中学受験の算数 売買損益の個数—仕入れた総額と売れた総額を分けて利益を求める｜武蔵野個別指導塾

売れ残りや破損があるとき、仕入れた個数と売れた個数を分けて総額を比べ、損益の個数を読み解きます。

よくあるのは、小学生が売れなかった品物の原価を総額から除いてしまう場面です。仕入れた品のうち一部がこわれて売れなくても、仕入れに払ったお金が消えるわけではありません。売れた分の代金と、仕入れた分の代金を、それぞれ違う個数で数える必要があります。

例えば同じ品を並べて、売れた品に印をつけるとします。印の数は売上を計算する個数です。一方、原価を計算するのは印のない品も含めた、並べた品の数です。この二つを区別すると、1個あたりは利益が出る売価でも、全体では損失が出る場合が見えてきます。

何の個数をたずねているか

出方の一つは、仕入れた個数と売れなかった個数が与えられ、全体の利益を求める問題です。まず引き算で売れた個数を出し、その個数で売上を出します。原価は仕入れた個数で出します。最後に二つの総額を比べます。

もう一つは、全体の利益が与えられ、売れた個数や売れなかった個数を求める問題です。この場合は利益から売上を逆にたどります。総原価と利益を合わせると売上になるので、売価が同じなら売上を1個の売価で割って販売数を出せます。

さらに、売れなかった個数が変わったときの利益を考える問題もあります。仕入れ数が同じなら総原価は変わりません。売れた数が1個減ると売上は1個の売価だけ減るので、利益も同じ額だけ減ります。売れなかった品を仕入れなかったことにするのではなく、売上の側が変わると見ます。

問題を読んだら、仕入れ数、販売数、売れない数のうち、何が与えられ、何を求めるのかをメモします。どの品も同じ原価で仕入れ、売れた品は同じ売価で売る条件を使います。ここでの利益は、仕入れ以外の費用を考えず、売上と原価を比べたものです。

仕入れと販売を二段に並べる

原価は品物を仕入れるときの代金、売価は売るときの代金です。1個あたりの値段と、全体の代金を混同しないようにします。総原価は1個の原価に仕入れた個数をかけたもの、総売上は1個の売価に売れた個数をかけたものです。

図1のように、仕入れた品を上の段に並べ、売れた品を下の段に対応させます。右端の品は仕入れたものの売れていません。上の段には残りますが、下の段には売上がありません。図は品の対応を表す模式図で、長さは金額の比を表しません。

図1の上段の数が総原価に、下段の数が総売上につながります。売れない品も仕入れたので、上段から消しません。一方、売れない品について売価を足してしまうと、まだ受け取っていない代金を数えることになります。

売上が総原価より大きい場合は、売上から総原価を引いた額が利益です。売上が総原価より小さい場合は、総原価から売上を引いた額が損失です。同じ引き算でも、どちらが大きいかを先に見れば、損失を利益と書く間違いを防げます。同じ額なら利益も損失も0円です。

1個の売価から1個の原価を引くと、売れた1個についての差額が出ます。しかし、これを売れた数だけ集めた額は、売れなかった品の原価をまだ引いていません。全体の利益を求めるなら、そこから売れなかった品の原価も引きます。総額を直接比べる方法と、売れた分の差額から売れない分の原価を引く方法は、同じ場面を別の順番で数えています。

基本例題：売れない品を含める

1個120円のしおりを10個仕入れました。そのうち2個がこわれて売れず、残りを1個180円で売りました。仕入れ以外の費用は考えません。全体の利益または損失を、円単位の整数で求めましょう。

図2のように、10個のうち8個に売上があり、2個には売上がありません。仕入れにかかった代金は10個分です。図は個数を示す模式図であり、長さは代金の比ではありません。

まず、売れた個数を求めます。

10 − 2 = 8個

次に、仕入れた10個の総原価を求めます。

120 × 10 = 1200円

売れた8個の総売上を求めます。売れない2個には売上をつけません。

180 × 8 = 1440円

売上1440円は総原価1200円より大きいので、差は利益です。

1440 − 1200 = 240円

答えは利益240円です。図2の売れない2個を原価の計算から除くと、払った代金の一部が抜け落ちます。計算を始める前に、原価の式の個数が10、売上の式の個数が8になっていることを指でたどるとよいでしょう。

別の道でも確かめます。売れた1個の売価と原価の差は180 − 120 = 60円です。8個分では60 × 8 = 480円ですが、これは売れた8個の原価しか引いていません。売れなかった2個の原価120 × 2 = 240円を引くと、480 − 240 = 240円となります。

条件へ戻すと、8個の売上は1440円で、売れない2個と合わせた10個の原価は1200円です。差が240円になり、答えが場面に合っています。どちらの方法でも、売れない品の原価が一度含まれているかを見るのが要点です。

標準例題：利益から販売数へ戻る

1個150円の小箱を24個仕入れました。売れた小箱はどれも1個240円で売り、売れなかった小箱は売上がありません。仕入れ以外の費用はなく、全体で1200円の利益でした。売れた個数と売れなかった個数を、それぞれ整数で求めましょう。

まず、総原価は仕入れた24個分です。

150 × 24 = 3600円

利益1200円は、売上が総原価より1200円多いという意味です。そこで、原価の線分の右に利益の線分をつなぐと、全体が売上の線分になります。

3600 + 1200 = 4800円

売上4800円は、1個240円が売れた個数分集まった額です。1個分で割れば販売数が出ます。

4800 ÷ 240 = 20個

仕入れた24個から売れた20個を除くと、売れなかった個数は次のとおりです。

24 − 20 = 4個

答えは売れたものが20個、売れなかったものが4個です。戻してみると20 × 240 = 4800円、24 × 150 = 3600円で、差は1200円です。20個と4個を合わせると24個なので、個数の条件も満たしています。

利益を売上と取り違えて1200 ÷ 240とすると、仕入れに払った3600円を回収する部分が抜けます。線分で売上を原価と利益に分けてから、割る対象を決めましょう。また、販売数は仕入れ数を超えず、整数である必要があります。割った結果が整数でなかったり仕入れ数を超えたりしたときは、計算と条件の読み取りを見直します。

発展例題：利益が損失に変わる境目

1個200円の冊子を30冊仕入れました。売れた冊子は1冊300円で売り、売れなかった冊子の売上はありません。仕入れ以外の費用は考えません。損失にならないためには少なくとも何冊売る必要がありますか。また、18冊売れた場合の利益または損失を円単位の整数で求めましょう。

30冊分の総原価は200 × 30 = 6000円です。損失にならないのは、売上が6000円以上のときです。6000 ÷ 300 = 20冊なので、20冊売れれば売上がちょうど6000円となり、利益も損失もありません。

19冊では300 × 19 = 5700円で、総原価より300円少なくなります。販売数が1冊減るごとに売上は300円減るので、19冊以下でも売上は総原価に届きません。したがって、必要な最少の販売数は20冊です。

18冊売れた場合の売上は300 × 18 = 5400円です。6000 − 5400 = 600円なので、答えは損失600円です。売れない冊子は30 − 18 = 12冊あり、売れた18冊と合わせて30冊になります。総原価6000円と売上5400円の差を戻して、損失も確かめられます。

別の表現では、売れた1冊の差額100円が18冊で1800円、売れない12冊の原価が2400円です。1800円から2400円をまかなえないため、足りない600円が損失になります。線分を使うなら、売上5400円と原価6000円を同じ始点から描き、原価の長い部分を600円と見ます。

境目を求める割り算が割り切れない場合は注意が必要です。例えば必要な売上を1個の売価で割って20と少しになれば、20個では足りず、次の整数の21個が必要です。ただし21個を売るには少なくとも21個仕入れている必要があります。与えられた仕入れ数を超える場合は、その条件では損失をなくせません。最後に境目の個数とその1個前を、元の売上に戻して比べます。

誤答をたどって直す

基本例題で「180 × 8 − 120 × 8 = 480円の利益」と答えたとします。式そのものは売れた8個の売価と原価の差を表していますが、こわれた2個の仕入れ代金を引いていません。図3のように、480円の中には、まだ差し引いていない2個分の原価240円が残っています。

図3の2個分は、売上がないだけで原価はあります。480 − 240 = 240円と直せば、全体の利益になります。この図の帯は金額を表し、240円ずつの幅を等しくしています。

反対に、総原価に10個分を使った後、さらに売れない2個分の原価を引くのも誤りです。同じ240円を二度数えています。総額で比べる式では、1440 − 1200の中に2個分がすでに含まれています。どちらの方法を使っているかを決め、原価の一つ一つが何回引かれたかを確かめます。

自分で解く5問

いずれも同じ品の原価と売価はそれぞれ一定で、仕入れ以外の費用は考えません。売れなかった品の売上はありません。利益と損失は円単位の整数で、個数は整数で答えましょう。

1. 1個80円の消しゴムを25個仕入れ、5個を残して、残りを1個130円で売りました。全体の利益または損失はいくらですか。
2. 1個90円の封筒を40個仕入れ、10個は売れませんでした。残りを1個100円で売ったとき、全体の利益または損失はいくらですか。
3. 1個250円の鉛筆立てを16個仕入れました。売れた品は1個400円で売り、全体の利益は800円でした。売れた個数と売れなかった個数を求めましょう。
4. 1個180円のカードを20個仕入れ、売れた品は1個300円で売りました。損失にならないために、少なくとも何個売る必要がありますか。
5. 1個140円の小物を15個仕入れ、うち3個が売れませんでした。全体で300円の利益を得たとき、売れた品の1個の売価を円単位の整数で求めましょう。

5問の答えと道筋

1. 売れたのは25 − 5 = 20個です。総原価は80 × 25 = 2000円、売上は130 × 20 = 2600円なので、利益は2600 − 2000 = 600円です。20個と残り5個で25個になり、両総額の差も600円です。

2. 販売数は40 − 10 = 30個です。総原価は90 × 40 = 3600円、売上は100 × 30 = 3000円です。原価のほうが大きく、損失は3600 − 3000 = 600円です。30個と10個で仕入れ数に戻り、代金の差も損失600円に合います。

3. 総原価は250 × 16 = 4000円です。利益を足した売上は4000 + 800 = 4800円なので、販売数は4800 ÷ 400 = 12個です。売れなかったのは16 − 12 = 4個です。12 × 400 − 16 × 250 = 800円で、12個と4個の合計も16個です。

4. 総原価は180 × 20 = 3600円です。3600 ÷ 300 = 12個なので、少なくとも12個です。12個の売上は3600円で損失がなく、11個では3300円となり300円の損失です。境目とその前の両方を確かめました。

5. 売れたのは15 − 3 = 12個、総原価は140 × 15 = 2100円です。必要な売上は2100 + 300 = 2400円なので、1個の売価は2400 ÷ 12 = 200円です。12 × 200 = 2400円から2100円を引くと300円で、売れた12個と売れない3個も仕入れ数に戻ります。

覚えておくこと

• 総原価には仕入れた品を数え、売れない品も含めます。
• 総売上には実際に売れた個数を使います。
• 二つの総額を比べ、大きい側に応じて利益か損失かを決めます。
• 売れた分の差額を使うときは、売れない分の原価を引きます。
• 個数と代金を元の条件に戻して確かめます。

どこで数が入れ替わったかを見る

お子さまが答えを間違えたときは、まず総原価の式のかけ算に注目します。仕入れ数ではなく販売数を使っていれば、品物を丸で描き、売れない品にも仕入れの印を残してみます。総原価は合っているのに結果が違う場合は、売上に売れない品まで含めていないかを見ます。

個別指導で確かめるなら、式を直す前に、それぞれの数が何を数えたものかを本人の言葉で説明してもらいます。逆算では利益と売上を混同していないか、損失の問題では大小を見て差の名前を選べているかも確認します。最後に答えから総原価と売上を作り直すと、計算だけでなく条件の読み違いにも気づけます。売れない品の原価を残すことが、全体の損益を正しく見る出発点です。