中学受験の算数 面積の和と差—重なった部分を消して色の付いた面積を求める｜武蔵野個別指導塾

二つの色が重なる部分は、まとめて一度だけ引けば足ります。長方形と三角形を組み合わせた図で、全体から余分を消して色の付いた部分を求める面積の和と差です。

問題用紙に、赤と青の二色で塗った図があります。よくあるのは、お子さまが「重なったところは、赤からも青からも引く」と考える場面です。赤は長方形、青は三角形で、右のほうで重なっています。赤の面積からも青の面積からも同じ重なりを引いて二つの答えを足すと、正しい面積より重なり一つ分だけ小さくなります。共通部分を二回引いてしまうのは、この単元でいちばん多いつまずきです。重なりを一度だけ引く、という一つの約束を決めるだけで、色の付いた面積はすっきりと求まります。

問われ方は三つの型に分かれる

色の付いた面積の問題は、聞かれ方によって三つの型に分かれます。第一の型は「二つの図形の少なくとも一方がかかっている部分」を求めるものです。赤と青のどちらか一方でも色が付いていれば数える、という聞き方で、二つの図形を合わせた広がりを考えます。第二の型は「どちらか一方だけがかかっている部分」です。両方にかかっている共通部分は数えず、赤だけの部分と青だけの部分を合わせます。第三の型は「全体のうち、どちらにもかかっていない部分」で、大きな長方形から色の付いた部分を除いた白い部分を求めます。

この三つの型は、問題文の言葉が少し違うだけで、使う数はほとんど同じです。言葉の違いを、小さな数で確かめておきます。赤が40cm²、青が25cm²、共通部分が10cm²の図を考えます。少なくとも一方は40 + 25 − 10 で55cm²、どちらか一方だけは55 − 10 で45cm²です。全体が85cm²なら、どちらにもかかっていない部分は85 − 55 で30cm²になります。同じ三つの数から、聞かれ方に応じて三つの答えが出ることを、先に並べて見ておくと、問題文を読む目が変わります。

ところが「少なくとも一方」と「どちらか一方だけ」を取り違えると、答えは共通部分一つ分だけずれます。まず問題文を読んだら、四つの言い方に印を付けてください。「少なくとも一方」「両方」「どちらか一方だけ」「どちらにもかかっていない」の四つです。図には、赤だけ、青だけ、共通部分の三か所に小さな印を書き、どの部分を聞かれているのかを指でなぞって確かめます。

条件の読み取りでは、重なりの面積が問題文に書かれているか、寸法から計算するかを最初に見分けます。面積の単位はcmとcm²を混ぜず、最後にcm²を付けて答えます。扱う図形は直線で囲まれた長方形と三角形で、円やおうぎ形のような曲線はこの単元の外に置きます。図は正確に描かれているとは限らないので、重なりの形や大きさを見た目だけで決めないことも大切です。

式を立てる順番も決めておくと迷いません。まず図を三つの部分に分け、次にどの部分を聞かれているかに印を付け、最後に使う数を式へ並べます。いきなり式を書くと、共通部分をどこで引くかを忘れます。三つの型が一つの問題に組み合わさることもあります。たとえば「長方形だけの部分と、三角形だけの部分の差」を聞かれたら、まず二つの部分を別々に出し、そのあとで引き算をします。共通部分は両方の計算に同じだけ入っているので、途中で消えると見通しが立ちます。

三つの部分に分けると、和と差が一本の式になる

二つの図形が重なっているとき、図は三つの部分に分かれます。赤だけの部分、青だけの部分、そして両方にかかっている共通部分です。この三つを分けて書くと、面積の和と差が一本の式になります。図1のように、長方形と三角形を重ね、共通部分を灰色で塗り分けてみます。

赤い長方形の面積と青い三角形の面積をそのまま足すと、共通部分は長方形でも一度、三角形でもう一度数えられ、二回登場します。そこで、二つの面積の和から共通部分を一度だけ引くと、少なくとも一方がかかっている部分の面積になります。これが面積の和の基本です。式にすると、長方形 + 三角形 − 共通部分 です。

面積を数え直す、という見方も同じことを言っています。共通部分に小さな正方形がいくつ並ぶかを考えると、長方形の側から数えた回数と三角形の側から数えた回数が重なります。二つの回数を足すと、共通部分だけ二回数えたことになるので、一度分を戻します。式の引き算は、この数え直しの言い換えです。数字だけを覚えるのではなく、どこを二回数えたのかを図で指せるようにしておくと、形が変わっても同じ考え方を使えます。

どちらか一方だけがかかっている部分を求めるときは、共通部分をもう一度引きます。長方形 + 三角形 − 共通部分 − 共通部分 という形です。二回引くのが正しいのは、この「一方だけ」を聞かれたときだけです。同じ二回引きでも、聞かれ方が違えば意味が変わります。

面積の差も、三つの部分から説明できます。長方形だけの部分は、長方形から共通部分を引いた残りです。三角形だけの部分は、三角形から同じ共通部分を引いた残りです。この二つの差をとると、共通部分はどちらからも同じだけ消えるので、長方形と三角形の面積の差がそのまま残ります。同じ大きさを両方から引いても、差は変わらない、という見方です。

この見方が成り立つ条件は三つあります。一つは、共通部分が二つの図形のどちらにも含まれていることです。二つは、共通部分の面積が問題文か寸法からわかることです。三つは、図形が三つの部分に重なりなく分けられることで、直線で囲まれた長方形と三角形なら、この分け方ができます。曲線が混じると共通部分の形が変わるため、この単元では扱いません。

面積の話と、まわりの長さの話は分けて考えます。重なった部分を引くのは、面積を重なりなく数え直すためです。まわりの長さは辺を一本ずつたどる別の量なので、面積で使った引き算をそのまま当てはめることはできません。式の数字が面積なのか長さなのかを、単位を見て確かめる習慣が、ここでも役に立ちます。

基本例題—長方形と三角形が重なった色の面積

長方形ABCDがあり、ABは10cm、ADは6cmです。この長方形の右側に、直角をはさむ二辺が8cmと6cmの三角形PQRを重ねます。三角形の底辺は長方形の下の辺と同じ直線上にあり、三角形の底辺のうち長方形の内側に入っている部分は4cmです。二つの図形の少なくとも一方がかかっている部分の面積を求めなさい。

図2のように、長方形の右の辺から三角形が食いこみ、共通部分は三角形の形になります。順に求めます。

1. 長方形の面積は、10 × 6 で60cm²です。
2. 三角形の面積は、8 × 6 ÷ 2 で24cm²です。
3. 共通部分は、底辺4cmの三角形です。高さは、三角形の底辺が8cmで6cm上がるところ、底辺4cmではその半分の3cmになります。4 × 3 ÷ 2 で6cm²です。
4. 少なくとも一方がかかっている部分は、60 + 24 − 6 で78cm²です。

高さが半分になる理由も確かめておきます。三角形の斜めの辺は、横に8cm進む間に6cm上がります。横に4cm進むと、進んだ長さが半分なので、上がる高さも半分の3cmです。同じ傾きの坂を半分だけ歩くと考えれば、比例の決まりだけで説明できます。ここで高さを6cmのままにしてしまうと、共通部分は12cm²になり、答えは72cm²まで下がります。共通部分の高さは、三角形全体の高さではなく、長方形の内側に入ったところまでの高さであることに注意します。

確かめに、三つの部分を足します。長方形だけの部分は60 − 6 で54cm²、三角形だけの部分は24 − 6 で18cm²です。54 + 6 + 18 を計算すると78cm²になり、上の答えと一致します。別の向きからも確かめられます。長方形だけと共通部分を足すと54 + 6 で60cm²になり、三角形だけと共通部分を足すと18 + 6 で24cm²になります。もとの二つの図形の面積に戻れば、三つの部分への分け方が正しいとわかります。共通部分を二回引いて60 + 24 − 6 − 6 とすると72cm²になり、6cm²だけ小さくなります。どこで一度引くかを決めるのが、この例題の中心です。

標準例題—重なりを両方から引いても差は変わらない

長方形ABCDはABが12cm、ADが7cmです。三角形PQRは底辺が14cm、高さが8cmで、長方形と重なっています。重なった部分の面積は24cm²です。長方形のうち三角形がかかっていない部分は、三角形のうち長方形がかかっていない部分より、何cm²大きいですか。

長方形の面積は12 × 7 で84cm²、三角形の面積は14 × 8 ÷ 2 で56cm²です。長方形だけの部分は84 − 24 で60cm²、三角形だけの部分は56 − 24 で32cm²です。二つの差は60 − 32 で28cm²になります。

ここで別の求め方を試します。共通部分の24cm²は、長方形からも三角形からも同じだけ引かれています。同じ大きさを両方から引いても差は変わらないので、84 − 56 を計算しても28cm²です。三つの部分の図を思い浮かべると、共通部分が両方から消える様子が見えます。確かめに、60 − 32 と84 − 56 がどちらも28になることを並べて書いておくと安心です。

ためしに、重なった部分が30cm²だったとしても、差は変わりません。長方形だけは84 − 30 で54cm²、三角形だけは56 − 30 で26cm²になり、差は54 − 26 で28cm²です。共通部分がいくつでも、両方から同じだけ消えるので、差は長方形と三角形の面積だけで決まります。ただし、共通部分が図形より大きくなることはありません。24cm²や30cm²は、長方形にも三角形にも収まる範囲で考えます。図に描けるかどうかを、数の大小と一緒に確かめておくと、条件の読み違いを防げます。

この問題で気をつけるのは、24cm²を片方だけから引かないことです。長方形からだけ引くと、差は84 − 24 − 56 という別の計算になり、共通部分の扱いが崩れます。共通部分は二つの図形のどちらにも属しているので、差を考えるときは両方から同じだけ引きます。もし片方の図形が共通部分をまるごと含み、もう片方が含まない、という図なら、三つの部分の分け方そのものが変わるので、この式は使えません。共通部分が両方に属していることを、図で確かめてから式を立てます。

発展例題—全体から三つの三角形を引いて残りを求める

長方形ABCDはABが12cm、BCが6cmです。辺BC上に点EをBEが4cmとなるようにとり、辺CD上に点FをCFが3cmとなるようにとります。三角形AEFの面積を求めなさい。

図は四つの三角形に分かれます。長方形の面積は12 × 6 で72cm²です。三角形ABEは、底辺ABが12cm、高さBEが4cmなので24cm²です。三角形ADFは、DFが12 − 3 で9cm、高さがADの6cmなので、9 × 6 ÷ 2 で27cm²です。三角形ECFは、ECが6 − 4 で2cm、CFが3cm、角Cが直角なので、2 × 3 ÷ 2 で3cm²です。三角形AEFは、全体からこの三つを引いた残りです。72 − 24 − 27 − 3 を順に計算すると、48、21、18となり、18cm²です。

引く三つの三角形を、底辺と高さの組で並べると次のようになります。

表にしてから足すと、底辺にどの辺を選んだかが一目でわかります。三角形ADFの底辺はDFの9cmで、CFの3cmではありません。三角形ECFの底辺はECの2cmで、BEの4cmではありません。辺の上の点の位置から、どちら側の長さかを読み分けるところが、この例題の関門です。

別の求め方もあります。四角形AECFを、対角線ACで二つの三角形に分けます。三角形AECは、底辺ECが2cm、高さがABの12cmなので12cm²です。三角形ACFは、底辺CFが3cm、高さがADの6cmなので9cm²です。四角形AECFの面積は12 + 9 で21cm²です。同じ四角形を対角線EFで分けると、三角形AEFと三角形ECFになります。三角形ECFは3cm²なので、三角形AEFは21 − 3 で18cm²です。二通りの答えが一致しました。

この例題は、全体から引く方法と、和から共通部分を引く方法の両方を含んでいます。三角形AECと三角形ACFの和は、四角形AECFの面積です。四角形を別の対角線で分けても面積の和は変わらない、という見方が、和と差の考え方につながります。

検算では、四つの三角形の面積を足します。24 + 27 + 3 + 18 を計算すると72cm²で、長方形の面積と一致します。答えの18cm²を、三角形AEFの三つの頂点の位置に戻して考えることもできます。Aは左下の角、Eは右の辺の下から4cm、Fは上の辺の右から3cmです。Eを右の辺の上のほうへ動かすと三角形AEFは細くなり、Fを左へ動かすと広がります。図の上で頂点を動かしながら、面積が変わる向きを確かめると、式の意味が残ります。

よくある誤答と直し方

いちばん多い誤答は、共通部分を二回引くことです。長方形が96cm²、三角形が32cm²、共通部分が8cm²の図を考えます。正しい式は96 + 32 − 8 で120cm²です。ところが、96 + 32 − 8 − 8 と計算して112cm²と答えるお子さまがいます。図3の88は長方形だけの部分、24は三角形だけの部分、8は共通部分です。88 + 8 + 24 を計算すると120cm²で、112cm²は共通部分を一度も数えていないことになります。二回引くと、共通部分が0回になる、と説明すると納得しやすいです。

二つ目の誤答は、「少なくとも一方」と「どちらか一方だけ」の読み違いです。同じ図で、どちらか一方だけがかかっている部分は88 + 24 で112cm²です。これは二回引いた112cm²と同じ数になりますが、意味はまったく違います。一方だけを聞かれたときに二回引くのは正しく、少なくとも一方を聞かれたときに二回引くのは誤りです。問題文の言葉を四つの言い方に分けて印を付ける理由が、ここにあります。

三つ目の誤答は、条件が足りないのに見た目で決めることです。重なった部分の面積が問題文になく、寸法も読み取れない図では、面積は決められません。図の重なりが小さく見えるから引かなくてよい、半分くらいだから8cm²だろう、と決めるのは危険です。重なりの面積か、重なりの形を決める寸法が与えられているかを、式を立てる前に確かめます。条件が足りないときは、答えを出すのを止めて、何が分かれば決まるかを言葉にするのが正しい対応です。

四つ目の誤答は、共通部分を引かずに足してしまうことです。96 + 32 + 8 と計算すると136cm²になり、共通部分を三回数えたことになります。和の式で足すのは二つの図形の面積までで、共通部分は必ず引く側に置きます。足すのか引くのかが迷うときは、三つの部分の図に戻り、共通部分を指で押さえながら、その部分を何回数えているかを声に出して確かめます。

見た目に引っぱられる誤りは、ほかにもあります。共通部分が細長く見えると「ほとんど面積がない」と感じて引かなかったり、逆に大きく重なって見えると必要以上に引いたりします。図の形は説明のためのもので、面積は必ず数か寸法から決めます。定規で測った長さをそのまま面積の計算に使うのも避けます。図に書かれた数と、問題文の数が一致しているかを、式を立てる前と答えを出した後の二回確かめます。

練習問題

次の五問を解いてください。答えは後ろにまとめてあります。1と2は同じ図を使い、聞かれ方だけを変えています。3は答えから重なりを逆算する問題、4は差が共通部分に左右されないことを確かめる問題、5は全体から色の付いた部分を引く問題です。順番に解くと、三つの型を一通りたどれます。

1. 長方形の面積が48cm²、三角形の面積が30cm²、重なった部分の面積が9cm²です。少なくとも一方がかかっている部分の面積を求めなさい。
2. 1と同じ図で、どちらか一方だけがかかっている部分の面積を求めなさい。
3. 長方形の面積が72cm²、三角形の面積が45cm²で、重なっています。少なくとも一方がかかっている部分が100cm²のとき、重なった部分の面積を求めなさい。
4. 長方形の面積が96cm²、三角形の面積が64cm²で、重なった部分は25cm²です。長方形だけの部分は、三角形だけの部分より何cm²大きいですか。
5. 長方形の面積が150cm²です。その中に二つの三角形アとイが重なってかかっています。アは45cm²、イは54cm²、重なりは18cm²です。どちらの三角形もかかっていない部分の面積を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. 48 + 30 − 9 で69cm²です。共通部分を一度だけ引きます。確かめに、長方形だけの39cm²、共通部分の9cm²、三角形だけの21cm²を足すと69cm²です。
2. 一方だけなので、共通部分をもう一度引きます。69 − 9 で60cm²です。長方形だけの39cm²と三角形だけの21cm²を足しても60cm²になります。
3. 重なった部分を求める数として、72 + 45 を先に計算すると117です。ここから100を引くと17cm²で、これが重なった部分です。確かめに、72 + 45 − 17 を計算すると100cm²に戻ります。重なった部分は45cm²より小さいので、図形の中に収まる数だとわかります。
4. 長方形だけの部分は96 − 25 で71cm²、三角形だけの部分は64 − 25 で39cm²です。差は71 − 39 で32cm²です。共通部分を両方から引いても差は変わらないので、96 − 64 でも32cm²になります。三つの部分に戻すと、長方形だけの71cm²、共通部分の25cm²、三角形だけの39cm²になり、71 + 25 で96、39 + 25 で64です。もとの二つの面積に戻れば計算は正しいです。
5. 二つの三角形がかかっている部分は、45 + 54 − 18 で81cm²です。全体から引くと、150 − 81 で69cm²です。確かめに、81 + 69 を計算すると150cm²に戻ります。三つの部分は、アだけの27cm²、共通部分の18cm²、イだけの36cm²です。27 + 18 + 36 を計算すると81cm²になり、全体から引いた数と一致します。

覚えておくこと

• 共通部分は二つの図形のどちらにも数えられているので、一度だけ引きます。
• 二回引いてよいのは、どちらか一方だけがかかっている部分を求めるときです。
• 面積の差は、同じ共通部分を両方から引いても変わりません。
• 色の付いた部分がわからないときは、全体から白い部分を引きます。
• 問題文の「少なくとも一方」「一方だけ」「どちらにも」を、図に印を付けて読み分けます。

つまずきの見分け方と、確かめる場所

お子さまが式を立てたときは、まず図に三つの部分の名前が書かれているかを見ます。赤だけ、青だけ、共通部分の三つが図に書き込まれていれば、式のどの数がどの部分かを指して説明できます。書かれていなければ、鉛筆で三か所に印を付けるところから始めます。

発言では「両方から引いた」という言葉に気をつけます。この言葉が出たら、共通部分を二回引いている可能性が高いです。式では、同じ数が二回続けて引かれていないかを見ます。60 + 24 − 6 − 6 のような形は、少なくとも一方を聞かれた問題では誤りです。逆に、一方だけを聞かれた問題では正しい形なので、問題文の言葉と式を並べて確かめます。

答えが出たら、三つの部分の和に戻して検算します。長方形だけ、共通部分、三角形だけの三つを足し、全体の面積と一致するかを見ます。重なりの面積が与えられていない図では、見た目で決めずに、何が分かれば決まるかを言葉にさせます。図に印を付ける、式の数を指で追う、三つの部分に戻す、の三つを一緒に行うと、つまずきの場所がはっきりします。

声かけでは、答えの数字を聞く前に、式のそれぞれの数が何を表すかを言わせます。10 × 6 が長方形、8 × 6 ÷ 2 が三角形、4 × 3 ÷ 2 が共通部分、と三つを指で示せれば、式の組み立ては理解できています。数字だけを正しく並べられても、共通部分を二回引いていれば、形の理解はまだ届いていません。図に戻って印を付け直すところから始めます。説明を聞いてうなずいても、次の問題で同じ形の式を書けるかどうかを、もう一度見ておくと確かになります。

重なりの数え方を一度決めれば、色の付いた面積は、どの順番で引いても同じ数に戻ります。