中学受験の算数 売買損益の利益率—原価を基準に一本の線分図で売価と利益を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

原価800円へ加える2割の利益を線分で表し、原価と売価のどちらを基準にするかで割合が変わることを説明します。

よくあるのは、品物の原価と利益率から売価を求めるとき、売価に利益率をかけてしまう場面です。まだ知らない売価を基準にするのか、それとも問題文に書かれた原価を基準にするのかで、同じ2割でも表す金額は変わります。品物1個の取引を線分に表し、どの長さをもとにしているかを確かめましょう。

何をもとにした割合か

売買の問題では、原価と利益率から売価を求める形がまず考えられます。原価は品物を仕入れるためにかかった金額、売価は売った金額です。売価が原価より高いとき、その差が利益です。原価に対する利益率が2割なら、原価を10等分したうちの2つ分が利益になります。売価は原価と利益を合わせた長さです。

次に、売価と原価に対する利益率から、原価を逆に求める形があります。このとき売価は原価そのものではありません。原価を1としたとき、利益率が2割なら、売価は原価の1.2倍に当たります。売価から原価へ戻るには、2割を売価にかけて引くのではなく、売価を1.2で割ります。かけ算の出発点と到着点を入れ替えるためです。

もう一つ、利益が売価の何割かを尋ねる形があります。利益の金額は同じでも、原価をもとにする割合と売価をもとにする割合は違います。問題の「何に対して」という言葉に印をつけ、求めるものが金額か割合かを先に決めておくと、式の割る数を選びやすくなります。

線分の端に原価と売価を置く

図1のように、左端から原価の終わりまでを1とし、その右に利益をつなげます。線分の右端までが売価です。原価と利益は足して売価になるので、同じ単位の金額として並べられます。利益率が原価の2割なら、原価の長さを5等分した1つ分を利益として描きます。

図1では原価を5つ分、利益を1つ分として、売価を6つ分にしています。原価に対する利益の割合は1 ÷ 5で0.2、つまり2割です。一方、売価に対する利益の割合は1 ÷ 6です。同じ利益でも、割る対象が5つ分か6つ分かで答えが異なります。金額が決まっていなくても、線分の区切りからこの違いを読み取れます。

割合は「比べる量 ÷ もとにする量」です。原価に対する利益率なら、比べる量が利益、もとにする量が原価です。利益率がわかっているときは、原価にその割合をかければ利益が出ます。割合を百分率で表すとき、20%は20 ÷ 100で0.2です。2割も0.2です。百分率と歩合は書き方が違っても、かけ算に使う数をそろえられます。

売価を求めるには利益を出してから原価に足す方法と、原価の何倍かを先に決める方法があります。2割の利益なら、原価の1倍と利益の0.2倍を合わせて1.2倍です。この1には元の原価が含まれています。0.2倍だけでは利益しか表せないので、売価を求める式にはなりません。

反対に、売価がわかって原価がわからないときは、売価に含まれる原価のまとまりを数えます。原価に対する利益率が2割なら、売価は原価の1.2倍です。売価を1.2等分した1つ分が原価です。売価の2割を引くと、売価をもとにした利益を勝手に作ってしまうので、元の条件に合うとは限りません。

基本例題：原価から売価へ

ある品物の原価は800円です。原価の2割に当たる利益を加えて売りました。利益と売価を、それぞれ円単位の整数で求めましょう。

図2のように、800円を原価の全体として、その右に利益を足します。原価800円を5等分した1つ分が利益です。利益率の2割は売価ではなく原価をもとにしています。

2割を小数にすると、2 ÷ 10 = 0.2です。利益は次のように求められます。

800 × 0.2 = 160円

売価は原価に利益を足して、800 + 160 = 960円です。まとめて計算する場合は、800 × 1.2 = 960円としても同じです。答えは利益160円、売価960円です。

条件に戻して確かめます。960 − 800 = 160円が利益で、160 ÷ 800 = 0.2です。原価に対して2割という条件を再現できました。160 ÷ 960は1/6で、売価に対する割合です。こちらは2割ではありませんが、問題の条件と食い違うわけではありません。もとにする金額が違うためです。

図では800円に当たる幅を600、160円に当たる幅を120として、5対1にしています。売価の幅は720で、原価と利益の幅をつなげたものです。幅の比と金額の比が同じなので、どこからどこまでが売価かを目で追えます。

標準例題：売価から原価に戻る

ある手作りのしおりを1枚売ったところ、原価に対して25%の利益があり、売価は1500円でした。原価と利益を、それぞれ円単位の整数で求めましょう。

原価を1とすると、利益はその0.25倍です。売価は1 + 0.25 = 1.25倍です。1500円が原価の1.25倍に当たるので、原価は次の式で求めます。

1500 ÷ 1.25 = 1200円

利益は1500 − 1200 = 300円です。答えは原価1200円、利益300円です。利益を原価から計算し直すと、1200 × 0.25 = 300円です。原価と合わせると1200 + 300 = 1500円になり、売価も問題の値に戻ります。

25%は1/4なので、別の見方もできます。原価を4つ分とすると利益は1つ分、売価は5つ分です。1500 ÷ 5 = 300円が1つ分で、原価は300 × 4 = 1200円です。こちらでも原価と売価を別々のまとまりとして数えています。

もし1500 × 0.25 = 375円を利益として引くと、原価は1125円になります。しかし375 ÷ 1125 = 1/3で、原価の25%ではありません。375円は1500円をもとにした25%なので、条件の原価に対する25%とは異なります。逆算で迷ったら、出した原価に本来の利益率をかけて、売価まで戻れるかを確かめます。

発展例題：二つの割合を行き来する

ある飾りを1個売ると、原価に対する利益率は40%で、利益は560円でした。原価と売価を円単位の整数で、利益が売価の何%かを既約分数を使って求めましょう。

まず利益560円は原価の0.4倍です。したがって原価は560 ÷ 0.4 = 1400円です。売価は1400 + 560 = 1960円となります。ここまでは原価を基準にした割合を使いました。

次は売価を基準に変えます。利益が売価に占める割合は560 ÷ 1960 = 2/7です。百分率では2/7 × 100 = 200/7%です。答えは原価1400円、売価1960円、売価に対する利益の割合は200/7%です。割り切れない割合を、途中で小数に丸める必要はありません。

別の図として、原価を5等分した線分を考えると、40%の利益はその2つ分です。売価は合わせて7つ分なので、利益の売価に対する割合は2/7です。これは金額で割った結果と一致します。さらに、1400 × 0.4 = 560円、1400 + 560 = 1960円です。売価の2/7も1960 × 2/7 = 560円で、両方の基準から同じ利益に戻ります。

分かれ目は「利益率が何に対する割合か」です。売価に対する割合が最初から与えられる場合は、売価を1とした図を使います。たとえば売価のうち利益が3割なら、原価は売価の7割です。原価の3割を利益とする図とは区切り方が違います。言葉を確かめずに1.3倍を使うと、別の条件に変わってしまいます。

間違いを図でほどく

基本例題で「800 × 0.2 = 160だから、売価は160円」と答える間違いがあります。かけ算自体は利益を正しく表していますが、原価を足す操作が抜けています。図3のように160円は右側の短い部分で、売価は左端から右端までの全体です。

図3の原価と利益を合わせると、800 + 160 = 960円です。答えが原価より小さいのに利益が出ていると判断していないか、金額の大小でも確かめられます。利益が正のとき売価は原価より大きくなります。計算をもう一度する前に、答えがどの線分に当たるかを指で示すと、抜けた部分が見つかります。

別の誤りは、利益率を出す際に利益を売価で割ることです。基本例題なら160 ÷ 960 = 1/6で、これは売価に対する利益の割合としては正しい値です。しかし原価に対する利益率を尋ねられた答えにはなりません。間違いの原因は割り算ではなく、分母に置く基準の取り違えです。160 ÷ 800 = 0.2と直し、原価の2割であることを確かめます。

また、売価から原価を出す際に売価の2割を引く誤りもあります。基本例題の960円にこの操作をすると768円になります。768円の2割は153.6円で、足しても960円には戻りません。正しくは960 ÷ 1.2 = 800円です。どの数を1としたかを線分の下に書くことで、この違いを見分けられます。

練習：基準を言葉で確かめる

次の5問は品物1個について考えます。割合の基準と、答えに求められた単位を先に確認しましょう。

1. 原価600円の鉛筆入れを、原価の3割の利益を加えて売りました。利益と売価を円単位の整数で求めましょう。
2. 原価に対する利益率が20%のカードを、売価1080円で売りました。原価と利益を円単位の整数で求めましょう。
3. 原価1400円の小物を1750円で売りました。利益と原価に対する利益率を、それぞれ円単位の整数と百分率で求めましょう。
4. 原価に対する利益率が50%の飾りひもを売ったところ、利益が450円でした。原価と売価を円単位の整数で求め、利益が売価の何分のいくつかを既約分数で求めましょう。
5. ある箱を売価1600円で売り、売価のうち利益が15%でした。原価を円単位の整数で求め、原価に対する利益率を既約分数による百分率で求めましょう。

練習の答えと道筋

1. 3割は0.3です。利益は600 × 0.3 = 180円、売価は600 + 180 = 780円です。780 − 600 = 180円、180 ÷ 600 = 0.3で、原価の3割に戻ります。答えは利益180円、売価780円です。

2. 売価は原価の1 + 0.2 = 1.2倍です。原価は1080 ÷ 1.2 = 900円、利益は1080 − 900 = 180円です。900 × 0.2 = 180円、900 + 180 = 1080円なので、利益率と売価の両方を満たします。答えは原価900円、利益180円です。

3. 利益は1750 − 1400 = 350円です。原価に対する利益率は350 ÷ 1400 = 1/4 = 0.25で、25%です。1400 × 0.25 = 350円、1400 + 350 = 1750円と戻して確かめます。答えは利益350円、利益率25%です。

4. 利益は原価の0.5倍なので、原価は450 ÷ 0.5 = 900円です。売価は900 + 450 = 1350円です。売価に対する利益の割合は450 ÷ 1350 = 1/3です。900 × 0.5 = 450円、1350 × 1/3 = 450円となり、原価と売価のそれぞれを基準にした条件が合います。答えは原価900円、売価1350円、割合1/3です。

5. ここでは売価が基準です。利益は1600 × 0.15 = 240円、原価は1600 − 240 = 1360円です。原価に対する利益率は240 ÷ 1360 = 3/17で、百分率では300/17%です。1360 + 240 = 1600円、240 ÷ 1600 = 0.15と戻して、売価の15%という条件を確かめます。答えは原価1360円、利益率300/17%です。

手元に残す要点

• 利益は売価から原価を引いた金額です。
• 原価に対する利益率は、利益を原価で割ります。
• 売価は原価の「1 + 利益率」倍です。
• 売価に対する割合は売価を基準にして求めます。
• 求めた金額を元の割合と売価に戻して確かめます。

どこで迷ったかを見つける

お子さまが式を書けないときは、まず原価、利益、売価の3つを紙に書き、わかっている金額に丸をつけてもらいます。3つの関係が曖昧なら、原価と利益をつなげた全体が売価になることを、線分を指しながら言葉にします。金額は合っていても割合が合わない場合は、「何に対する割合か」と尋ね、割る数を指してもらうと迷いの場所が見えます。

個別指導で確かめる際も、答えだけでなく、売価から原価へ戻るときに1.2倍の全体を認識できているかを見ます。原価と売価の基準を言い換えた問いを並べ、同じ利益をそれぞれ何で割るか説明できれば、数字が変わっても判断できます。利益の線分をどの全体と比べるかが、割合を決める鍵です。