中学受験の算数 三角形の底辺と高さ—底辺を選び直して面積の等しい組を見抜く｜武蔵野個別指導塾

鈍角三角形の外側に高さを引き、共通の底辺と平行線から等しい面積を見つける道筋を、例題と練習でたどる三角形の高さ。

よくあるのは、三角形の面積を求めるとき、小学生が斜めの辺をそのまま高さにしてしまう場面です。底辺に見える辺の横に数字があり、斜めの辺にも数字があると、2つをかけたくなります。しかし、高さは底辺に対して垂直に測った長さです。図を回したり辺を延長したりして、どの長さが組になるかを確かめます。

何を選べば面積が決まるか

最初の型は、底辺とそれに対応する高さが与えられ、面積を求める問題です。三角形の面積は、底辺に高さをかけて2で割ります。数字が2つ見えても、それらが垂直な組であることを、直角の印や問題文で確認します。

次の型は、面積と底辺から高さを求める問題です。面積を2倍すると、底辺と高さをかけた長方形の面積に戻ります。それを底辺で割れば高さが出ます。選び直した底辺について同じ操作をすると、元の高さとは違う長さになることもあります。

もう1つは、共通の底辺を持つ三角形の面積を比べる問題です。底辺と向かい合う頂点が、その底辺に平行な同じ直線上にあれば、高さも等しくなります。斜めの辺の長さや三角形の形が違っていても、面積は等しいと判断できます。反対に、共通の底辺があるという条件だけでは高さが決まらず、面積が等しいとは限りません。

底辺に対応する高さを見つける

三角形のどの辺も底辺として選べます。選んだ辺の向かい側の頂点から、その辺を含む直線へ垂直に引いた線分の長さが、その底辺に対応する高さです。線分が底辺と交わる点を、ここでは垂線の足と呼びます。

図1のように、鈍角三角形では垂線の足が辺の外側に出ることがあります。辺をまっすぐ延長した先まで見れば、底辺と垂直な高さを引けます。高さの線が三角形の外を通っていても、底辺を含む直線から頂点までの距離を表しています。

図1ではBCを底辺に選び、AからBCの延長に垂線AHを引いています。直角の印はAHとBCを含む直線が垂直である印です。ABは斜めの辺であり、BCに垂直ではないため、BCに対応する高さには使えません。

面積の式を考えるときは、底辺と高さでできる長方形を思い浮かべます。直角三角形なら、同じ形をもう1つ合わせると長方形ができ、その半分が元の三角形です。外に高さがある場合も、底辺を延長してできる大きな直角三角形から小さな直角三角形を引けます。2つの高さは共通なので、面積の差は「底辺の差×高さ÷2」です。底辺の差は元の底辺ですから、同じ公式が使えます。

平行な2直線の間の垂直な距離は、測る場所を変えても等しくなります。したがって、底辺を含む直線と平行な直線上に頂点があれば、どの頂点からの高さも同じです。ただし、頂点が同じ直線上にあるだけでは足りません。その直線が底辺に平行かどうかまで確かめます。

高さを引く前に、底辺の両端と向かいの頂点を指でたどると、どこから線を引くかを間違えにくくなります。底辺の端から別の辺に沿って線を引いても、向かいの頂点からの距離を表すとは限りません。直角の印がどの2本の線にはさまれているかまで読み取ります。

底辺を選び直すと、対応する高さは変わりますが、三角形自体の面積は変わりません。底辺が長くなると対応する高さは短くなり、底辺と高さの積は同じに保たれます。この関係は、2通りの式を照らし合わせるときの手がかりになります。

基本例題：外側に高さを引く

三角形ABCで、BCは6 cmです。AからBCをBの側に延長した直線へ垂線AHを引くと、HはBの外側にあり、BHは2 cm、AHは4 cmでした。三角形ABCの面積を、cm²を単位にして求めてください。

図2のように、まずBCを底辺に選びます。高さは、AからBCを含む直線へ垂直に引いたAHです。Hが辺BC上になくても、高さは4 cmです。

底辺6 cmに対応する高さは4 cmです。

6×4は24です。

24÷2は12です。答えは12 cm²です。

図2の大きな三角形AHCから、小さな三角形AHBを引いても確かめられます。HCは2と6を合わせた8 cmです。AHCの面積は8×4÷2で16 cm²、AHBの面積は2×4÷2で4 cm²です。差の16-4は12 cm²となり、直接求めた面積と一致します。

図を見ずに6と2をかけると、延長部分BHを高さと取り違えます。BHは底辺を含む直線上にあり、高さと直角に交わる側です。大きな三角形から引く方法では使いますが、BCに対応する高さではありません。

標準例題：底辺を選び直す

三角形DEFで、辺DEを底辺とすると、その長さは10 cm、高さは6 cmです。辺EFの長さは12 cmです。EFを底辺としたときの高さを、cmを単位にして求めてください。

まず、与えられた組から三角形の面積を求めます。10×6は60、60÷2は30なので、面積は30 cm²です。底辺をEFに変えても、同じ三角形の面積は30 cm²のままです。

面積を2倍すると、EFとそれに対応する高さの積に戻ります。30×2は60です。EFは12 cmなので、60÷12は5です。求める高さは5 cmです。

確かめとして、12×5÷2を計算します。60÷2は30で、最初の底辺から求めた面積に戻ります。ここで6 cmを新しい高さとして使うと36 cm²になり、同じ三角形の面積と合いません。高さは三角形に1つ固定される数ではなく、選んだ底辺との組で決まります。

なお、EFへの垂線が辺上に落ちるか延長上に落ちるかは、面積を求める操作には影響しません。どちらに落ちる場合も、DからEFを含む直線までの垂直な距離を使います。図が与えられたら、まず直角を示す位置を確認してから式に移ります。

発展示題：平行線で面積をつなぐ

直線lと、その上にない点Pがあります。l上に点A、B、Cがこの順にあり、ABは8 cm、BCは4 cmです。Pを通ってlに平行な直線上に点Qを取ります。PとQはlの同じ側にあり、Pからlまでの距離は6 cmです。三角形PABと三角形QABの面積、および三角形QBCの面積を、それぞれcm²を単位にして求めてください。

PとQを通る直線はlに平行です。そのため、Qからlまでの垂直な距離も6 cmです。三角形PABとQABは底辺ABを共通にし、高さも6 cmです。

8×6は48です。48÷2は24です。したがってPABとQABは、それぞれ24 cm²です。辺PAとQAの長さが等しいという条件は必要ありません。底辺と高さがそろっていることが、面積の等しさの理由です。

次にQBCは、底辺をBCに選びます。BCもl上にあるので、Qからの高さは同じ6 cmです。4×6は24、24÷2は12です。QBCの面積は12 cm²です。ABとBCは長さが違うので、高さが共通でも2つの面積は等しくなりません。

分割でも確認します。ACは8と4を合わせて12 cmです。三角形QACは12×6÷2で36 cm²です。線分QBで分けたQABとQBCの和は24+12で36 cm²となります。逆に全体からQABを引くと36-24で12 cm²となり、QBCの答えに戻ります。

Qが平行線上にある条件を消した場合、QABの面積は決められません。たとえばQがlから3 cmの位置にあれば面積は12 cm²、6 cmの位置なら24 cm²です。どちらも底辺ABを共有できます。見た目が似た図を描いても、不足している距離や平行の条件を補ったことにはなりません。

誤答を直す：斜めの辺と高さを分ける

図3のように、底辺を8 cm、斜めの辺を5 cm、底辺に垂直な高さを3 cmとする三角形を考えます。誤って8×5÷2とすると20 cm²です。この20は斜めの辺を高さと見た計算で、直角の条件に合っていません。

図3では、5 cmの辺と底辺は垂直ではありません。3 cmの線分には直角の印があり、底辺を含む直線に垂直です。正しい計算は8×3÷2で、12 cm²です。5 cmという長さが問題に示されていても、この底辺で面積を出す操作には使いません。

別の誤りは、三角形を回して描いたとき、紙の上下方向を高さと決めることです。底辺も一緒に傾けば、対応する高さの向きも変わります。紙の端ではなく、選んだ底辺と直角かどうかを見る習慣が役立ちます。

高さの線が書かれていない図では、自分で頂点から垂線を引いてみます。ただし、図を測って数字を作ることはできません。垂直な距離が与えられず、ほかの条件からも決まらなければ、面積を数で答えるための条件が不足しています。直角の印がない斜めの線に、見た目で直角を付け足さないことも必要です。

練習問題

それぞれ答えの単位を明記し、分数が出る場合は約分した分数で答えてください。三角形の頂点は、特に記した場合を除き一直線上にはありません。

1. 三角形ABCの底辺BCは14 cm、AからBCへの高さは5 cmです。面積をcm²で求めてください。
2. 三角形DEFの面積は42 cm²、底辺EFは12 cmです。DからEFを含む直線への高さをcmで求めてください。
3. 三角形GHIで、HIは7 cmです。GからHIをHの側に延長した直線への垂線の足をJとします。JHは3 cm、GJは8 cmです。GHIの面積をcm²で求めてください。
4. 直線上の2点K、Lの間は9 cmです。K、Lを通る直線と平行な直線上に、直線KLからの距離が4 cmとなる点M、Nがあります。三角形KLMとKLNの面積をそれぞれcm²で求めてください。
5. 三角形RSTは、RSを底辺とすると長さが15 cm、高さが6 cmです。辺STは8 cmです。STを底辺とする高さをcmで求めてください。

練習の答えと解き方

1. 14×5は70です。70÷2は35なので、35 cm²です。面積を2倍して底辺14 cmで割ると、70÷14は5 cmです。与えられた高さに戻ります。

2. 面積を2倍すると42×2で84です。これを底辺12 cmで割ると、84÷12は7です。高さは7 cmです。12×7÷2は42 cm²となり、元の面積を取り戻せます。

3. HIに対応する高さはGJの8 cmです。7×8÷2は28なので、28 cm²です。別の確かめでは、JIは3+7で10 cmです。大きな直角三角形GJIの面積は10×8÷2で40 cm²、小さな直角三角形GJHは3×8÷2で12 cm²です。差の40-12は28 cm²です。

4. MもNもKLを含む直線に平行な同じ直線上にあります。共通の底辺KLは9 cm、高さはどちらも4 cmです。9×4÷2は18なので、どちらも18 cm²です。18を2倍して9で割ると4 cmとなり、条件の距離に戻ります。頂点の位置が違うため、形まで同じとは限りません。

5. まず面積は15×6÷2で45 cm²です。これを2倍すると90です。STを底辺とした高さは90÷8で、45/4 cmです。8×45/4÷2は45 cm²となり、最初の面積と一致します。分数のままでも、指定された単位の長さを表せます。

覚えておくこと

• 高さは選んだ底辺を含む直線への垂直な距離です。
• 鈍角三角形では辺を延長して高さを引くことがあります。
• 面積を2倍して底辺で割ると、その底辺に対応する高さを求められます。
• 共通の底辺と平行線で高さがそろえば、三角形の面積は等しくなります。

つまずきを見分ける

お子さまが式を立てる前に、選んだ底辺を指し、その向かいの頂点からどこへ垂線を引くかを説明できるか確かめます。線は引けても直角の位置を示せなければ、辺と高さを区別するところに戻ります。外側の高さを避ける場合は、底辺を延長した直線まで目で追い、垂線の足を置いてみます。

個別指導では、同じ三角形で底辺を選び直し、高さの線と面積の式をそれぞれ書いてもらいます。2つの積が一致しないときは、計算の前に線の対応を見直します。平行線の問題では「同じ底辺」だけで結論を出していないかを発言で確かめ、高さが等しい理由まで図に戻って確かめます。底辺と高さの組が見えれば、傾いた図も面積で読み解けます。