端の2辺を除くと、底辺として数える辺は元の辺の数より2本少なくなります。したがって、内角の和は「辺の数から2を引いた数」に180°をかけて求められます。引くのは対角線の本数ではなく、三角形の個数を出すための2です。

外角は、一つの辺を頂点の先へ延ばし、次の辺との間にできる角です。内角とその隣の外角は一直線の角を分けるので、和は180°です。周りを一方向に進み、各頂点で外角の分だけ向きを変えると、出発したときの向きに戻ります。凸多角形では同じ向きに曲がって一周するので、各頂点で一つずつ取った外角の和は360°です。

正多角形は、辺の長さがすべて等しく、内角もすべて等しい多角形です。内角が等しければ、それぞれに隣り合う外角も等しくなります。外角一つ分は360°を辺の数で割って求めます。一方、内角が等しいという情報だけから辺の長さまで等しいとは決められません。外角の計算に必要な条件と、正多角形の定義とを区別しましょう。

基本例題：七角形の内角の和

問題：凸七角形の内角の和を、度を単位として整数で求めましょう。

図2のように一つの頂点から隣り合わない頂点へ線を引きます。三角形を端から順に指で追うと5個です。対角線は4本ですが、線で区切られた部分は5個なので、ここを混同しないようにします。

辺の数は7本です。

三角形の個数は、7 − 2 = 5個です。

1個の三角形の内角の和は180°です。

5個分は、180 × 5 = 900°です。

答えは900°です。別の確かめ方として、七角形の各頂点で内角と外角を合わせると180°が7個あります。そこから外角の和360°を引くと、180 × 7 − 360 = 900°です。分割して足す方法と、一直線の角から外角を引く方法で同じ値に戻ります。

標準例題：正多角形の辺の数

問題：ある正多角形の内角は1つが150°です。辺の数を整数で求めましょう。

内角と隣の外角を合わせると180°です。

外角1つは、180 − 150 = 30°です。

正多角形なので外角はどの頂点でも30°です。

外角を1つずつ集めた和は360°です。

頂点の数は、360 ÷ 30 = 12個です。

頂点の数と辺の数は等しいので、答えは12本です。

条件に戻して確かめます。12本の辺を持つ正多角形の外角1つは360 ÷ 12 = 30°です。隣の内角は180 − 30 = 150°となり、与えられた角に一致します。内角の和から確かめても、180 × 10 = 1800°、これを12個に等分すると150°です。

内角をそのまま360°で割るのは適切ではありません。一周するときに足し合わせるのは内角ではなく、進む向きの変化を表す外角だからです。また、もし正多角形であるという条件がなければ、1つの内角が150°でも残りの外角は等しいとは限らず、この計算で辺の数を決められません。

発展例題：残った角を比で分ける

問題：凸六角形の内角のうち4つは、それぞれ100°、110°、120°、130°です。残る2つの内角の比は2 : 3です。残る角を小さい順に、度を単位として整数で求めましょう。

六角形を三角形に分けると4個です。

内角の和は、180 × 4 = 720°です。

わかっている4つの角の和は、100 + 110 + 120 + 130 = 460°です。

残る2つの和は、720 − 460 = 260°です。

比の2と3を合わせると5です。

比の1に当たる角は、260 ÷ 5 = 52°です。

小さい角は、52 × 2 = 104°です。

大きい角は、52 × 3 = 156°です。

答えは104°と156°です。和を戻すと460 + 104 + 156 = 720°、比も104 : 156 = 2 : 3です。どちらも180°より小さいので、凸多角形の内角という条件にも反しません。実際に各角の外角は順に80°、70°、60°、50°、76°、24°となり、和は360°です。各方向への辺の長さを調整すれば閉じる配置も作れるので、角の条件は矛盾しません。

もし計算で180°以上の内角が出たら、答えをそのまま採用せず、計算と条件を点検します。凸多角形の各内角は180°より小さいからです。また、残る2角の和だけでは各角は定まりません。比の条件があるからこそ、260°を5つの等しい部分として分けられます。

誤答を直す：線と部分を取り違えない

六角形の頂点から対角線を3本引いたとき、「辺が6本だから三角形も6個」と数え、内角の和を1080°とする誤答を考えます。式のかけ算自体は合っていますが、もとの図形の中に6個の三角形はありません。

図3のように、線を1本引く前は1つの部分です。対角線を1本増やすたび、今ある一つの部分が2つに分かり、部分の数は1つ増えます。3本引いた後は1 + 3 = 4個です。三角形に順に番号を振れば、同じ部分を2度数えたり、線を部分として数えたりしたことに気づけます。

別の誤りは、外角を180°から引き忘れ、内角の数値をそのまま360°で割ることです。頂点に小さな一直線を描き、内角と隣の外角にそれぞれ印をつけます。二つの角が180°になることを確認してから一周分の式へ進みます。

図が正多角形に見える場合も注意が必要です。辺や角が等しいという条件がなければ、見た目の対称さは計算の根拠になりません。条件が足りないときは数を無理に決めず、どの角の関係が必要かを言葉にします。計算の途中で割り切れなくても直ちに誤りとは限りませんが、辺の数が整数にならない場合、その条件を満たす正多角形は存在しません。

条件が合わないときの考え方

例えば、正多角形の外角が1つ28°という条件なら、360 ÷ 28は整数になりません。外角を同じ大きさのまま並べても、頂点を整数個通ってちょうど一周できないからです。近い整数に丸めて辺の数とすると、掛け戻した外角の和は360°からずれてしまいます。角度の計算で端数を見つけたら、求めるものが角なのか、辺の数なのかを確認します。

また、凸六角形の内角の和が720°であっても、各角が120°とは限りません。和が同じでも各角の配分は変えられます。角を等分してよいのは、その角が等しいとわかる条件がある場合です。逆に、計算で内角が190°になった場合は、和が720°に合っていても凸という条件を満たしません。合計と個々の角の両方を見ることで、式だけでは見落とす矛盾を見つけられます。

対角線を引く方法では、選ぶ頂点を変えても和は変わりません。分割された三角形の形は変わっても、元の内角を重なりなく分けたことと、三角形の個数が変わらないことが理由です。描いた線が頂点を結んでいるか、線が図形の外へ出ていないかを確かめると、この説明を図に結びつけられます。

図を描くときは、最初に周りの辺を一周して頂点を確かめ、次に選んだ頂点から線を引きます。最後に各部分を指でたどり、元の図形に数え残しがないか確認しましょう。

練習問題

いずれも凸多角形を考えます。角度は度を単位とする整数、辺の数は整数で答えましょう。

1. 九角形の内角の和を求めましょう。
2. 内角の和が1440°の多角形の辺の数を求めましょう。
3. 正多角形の外角が1つ24°です。辺の数と内角1つの大きさを求めましょう。
4. 五角形の4つの内角は90°、105°、115°、120°です。残る内角を求めましょう。
5. 正多角形の内角が1つ160°であるとします。この条件を満たす正多角形は存在しますか。存在すれば辺の数を、存在しなければ理由を答えましょう。

練習問題の答えと解き方

1. 三角形は9 − 2 = 7個です。内角の和は180 × 7 = 1260°です。外角の和を使っても180 × 9 − 360 = 1260°に戻ります。

2. 三角形の個数は1440 ÷ 180 = 8個です。辺はそれより2本多いので10本です。10 − 2 = 8個の三角形から、180 × 8 = 1440°と条件へ戻せます。

3. 外角は等しいので、辺の数は360 ÷ 24 = 15本です。内角1つは180 − 24 = 156°です。15個の外角の和は24 × 15 = 360°で、内角と外角の和も156 + 24 = 180°です。

4. 五角形の内角の和は180 × 3 = 540°です。既知の4角の和は90 + 105 + 115 + 120 = 430°です。残る角は540 − 430 = 110°です。5つを足し戻すと540°で、各角も180°未満です。

5. 外角は180 − 160 = 20°です。360 ÷ 20 = 18なので、18本の辺を持つ正多角形が存在します。外角は360 ÷ 18 = 20°、内角は180 − 20 = 160°と条件に戻ります。割り算の結果が整数にならなければ、辺の数にできず存在しません。

覚えておくこと

• 一つの頂点からの分割では、三角形の個数は辺の数より2少なくなります。
• 凸多角形の内角の和は、三角形の個数に180°をかけます。
• 各頂点の外角を一つずつ取った和は360°です。
• 正多角形では外角が等しく、360°を外角で割ると辺の数が出ます。
• 答えを角の和や元の条件に戻し、凸の条件も確かめます。

どこで迷ったかを見分ける

お子さまが式を立てられないときは、最初に図の三角形を指で一つずつ示してもらいます。個数を言えるのに式が違うなら、辺の数から2を引く意味を底辺の数に戻して確認します。個数そのものが違うなら、引いた線と囲まれた部分を別々の色や番号で区別します。

個別指導では、外角をどこに描いたか、180°と360°のどちらを何の和として使ったかを発言と式で確かめます。正多角形という条件に印がなければ、角が等しい根拠を問い直します。計算結果が出た後も、辺の数は整数か、角は凸の条件を満たすかを図に戻して判断します。線の本数と面の個数を区別すると、多角形の角度は根拠を持って追えます。