中1数学 垂直二等分線と角の二等分線—等しい距離を手掛かりに作図の手順を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

2点への距離と角の2辺への垂直な距離を区別し、同じ半径の弧から垂直二等分線や角の二等分線を引く理由を確かめます。

よくあるのは、角の頂点から等しい距離にある点を2つ取れば、それらを結ぶ線が角の二等分線になると考える場面です。頂点を中心とする同じ円の上には点がいくつもあり、その中の2点を結ぶ直線は、一般には角を半分にしません。頂点からの距離と、角の2辺それぞれからの距離は別の量です。

作図では定規で直線を引き、コンパスで等しい長さを移します。目盛りで中点や角度を測って決める代わりに、条件に合う点を探します。線の名前を覚えるだけでなく、どの点を中心にどの長さを等しくしたのかをたどると、手順の選び間違いを直せます。

条件から選ぶ3つの型

線分の両端から等しい距離にある点を探すときは、垂直二等分線が候補です。たとえば2つの地点から同じ距離にある場所を求めるとき、2地点を結ぶ線分の垂直二等分線を考えます。端からの距離を測るのであって、線分自体からの距離を比べるのではありません。

角の内側で、2辺から等しい距離にある点を探すときは、角の二等分線を考えます。点から直線までの距離は、その点から直線に引いた垂線の長さです。辺を延長した直線を考える場合も、どの線に垂直に測るかを明確にします。

与えられた直線に垂直な線を引く型もあります。直線上の点を通す場合、その点から直線上の両側に等しい距離の2点を取り、その線分の垂直二等分線を使えます。直線の外の点を通す場合は、その点から直線上に等しい距離の2点を取ります。どちらも、2点から等しい距離にある点を2つ見つけることが鍵です。

距離と線の意味を分ける

線分ABの垂直二等分線は、ABの中点を通り、ABに垂直な直線です。その直線上の点はAとBから等しい距離にあります。逆にAとBから等しい距離にある点は、その垂直二等分線上にあります。この往復を使うので、等距離の点を2つ取れば、それらを結ぶ直線が求める線になります。

なぜそう言えるのでしょうか。ABの中点を通る垂線で紙を折ると、AとBが重なります。折り目上の点は動かないため、その点からAまでとBまでの長さは重なって等しくなります。逆に、AとBから等しい距離にある点Pを考え、ABの中点を通る垂線でPを反対側に折り返すと、AとBが入れ替わり、Pから両端までの長さも保たれます。同じ側にある等距離の位置は、両端を中心とする同半径の円の交点として定まります。したがってPは折り目上にあります。PがAB上にある場合は、等距離なので中点です。

角の二等分線は、角の頂点を通り、角を大きさの等しい2つの角に分ける半直線です。角を二等分線で折ると2辺が重なります。折り目上の点からそれぞれの辺に下ろした垂線も重なり、その長さは等しくなります。逆に角の内側の点から2辺への垂線の長さが等しければ、2辺に接するその点を中心とした円を考えられます。角を折って2辺を重ねると、この円の中心も重なるので、その点は折り目上にあります。角の外側の点まで無条件に含めず、角の内側という条件を確認します。

図1のように、左はAとBという2点への距離、右は点Pから角の2辺への垂直な距離を示します。右の小さな直角印は、辺に沿った長さではなく垂線の長さを見る印です。

図1の2種類の等しさは、見かけが似ていても測る対象が異なります。右図で頂点OからPまでの長さを測っても、2辺への距離が等しいかはそれだけでは決まりません。

基本例題　線分の垂直二等分線

長さ6 cmの線分ABが与えられています。目盛りを使わず、定規とコンパスでABの垂直二等分線を作図し、その線がABと交わる点をMとします。AMとMBの長さをcmで答え、手順の理由を説明してください。

まずコンパスを6 cmの半分より大きく開きます。ここでは例として、交点が2つできる開きにします。Aを中心に、ABの両側に弧を描きます。開きを変えずにBを中心として弧を描き、先の弧との交点をそれぞれP、Qとします。定規でPとQを結ぶ直線を引き、ABとの交点をMとします。

図2のように、PもQもAとBを中心とする同じ半径の弧の上にあります。したがってPAとPBは等しく、QAとQBも等しい長さです。2点P、QはともにABの垂直二等分線上にあるので、直線PQが求める線です。

図2では交点が線分の両側に1つずつあります。ABの中点Mで分けるので、長さを戻して確かめます。

AM = 6 ÷ 2 = 3 cm
MB = 6 ÷ 2 = 3 cm
AM + MB = 3 + 3 = 6 cm

2つの長さの和はもとのABに一致し、直線PQはABに垂直です。弧の半径を線分の半分以下にすると、半分未満では弧が交わらず、ちょうど半分では中点で触れるだけです。2つの異なる交点が必要なので、半分より大きく開きます。開きを途中で変えると、交点のAからの距離とBからの距離が等しいとは限りません。

標準例題　角の2辺から等しい距離

角XOYが与えられています。角の内側に、2辺OX、OYからの距離が等しい点が並ぶ半直線を、定規とコンパスで作図してください。また、その半直線が角をどう分けるかを述べてください。

Oを中心に適当な半径で弧を描き、OXとの交点をA、OYとの交点をBとします。次にA、Bをそれぞれ中心に、同じ半径の弧を角の内側に描き、その交点をPとします。このとき弧が交わるようにコンパスを十分に開きます。OとPを結ぶ半直線OPが答えです。

最初の弧からOAとOBは等しく、次の弧からPAとPBも等しくなります。OとPはともにAとBから等距離なので、直線OPはABの垂直二等分線です。この線で折るとAとBが重なり、頂点Oも動きません。したがって半直線OAとOBは重なり、角AOPと角POBは等しくなります。OPは角XOYを2等分します。

同じ折り返しで、OP上の点からOX、OYへ下ろす垂線も重なります。よってそれぞれの垂線の長さ、つまり2辺への距離は等しくなります。最初に作ったOAとOBの等しさだけで角の二等分線が引けるわけではありません。2つ目の等距離の点Pを作り、Oと結ぶところまでが必要です。

最初の弧が一方の辺に届かなければAとBをそろえられません。半径を変えて描き直します。また、次の弧が交わらなければ、開きを大きくして両方の弧を同じ開きで描き直します。すでに描いた片方だけを広げると、PAとPBの等しさを使えなくなります。

発展例題　直線の外の点から垂線を引く

直線lの外に点Tがあります。Tを通ってlに垂直な直線を定規とコンパスで作図し、交点をHとします。さらに、l上の2点A、Bを使った場合に、Hが線分ABのどこにあるか説明してください。

Tを中心とし、直線lと2点で交わるように弧を描きます。交点をA、Bとします。TAとTBは同じ円の半径なので等しい長さです。次にAとBを中心として同じ半径の弧を描き、Tと直線lをはさんで反対側に交点Uを取ります。弧が交わらないときは両方を同じ大きな半径で描き直します。直線TUを引き、lとの交点をHとします。

TはA、Bから等距離です。Uも同じ半径の弧の交点なのでA、Bから等距離です。よって直線TUはABの垂直二等分線であり、ABを含む直線lに垂直です。HはABの中点で、AHとHBは等しくなります。Tがもとの条件どおり線上にあり、引いた直線がlと直角に交わることも確認できます。

最初の弧がlと交わらなければ、Tからlまでの距離より半径が短すぎます。大きく開いて再び描きます。1点で接するだけでは異なる2点A、Bを取れないため、さらに開きます。適当に直角に見える線を引く方法では、垂直である理由が残りません。2組の等距離から線を決めると、失敗した場所も特定できます。

誤答をほどく　頂点からの距離だけでは足りない

「頂点Oを中心に弧を描き、2辺との交点A、Bを結べば角の二等分線です」という答えを考えます。OAとOBは同じ半径なので等しいという部分は正しいです。しかし、直線ABは普通、頂点Oを通りません。角の二等分線は頂点から出る半直線なので、AB自体を答えにはできません。

図3のように、AとBを結ぶ線と、Oから角の内側へ伸びる線を区別します。AとBは頂点から等距離にありますが、Aは辺OX上、Bは辺OY上にあります。この事実から、AやBが2辺から等距離だとは言えません。

図3では、AとBを中心に同じ半径の弧を追加して交点Pを取っています。OもPもA、Bから等距離なので、OPはABの垂直二等分線です。折り返しでOAとOBが重なることから、OPが角を二等分するとわかります。誤答のうち「OAとOBは等しい」は残し、そこから「AとBを結ぶ」へ進んだ箇所を修正します。

もう1つの誤りは、角の内側の点から辺に斜めに引いた2本の線分の長さを比べることです。点から直線への距離は垂線の長さと決まっています。斜めの線分がたまたま等しくても、辺までの距離が等しいとは限りません。直角の印をつけ、どの直線への距離かを言葉で確かめます。

練習　条件を読み替える

次の5問は、それぞれ定規とコンパスを使う自作の問題です。作図の問いでは、残す弧と線の引き方、成り立つ理由を言葉で答えてください。長さを求める問いはcmで答えます。

1. 長さ8 cmの線分CDがあります。C、Dから等しい距離にある点を結ぶ直線を作図し、CDとの交点NについてCNとNDを求めてください。
2. 角ABCの内側にある点で、辺BAとBCからの距離が等しい点の集まりを作図してください。距離を測る向きも説明してください。
3. 直線m上に点Kがあります。Kを通りmに垂直な直線を作図してください。最初にm上で取る2点とKの距離について述べてください。
4. 長さ10 cmの線分EFの垂直二等分線上に点Rがあります。REが7 cmのとき、RFは何cmですか。さらにEFの中点SについてESとSFを求めてください。
5. 点G、Hを中心に同じ半径3 cmの弧を描いたところ、異なる2交点ができませんでした。GHが8 cmである場合、原因と、交点を2つ作るための半径の条件を答えてください。

練習の答えと考え方

1. C、Dを中心に同じ半径で、CDの半分より大きい弧を両側に描きます。2交点を結ぶ直線が答えです。交点は両端から等距離なので直線は垂直二等分線となり、CN = 4 cm、ND = 4 cmです。4 + 4 = 8 cmで、与えられた線分に戻ります。

2. Bを中心とした弧と2辺との交点を取り、その2点から同じ半径の弧を描いて角の内側に交点を取ります。Bとその交点を結ぶ半直線が答えです。辺への距離はそれぞれの辺に垂直に測ります。折り返すと2辺と垂線が重なるので、2つの距離が等しいという条件に戻ります。

3. Kを中心とした弧でm上の両側に点を取り、それらを中心に同じ半径の弧を描いてmの片側に交点を取ります。Kと交点を結ぶ直線が答えです。最初の2点はKを中心とする円上にあるのでKから等距離です。新しい交点も2点から等距離のため、その直線は2点を結ぶmに垂直です。

4. RはEFの垂直二等分線上にあるのでRF = RE = 7 cmです。またES = SF = 10 ÷ 2 = 5 cmです。REとRFはどちらも7 cmで、ES + SF = 5 + 5 = 10 cmとなり、両方の条件に合います。

5. 半径の和は3 + 3 = 6 cmで、中心間の8 cmに届かないため弧は交わりません。同じ半径をr cmとすると、異なる2交点を作るには半径の和が中心間の距離より大きく、rは4 cmより大きくします。4 cmでは中点で触れるだけです。たとえば5 cmなら半径の和は10 cmで8 cmを超え、2交点を取れます。

線を引く前の確認

• 2点から等距離なら、その2点を結ぶ線分の垂直二等分線を考えます。
• 角の内側で2辺から等距離なら、角の二等分線を考えます。
• 点から直線への距離は垂線の長さです。
• 同じ半径の弧と、異なる2交点を確かめます。
• 完成後に、もとの距離と垂直や角の条件に戻します。

お子さまが手順を覚えていても、コンパスの針を置く点を変えた理由が言えない場合は、各弧の半径に同じ印をつけるところから確かめます。個別に確認するときは、2点への距離を問う場合と2辺への距離を問う場合を並べ、何と何を測るかを先に言葉にしてもらいます。弧が交わらない場合に開きをどう直すかも尋ねると、手順を暗記しただけなのか、成立条件を使えているのかを見分けられます。

等しい距離の相手を決めれば、必要な作図の線が見えてきます。