高校情報I 2進数の位取り—整数の値と桁の重みを対応させて変換を説明する｜武蔵野個別指導塾

展示物番号を2で割った余りから符号を作り、位の重みで元の番号に戻して変換の向きを点検します。

よくあるのは、高校生が展示物番号を2進数に直す際、2で割った余りを出た順にそのまま左から並べる場面です。割り算の計算が合っていても、並べる向きが逆なら別の番号になります。番号の札を作る前に、各桁がどの量を表すかを確認し、変換後の札から元の番号へ戻せるかを調べましょう。

問われ方と着地点

一つ目は、2進数の各桁に対応する重みを使って10進数の値を求める問題です。右端から重みを置き、1の桁の重みを足します。0の位置も飛ばさずに重みを対応させることが、桁ずれを防ぎます。

二つ目は、10進数の非負整数から2進数を作る問題です。2で繰り返し割り、余りを下から読みます。余りの順序を覚えるだけでなく、最初の余りがなぜ右端になるかを説明できると、途中で迷っても立て直せます。

三つ目は、固定された桁数の符号表を作り、表にない番号や読み違えを検討する問題です。先頭の0を含めて書く条件と、数の値そのものを区別します。ここでは負の数や小数、演算回路は扱わず、非負整数の表現を往復させます。

右端から重みを置く

普段使う10進数では、右から1の位、10の位、100の位と重みが10倍ずつ増えます。たとえば10進数の203は、100が2個、10が0個、1が3個です。0はその位を飛ばしてよいという印ではなく、10の位に重みを置いたうえで個数が0であることを示します。

2進数では使う数字が0と1で、右からの重みは1、2、4、8、16と2倍ずつ増えます。各位の数字は、その重みを0個使うか1個使うかを示します。図1のように、まず桁と重みを縦に対応させ、それから1の位置の重みを集めます。

図1の10110は、16、4、2の重みを使うため10進数で22です。左端から数えるのではなく右端を1の位として固定することが重要です。桁数が増えても右端の意味は変わらず、左側に次の重みが増えます。2進数と10進数で同じ「10」という文字列を使っても値は異なるため、答えには進法を添えます。

逆に10進数を2で割ると、余りは0か1です。元の数は商を2倍したものに余りを加えた値なので、最初の余りが1の位を決めます。商には、2以上の重みをすべて2で割った残りが入っています。商をまた2で割れば、次の余りが元の数の2の位です。繰り返すほど高い位に進むため、余りを出た順に右から左へ置きます。

0そのものは2進数で0です。最初から商が0になるまで割る手順を形式的に省く場合でも、空欄ではなく0を書きます。固定桁数を求められたとき、左に0を補っても新たな重みを使わないので値は変わりません。一方、右に0を足すと各桁が左へ移り、値は2倍になります。0をどこに置くかを区別してください。

基本例題：展示物の番号を札にする

展示物の番号13を、4桁の2進数の札にします。左端の0も省かない形で書き、札から10進数に戻して番号が一致することを示してください。番号と桁数はこの問題のために決めた条件です。

図2のように13を2で割り、商を次の割り算に使います。13を2で割ると商6、余り1です。6では商3、余り0、3では商1、余り1、1では商0、余り1です。商が0になったので止め、最後の余りから最初の余りへ読みます。答えは2進数の1101です。

図2では最初の余り1が札の右端にあります。戻すと、右から重みは1、2、4、8です。1のある位は8、4、1なので、8と4と1を足して13になります。札から元の展示物番号を再現できました。もし余りを出た順に左から書いて1011とすると、8と2と1で11になり、元の13と一致しません。

この例では最上位の余りが1なので、4桁への補充は不要です。別の小さい番号では左に0が必要になる場合があります。札が4桁という条件は表示形式の指定であり、余りを読む向きを変える指定ではありません。

標準例題：小さな符号表を作る

展示棚の番号0から5までを、それぞれ3桁の2進数で表す自作の符号表を作ります。各番号に異なる札を対応させ、先頭0も表示してください。さらに札100を10進数に戻し、表の番号と照合します。

たとえば5は、2で割ると商2、余り1、さらに商1、余り0、最後に商0、余り1です。逆順に読むと101です。2は通常10と書けますが、3桁の札では010とします。0は000です。表の各行を重み4、2、1に戻せば、左の番号と一致します。札100は4を使い、2と1を使わないため番号4です。

表を使うときは、先頭0を含む文字列が札の表示条件である一方、値は0を足しても変わらないと説明できます。札を数として比べる場面と、桁数が合うかを点検する場面では、確認する条件が異なります。3桁で書ける最大の値は4、2、1を使う7です。この表では6と7の札は番号0から5の割当てに使っていません。未使用の札を表の中の番号に勝手に読み替えないことも、表の運用では必要です。

発展例題：札の訂正を逆算する

ある札は5桁の2進数で、右から3番目の桁だけを0から1へ直したところ、10進数の値が19になりました。訂正前の札を5桁の2進数で求め、訂正後の札と両方の値を示してください。他の桁は変わらないものとします。

右から3番目の重みは4です。0から1への訂正は、他の位を変えずに4を加えることを意味します。したがって訂正前の値は19から4を引いた15です。15を2進数にすると1111なので、5桁では01111です。19は16と2と1の和なので、5桁では10011です。しかし、この2つを比べると右から3番目以外も変わっています。つまり最初の逆算だけでは条件を満たしません。

訂正後の19を5桁に直した10011では、右から3番目は0です。訂正した後にはその桁が1のはずなので、そもそも条件を同時に満たす札は存在しません。差が4であることは必要ですが、それだけでは指定された1桁の変更を保証しません。得られた候補を桁ごとに比較し、変更箇所と訂正後の数字を元の条件に戻して確かめると矛盾を見つけられます。

たとえば訂正後が23なら10111で、右から3番目が1です。その桁を0に戻すと10011、値は19です。この比較では変更前後の差と桁の位置の両方が合います。求めた値をただ再計算するだけでなく、操作そのものを再現することが逆算の検証になります。

誤答をほどく

13の変換で余りを上から読んだ1011は、割り算の各行が正しくても答えが違います。原因は、余りの出る順番と左から書く順番を同じだと考えたことです。図3のように、最初の余りを1の位に置き、以後は左へ進めば1101に直せます。

図3の誤った札を重みで戻すと11、直した札は13です。回文のように逆に読んでも同じになる列では、誤った手順が偶然正しい答えを出すこともあります。1問の一致だけで読み順を正当化せず、最初の余りが右端である理由まで確かめます。

別の誤りは、10110の0を消して111とすることです。空いた位を詰めると残る数字の重みも変わり、22ではなく7になります。0は重みを使わない位を保持しています。また、固定桁を超える結果を左端から切り落とすと値が変わります。指定桁で表せないときは、そのことを答え、勝手に別の番号を割り当てないようにします。

入力が0なら余りの表が空になりやすく、負数や2以外の数字を含む札は今回の条件から外れます。表にない札や判読できない札も、推測して番号を決めず、桁数と各文字を確認して作り直します。計算道具が使えないときは重みを手で並べて戻し、途中結果が途切れたときは最後に確定した商から再開します。結果を検算できないまま正解として扱わないことが、番号の取り違えを防ぎます。

練習：まず5問を解く

次の問題は互いに独立しています。2進数の答えには進法と指定桁数を、10進数の答えには進法を添えてください。

1. 案内板の記号を2進数10101で表します。10進数の値を整数で求め、使った重みを示してください。
2. 整理番号18を5桁の2進数に直してください。余りの順と、答えを10進数へ戻した結果も示してください。
3. 棚の区画番号0、1、2、3を2桁の2進数でそれぞれ表にしてください。2進数10を表で照合し、10進数の番号を答えてください。
4. 4桁の札に10進数の16を入れようとしています。表せるかを答え、理由と必要な最小桁数を示してください。
5. ある5桁の札の右から2番目だけを0から1に直すと、10進数で26になりました。訂正前と訂正後の札を5桁の2進数で答え、他の桁が変わらないことを確かめてください。

答えと戻し方

1. 重みは左から16、8、4、2、1です。1の位置の16、4、1を足し、10進数の21です。21から16、4、1を選び直すと10101となり、元の記号に戻ります。左端から1、2と重みを置くと、桁数によって右端の意味が変わってしまいます。

2. 18を順に2で割ると、商と余りは9と0、4と1、2と0、1と0、0と1です。余りを下から読んで2進数10010です。重み16と2を足すと10進数18となり、整理番号に戻ります。余りを上から読んだ01001は9なので一致しません。

3. 対応は0が00、1が01、2が10、3が11です。札10は重み2を使い、1を使わないので10進数の2です。2を2桁に直すと10に戻ります。00も空欄にせず、2桁の表示条件を満たします。

4. 4桁の最大は重み8、4、2、1をすべて使った10進数15です。16はそれを超えるため4桁では表せません。5桁なら2進数10000で、重み16に戻るので最小桁数は5です。下の4桁だけを取ると0000となり、元の値には戻りません。

5. 26は16、8、2の和なので訂正後は2進数11010です。右から2番目の1を0に戻すと11000で、訂正前は10進数24です。11000から指定の位だけを1にすると11010になり、重みの和も26になります。値の差2と変更位置の両方が条件に合います。

変換の途中で確かめる視点

割り算の途中では、各行を独立して検査できます。たとえば商と余りから割る前の数に戻れなければ、その行で計算を間違えています。行が正しくつながっていても、最後に並べる方向が違えば別の値になるため、行ごとの確認と完成した札の確認は両方必要です。商が0になる前に止めると高い位が欠けるので、最後の商も見落とさないようにします。

一方、位の重みから変換するときは、左端から大きな重みを選ぶ方法もあります。残りの値を超えない最大の重みを選び、その分を引き、次の重みへ進みます。選べば1、選ばなければ0です。割り算と異なる道筋で同じ札になれば有力な確認になりますが、どちらも同じ桁を読み違えた可能性はあります。最後は札の各桁の重みを足し、元の番号に一致するかを調べます。

札を渡す相手が数字の並びだけを見る場合、進法や桁数の約束がなければ解釈が分かれます。例えば10という表示は、10進数なら十、2進数なら二です。表の見出しに進法を記し、固定桁の0も残すと、番号と表示の対応を点検しやすくなります。

覚えておくこと

• 2進数の重みは右から1、2、4、8と倍になります。
• 2で割った余りは、出た順に右から置きます。
• 先頭0は値を変えませんが、固定桁の表示には必要です。
• 答えを元の進法や操作に戻し、条件と照合します。

つまずきを見つけるには

答えが合わないときは、まず右端に重み1を置けたか、次に各商と余りが元の数を再現するかを見ます。個別指導では、本人の表の各行で「商を2倍して余りを加えると割る前の数になるか」を確かめ、余りと札の各位を線で結んでもらいます。固定桁の問題では、先頭0を落としたのか、そもそも桁が足りないのかを区別します。札から番号に戻せることが、位取りの説明を支えます。