中学受験の算数 平行線と角度—補助線を一本加えて折れ線の角の関係を追う｜武蔵野個別指導塾

折れ線の頂点に平行線を引き、足す場合と引く場合を図でたどる平行線と角度。

よくあるのは、平行な線の間にある折れ線を見て、小学生が両端の角を見た目のまま足すという場面です。折れ曲がる向きが変われば、同じ数が書かれていても足し算になるとは限りません。どの角を求めるのかを指で囲み、折れ点を通る平行線を1本引くと、それぞれの角がどこに移るかを追えます。線の向きと角の位置を確かめながら、答えまで進みましょう。

どんな角を求めるのか

平行線と折れ線の問題には、両端の角から折れ点の角を求める型があります。折れ点から見て、2本の辺が補助線の上下に分かれる場合は、移した2つの角を足して、その間の角を求められます。一方、辺が補助線の同じ側にある場合、重なっている部分を除くために差を使います。足すか引くかは、図で求める角の内側を確かめてから決めます。

逆に、折れ点の角と片方の端の角から、もう片方の端の角を求める型もあります。まず折れ点の角を、補助線でどの部分に分けたか見ます。全体からわかっている部分を引けば残りが出て、その角を平行線まで移せます。最後に、求める角が移した角そのものか、一直線の残りかを調べます。

条件の確認も問題の一部です。図が平行に見えても、平行という言葉や印などから根拠が読み取れなければ、同位角や錯角が等しいとは決められません。また、角の数字だけでなく、その角がどの2本の半直線にはさまれているかを確認します。角の外側を指している数字を内側の角として計算すると、途中の計算が正しくても答えはずれます。

角を移す理由と補助線

図1のように、2本の平行な直線を1本の直線が横切るとき、2つの交点で同じ位置にある角を同位角といいます。図の右上にある2つの角がその例です。平行な線は同じ向きなので、横切る線との開きも同じです。上の交点の角を平行線に沿って下の交点へずらすと、辺の向きが重なります。

図1の下の交点では、同位角として移した右上の角と、左下の角が向かい合っています。交わる2本の直線で向かい合う角を対頂角といい、その大きさは等しくなります。どちらも右下の角と合わせると一直線の180°になるためです。したがって、上の交点の右上と下の交点の左下も等しくなります。平行な2本の線の間にあって横切る線の反対側にある角の組を錯角といいます。

図1には、上下の線が平行である印があります。この条件があるため、同位角を等しいと扱えます。対頂角が等しいこと自体には平行の条件は要りませんが、別々の交点の角を移すには平行の確認が必要です。平行の印がない線を、水平に見えるという理由だけで仲間に入れないようにしましょう。

折れ点に補助線を引くときは、そこを通り、もとの平行線と平行になるように引きます。もとの2本に平行な1本を加えると、3本は同じ向きです。折れ線の各辺を必要に応じて延長すると、それぞれが平行線を横切る線になります。等しい角を探すときは、頂点と辺を指してから、同位角か錯角かを言葉にします。

角を合わせるときにも条件があります。共通の辺で分かれた2つの角が重ならずに求める角を埋めていれば、2つを足します。一方、一方の角がもう一方の内側に入っていれば、外側から内側を引きます。一直線の両側に並ぶ角は合わせて180°です。図に弧を描いて範囲を見えるようにすると、これらの操作を区別できます。

基本例題：折れ点の上下に角を移す

【問題】図2のように、直線アと直線イは平行です。上の直線上の点Aと下の直線上の点Bの間に点Pがあり、A、P、Bを順に結びます。PはAより右、Bより右にあります。Aから右向きの直線アとAPのなす角は40°、Bから右向きの直線イとBPのなす角は30°です。角APBを度の整数で求めてください。

図2のように、Pを通ってア、イに平行な直線を引きます。求める角は、PからAへ向かう辺と、PからBへ向かう辺にはさまれた左側の角です。

Pから左向きの補助線とPAのなす角に注目します。

これは、Aの40°と錯角なので40°です。

Pから左向きの補助線とPBのなす角に注目します。

これは、Bの30°と錯角なので30°です。

補助線は角APBの内側を通り、角を重ならない2つに分けます。

40° + 30° = 70°です。

したがって、角APBは70°です。

確かめると、Pで左向きの補助線からPAへ40°、同じ補助線からPBへ反対側に30°開いています。2つを合わせた70°の内側に補助線があり、端の角へ錯角として戻すと40°と30°になります。反対側の大きい角まで含めていないことも確認できます。

ここで、最初から40°と30°を足すだけでは、なぜその和が求める角になるかが残ります。補助線を入れると、2つの角が同じ点Pに集まり、互いに重ならずに求める角を埋めることが見えます。数を移す先を図に書いてから計算することが、配置の違う問題への備えになります。

標準例題：全体から一部分を取り出す

【問題】平行な直線ア、イの間に点Pがあります。ア上の点CはPの左上、イ上の点DはPの左下です。Cから右向きのアとCPのなす角は52°、角CPDは89°です。Dから右向きのイとDPのなす角を、度の整数で求めてください。

Pを通りア、イに平行な直線を引きます。Pから左向きの補助線は角CPDの内側を通ります。Cの52°は、錯角を使ってPの補助線とPCの間に移せます。

角CPDのうち、補助線とPCの間は52°です。

残る補助線とPDの間は、89° − 52° = 37°です。

この37°はDで右向きのイとDPのなす角に、錯角として移せます。

答えは37°です。37°を元の図に戻すと、Pで52°と37°を合わせて89°になります。Cの条件と角CPDの条件の両方に戻るので、引き算の順も確かめられます。

別の見方として、Pの補助線より下の部分を先に空欄で囲み、その空欄と52°の和が89°になると考えられます。空欄を求めてからDへ移す順序です。どちらの見方でも、89°が2つの小さい角の全体であることを図で示す必要があります。

発展例題：同じ側にある2本の辺

【問題】平行な直線ア、イの間に点Pがあります。ア上にPより左の点EとFがあり、EからFへの向きは右向きです。E、FをそれぞれPと結びます。Eから右向きのアとEPのなす角は25°、Fから右向きのアとFPのなす角は65°です。Pから左向きの直線イに平行な補助線を引くと、PEとPFはいずれもその上側にあります。角EPFを度の整数で求めてください。

Pを通る補助線はアと平行です。EPを横切る線として見ると、Pの左向きの補助線とPEの角は錯角で25°です。同じようにFPについて見ると、Pの左向きの補助線とPFの角は錯角で65°です。

2本の辺は補助線の同じ側にあります。25°の角は65°の角の内側に入り、求める角EPFはその残りです。

65° − 25° = 40°です。

答えは40°です。25°に40°を戻すと65°になり、両端の角の条件に合います。25° + 65°としない理由は、2つの角が重なっているからです。

別の確かめ方は、Pの左向きの補助線からPE、PFまでを順になぞることです。先に25°開いてPEに達し、さらに40°開くとPFに達します。線の長さや図の傾きではなく、同じ始まりからどちらの辺まで回るかが、差を取る理由になります。

誤答を直す：見た目だけで足さない

図3のように、平行な直線ア上に2点E、Fがあり、その下のPと結ばれているとします。左向きの補助線からPEまでが25°、PFまでが65°です。両方とも補助線の上側にあります。

誤答として「25° + 65° = 90°」があります。2つの角が同じ頂点に集まっていても、その内側が重なるなら和は求める角になりません。図3のように、25°を塗ってたどると、65°の角の一部をもう一度数えているとわかります。

修正するには、65°の範囲から25°の範囲を除きます。残る部分が2本の辺の間なので、65° − 25° = 40°です。答えの40°に25°を足して65°へ戻れば、範囲の取り違えを点検できます。

別の誤りは、平行の印のない図で「線が同じ向きに見えるから錯角が等しい」と決めることです。その場合、線の傾きを少し変えると交点の角も変わるため、見た目だけでは角を移せません。問題文の平行条件を探し、なければ与えられた情報だけでその角を確定できるかを調べます。定規で引いた線でも、正確に平行かどうかは図の印や文章で確認します。

さらに、180°から引く場所を間違えることもあります。一直線になる2つの角は、頂点と片方の辺を共有し、残る2辺が反対向きです。離れた2つの角が図の上で並んで見えるだけでは、その和を180°とはできません。角の両辺をなぞり、一直線になる組を確かめてから引きます。

練習問題

次の問題では、平行な直線は左右に延びています。角度はすべて度の整数で答えてください。折れ点を通る平行線を引き、移した角に印を付けましょう。

1. 平行な上下の直線の間にPがあります。上のAと下のBはいずれもPの左にあり、Aから右向きの上の直線とAPの角は35°、Bから右向きの下の直線とBPの角は47°です。角APBを求めてください。
2. 1と同じ位置関係で、Aの角が28°、角APBが74°です。Bから右向きの下の直線とBPの角を求めてください。
3. 平行な上下の直線の間にPがあります。上の直線にあるC、DはいずれもPより左で、CはDより左です。Cから右向きの直線とCPの角は18°、Dから右向きの直線とDPの角は61°です。角CPDを求めてください。
4. 1と同じ位置関係で、Aの角が63°、Bの角が26°です。PでPAをPの反対側へ延長した半直線とPBのなす、角APBに隣り合う角を求めてください。
5. 平行な上下の直線の間にPがあります。上の直線にあるE、FはいずれもPより左で、EはFより左です。Eから右向きの直線とEPの角は34°、角EPFは27°です。Fから右向きの直線とFPの角を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. Pを通る平行線の左向きの部分で角APBを分けます。錯角により、上側は35°、下側は47°です。35° + 47° = 82°なので、答えは82°です。82°を35°と47°に分けて端へ戻すと、与えられた2つの角に一致します。

2. Pの補助線より上の角は、錯角により28°です。下の角は74° − 28° = 46°です。これを錯角でBへ移し、答えは46°です。28° + 46° = 74°なので折れ点の条件に戻ります。

3. Pの左向きの補助線からPC、PDまでの角は、それぞれ錯角により18°、61°です。2つは同じ側で重なり、間の角は61° − 18° = 43°です。答えは43°です。18° + 43° = 61°と戻して、外側の角を再現できます。

4. Pの左向きの補助線で分けると、角APBは63° + 26° = 89°です。延長したPAと元のPAは一直線なので、求める隣の角は180° − 89° = 91°です。答えは91°です。89° + 91° = 180°で、一直線の条件に戻ります。

5. Pの左向きの補助線からPEまでの角は、錯角により34°です。EがFより左にある配置では、PFはPEより補助線から上にあります。したがって補助線からPFまでは34° + 27° = 61°です。これを錯角でFへ移し、答えは61°です。61° − 34° = 27°で、辺の間の角を元に戻せます。

覚えておくこと

平行の条件を確かめてから、同位角や錯角を使います。 折れ点を通る平行線で、離れた角を同じ頂点に集めます。 重ならずに角を埋める部分は足し、重なる部分を除くときは引きます。 一直線になる角の和は180°です。 答えを元の図に戻し、与えられた角を再現します。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えを出したら、まず「求めた角の内側はどこですか」と尋ね、図の弧を指してもらいます。式だけが合っていても、求める側と反対側を見ていれば、配置が変わると修正できません。次に、補助線へ移した角を指し、もとの角と等しい理由を同位角、錯角、対頂角のどれで説明するかを確かめます。

個別指導では、足した2つの角を色分けし、重なりやすき間がないかを図で確かめられます。平行の印を隠した図を示し、どの条件が足りないかを尋ねる方法もあります。数字を変える前に辺の向きを変えてみると、足し算を覚えているのか、角の範囲を読んでいるのかが見えてきます。補助線は、角の根拠を同じ場所に集めるための線です。