中学受験の算数 濃度の入れ替え—取り出した食塩を引いてから加える量を表に戻す｜武蔵野個別指導塾

水を補う前に外へ出た食塩を数え、2回目には変化後の濃度を使って、容器内外の重さが合うか調べます。

よくあるのは、食塩水を取り出した後も、容器の中の食塩はそのまま残ると考えてしまう場面です。取り出した液体にも食塩が含まれるので、容器に残る食塩は減ります。水を補うと全体の重さは戻りますが、食塩の重さは戻りません。容器の中身をよく混ぜてから取り出すという条件に注目し、操作ごとに食塩と全体の重さを追いましょう。

何をたずねられているか

この題材では、初めの食塩水の重さと濃度、取り出す重さが示され、2回の操作を終えた後の食塩の重さや濃度を求めます。水を補って全体を元の重さに戻す操作を1回と数え、同じ手順をもう1回行います。取り出す量が2回とも同じとは限りません。各回の数値を問題文で確かめてから表に入れます。

別の聞かれ方として、2回目に取り出した食塩の重さを求める問題があります。この場合は最後に容器に残る食塩ではなく、2回目の取り出し分が答えです。残る量を先に求める方法でも解けますが、何を答えるかを見失わないよう、表の該当する欄に印をつけます。

また、最後の食塩の重さが与えられ、初めの食塩の重さをたどる問いも考えられます。残った割合を後ろから順に使えば戻せます。ここでは、混ぜた液を取り出して水を補う場面に限り、重さをgでそろえます。食塩水が均一であることと、補うものが食塩を含まない水であることが計算の土台です。

容器の中と外を分けて見る

取り出す液に含まれる食塩の重さを考えるには、食塩の重さを食塩水全体の重さで割った割合である濃度を使います。たとえば10%の食塩水200gには、食塩が200 × 0.1 = 20g入っています。残りの180gは水です。10%は100gの液のうち食塩が10gという意味なので、200gのうちの10%を掛け算で求められます。

よく混ぜた食塩水は、どの部分を取り出しても同じ濃度です。図1のように全体を同じ大きさの4つの部分として考え、うち1つを取り出すなら、全体の食塩の4分の1も容器の外へ出ます。残るのは全体の4分の3と食塩の4分の3です。図は部分の割合を表し、食塩と水を別々の層に分けた絵ではありません。

図1の残り3つ分に水を補うと、全体は元の4つ分の重さに戻ります。加えた水には食塩がないので、食塩は残り3つ分のままです。したがって濃度は初めの4分の3になります。この見方は、取り出す割合と戻す全体の重さがわかっているときに便利です。

ただし、残った液がいつも4分の3になるわけではありません。取り出し量が全体の5分の1なら、食塩は5分の4残ります。分母には取り出す直前の全体の重さを使います。取り出した直後と水を補った後は全体の重さが違うため、どの時点を表す割合かを欄の名前で示しましょう。

表に並べる量は、操作前の全体、操作前の食塩、取り出した食塩、残った食塩、水を補った後の全体です。食塩水を取り出すと全体も食塩も減り、水を補うと全体だけが増えます。濃度だけを書いて進むより、この2種類の重さを分けると、どこで食塩が移動したかを確認できます。

基本例題：同じ量を2回取り出す

10%の食塩水200gをよく混ぜ、50g取り出してから、水50gを加えてよく混ぜます。さらに50g取り出し、水50gを加えます。最後に容器に残る食塩は何gですか。小数で答えましょう。

最初の食塩は、全体の10%です。

200 × 0.1 = 20g

最初に取り出す50gは、200gの4分の1です。均一なので、取り出す食塩も20gの4分の1になります。

50 ÷ 200 = 1/4

20 × 1/4 = 5g

20 − 5 = 15g

水50gを加えると、全体は150 + 50 = 200gです。食塩は15gのままなので、1回目の後の濃度は15 ÷ 200 × 100 = 7.5%です。水を加える前の150gにも食塩は15gありますが、その時点の濃度は10%です。水を加えた後には濃度が変わります。

図2のように、2回目の取り出しは、食塩15gが200gの中に均一にある状態から始まります。ここで最初の10%を使い直さないことが分かれ目です。

2回目も全体の4分の1を取り出すので、取り出す食塩は次の量です。

15 × 1/4 = 3.75g

15 − 3.75 = 11.25g

最後に水50gを加えても食塩は増えません。答えは11.25gです。全体は200gに戻り、濃度は11.25 ÷ 200 × 100 = 5.625%です。求められたのは食塩の重さなので、濃度と単位を混同しないようにします。

場面に戻して確かめると、最初の20gは容器に残る11.25gと、2回に取り出した5g、3.75gに分かれます。11.25 + 5 + 3.75 = 20gです。全体についても各回で200 − 50 + 50 = 200gとなります。食塩と全体の両方が合うことを確かめると、計算の途中だけでなく操作の読み違いも見つけやすくなります。

標準例題：取り出す量が変わるとき

12%の食塩水300gをよく混ぜ、100g取り出して水100gを加えます。よく混ぜた後、150g取り出して水150gを加えます。最後の食塩の重さをgで、濃度を%で答えましょう。どちらも整数で表せます。

初めの食塩は300 × 0.12 = 36gです。1回目は300gのうち100g、つまり3分の1を取り出します。食塩は36 × 1/3 = 12g出て、36 − 12 = 24g残ります。水を加えると全体は300g、食塩は24gです。

2回目は150 ÷ 300 = 1/2で、初めと違う割合を取り出します。取り出す食塩は24 × 1/2 = 12g、残る食塩は24 − 12 = 12gです。最後に水を加えて300gに戻すので、濃度は12 ÷ 300 × 100 = 4%です。答えは食塩12g、濃度4%です。

確かめると、1回目には36gの3分の1である12gが出て24gが残り、2回目には24gの半分の12gが出て12gが残ります。12 + 12 + 12 = 36gで、初めの食塩を再現します。各回に取り出した重さと同じ重さの水を補うため、全体も300gに戻ります。2回目に最初の3分の1を使うと、150gという条件が反映されません。

発展例題：最後から初めに戻る

ある濃度の食塩水240gをよく混ぜ、60g取り出して水60gを加えます。次によく混ぜて80g取り出し、水80gを加えると、食塩が18g残りました。初めの食塩は何gですか。整数で答えましょう。

最後の18gは、水を加える直前から変わりません。2回目に残った割合は、240gのうち160gなので、160 ÷ 240 = 2/3です。つまり18gは2回目の操作前の食塩の3分の2にあたります。3分の1は18 ÷ 2 = 9g、操作前は9 × 3 = 27gです。

同じように1回目は60 ÷ 240 = 1/4を取り出すので、食塩の3/4が残ります。水を補った後の27gが初めの3/4ですから、初めの4分の1は27 ÷ 3 = 9g、初めの食塩は9 × 4 = 36gです。答えは36gです。

前から表を作って戻した答えを試します。初めは36 ÷ 240 × 100 = 15%です。1回目に36 × 1/4 = 9g出て27g残り、水を補えます。2回目に27 × 1/3 = 9g出て18g残り、もう一度水を補うと240gに戻ります。最後の18gと問題の条件が合います。

この逆向きの手順では、18gを取り出した量と取り違えないことが大切です。18gは取り出し後の残りなので、残った割合の2/3に対応させます。また、後からたどるときは2回目の割合から先に戻します。各回の割合が違うとき、どの操作の前後をつなぐ線かを書き添えると迷いません。

間違えた式から操作を点検する

基本例題で「20 − 5 − 5 = 10g」とする誤答を考えます。最初の50gに含まれる食塩は5gですが、1回目に水を補った後は濃度が下がっています。2回目の50gに同じ5gが含まれるとはいえません。図3のように、同じ50gでも、取り出す直前の容器にある食塩の量を見直します。

図3の左は初めの200gに食塩20g、右は水を補った後の200gに食塩15gがある状態です。どちらも4分の1を取り出しますが、20gの4分の1と15gの4分の1は異なります。2回目を3.75gと直せば、20 − 5 − 3.75 = 11.25gになります。

別の誤りは、水を補う操作と食塩水を取り出す操作を合わせて「全体が200gなので食塩も20gのまま」とすることです。全体の重さが同じでも、その内訳は同じではありません。外へ出た液の中の食塩を引き、水を加える欄では食塩を増やさない、と2段階に分けて直します。

もし混ぜる前に取り出すと書かれていて、取り出す部分の濃度が与えられていなければ、全体と同じ濃度と決められません。また、容器にある量より多く取り出す条件は実行できません。0gを取り出す場合は食塩が減らず、全量を取り出す場合は食塩が0g残ります。割合を使う前に操作が成立するか、境目も含めて読むことが必要です。

練習問題

どの問題も、取り出す直前によく混ぜ、取り出した重さと同じ重さの水をその都度加えます。食塩水は均一で、水には食塩が含まれません。各答えは指定の単位で小数または整数で表しましょう。

1. 20%の食塩水160gから40gを取り出し、水40gを補う操作を2回行います。最後の食塩は何gですか。
2. 8%の食塩水250gから50gを取り出し、水50gを補う操作を2回行います。最後の食塩は何gですか。
3. 10%の食塩水180gから60gを取り出し、水60gを補う操作を2回行います。2回目に取り出した食塩は何gですか。
4. 15%の食塩水400gから100gを取り出し、水100gを補えます。次に200gを取り出し、水200gを補えます。最後の食塩は何gですか。
5. 25%の食塩水120gから30gを取り出し、水30gを補う操作を2回行います。最後の食塩は何gですか。

練習の答えとたどり方

1. 答えは18gです。初めの食塩は160 × 0.2 = 32g、残る割合は3/4です。1回目は8g取り出して24g残り、2回目は6g取り出して18g残ります。18 + 8 + 6 = 32gで初めの食塩に戻り、各回の全体も160 − 40 + 40 = 160gです。

2. 答えは12.8gです。初めの食塩は250 × 0.08 = 20gです。50gは全体の1/5なので、1回目は4gが出て16g残ります。2回目は16 × 1/5 = 3.2gが出て12.8g残ります。12.8 + 4 + 3.2 = 20g、全体は各回250gに戻ります。

3. 答えは4gです。初めの食塩は180 × 0.1 = 18gです。60gは全体の1/3なので、1回目に6gが出て12g残ります。2回目に出るのは12 × 1/3 = 4gです。容器には8g残り、6 + 4 + 8 = 18gです。水を補うたび全体は180gになり、問われたのは残りの8gではなく、2回目に出た4gです。

4. 答えは22.5gです。初めの食塩は400 × 0.15 = 60gです。1回目には1/4にあたる15gを取り出し、45gが残ります。2回目には半分の22.5gを取り出し、22.5gが残ります。15 + 22.5 + 22.5 = 60gです。100gと200gをそれぞれ同じ重さの水で補うと、全体は各回400gです。

5. 答えは16.875gです。初めの食塩は120 × 0.25 = 30gです。1回目は1/4の7.5gが出て22.5g残ります。2回目には22.5 × 1/4 = 5.625gが出て、16.875g残ります。7.5 + 5.625 + 16.875 = 30gで、各回120 − 30 + 30 = 120gです。小数が長くなっても途中で丸めずに計算します。

覚えておくこと

• 均一な食塩水からは、取り出す全体と同じ割合の食塩が出ます。
• 水を補うと全体は戻りますが、食塩の重さは増えません。
• 2回目は1回目の後の食塩量を使い、取り出す割合も確かめます。
• 答えを操作の前後に戻し、食塩と全体の重さをそれぞれ確かめます。

つまずいた場所を見つけるには

お子さまが「食塩は変わらない」と答えたら、取り出した液を別の容器に受け、その中にも食塩があるかを言葉で尋ねます。食塩が出ることは理解していても、2回目に元の濃度を使ってしまう場合は、水を補った後の全体と食塩を表に書き直すと原因が見えます。

個別に確かめる際は、式の答えだけでなく、分母の200gがどの時点の全体なのか、5gと3.75gがどちらの容器にあるのかを説明してもらいます。逆向きの問題では、残った18gを2/3に対応させられるかも確認できます。容器の内と外を分けて追えば、2回の入れ替えの道筋が見えてきます。