中1数学 平面図形の移動—対応する点を結んで平行移動と回転と対称を比べる｜武蔵野個別指導塾

透明な紙で図形を動かし、対応点の距離と回す向きを確かめながら、平行移動・回転移動・対称移動を見分けます。

よくあるのは、回転の中心を正しい位置に取ったのに、中心以外の点を同じ向きにずらしてしまう場面です。紙の上では図形全体が動いたように見えても、対応する点が中心から同じ角度だけ回っていなければ、求める回転にはなりません。透明な紙に図形を写し、中心に鉛筆の先を置いて回す動作を思い浮かべると、点ごとの道筋を区別しやすくなります。

移動後の形を当てるだけでなく、どの点がどの点に移るかを言葉にしてみましょう。ここでは平面上で形や大きさを変えない3種類の移動を扱います。合同の証明は使わず、点と点の対応、距離、向きから判断します。

どこを手掛かりにするか

図形の移動には、まず動かし方が指定される問題があります。例えば、ある点から対応する点への向きと距離が示されれば、平行移動では他の点も同じ向きに同じ距離だけ動かします。中心と角度と回す向きが示されれば、回転移動では各点をその中心の周りに回します。直線が示されれば、対称移動ではその直線を折り目にして重なる位置を考えます。

次に、移動前後の図から方法を選ぶ問題があります。この場合は頂点の見かけの位置だけで決めず、対応する点を複数組調べます。たまたま1組の点が同じ位置に見えても、他の点が条件を満たさなければ、その移動とは言えません。特に回転の中心は動かない点ですが、動かない点があることだけでは回転角や向きまでは決まりません。

さらに、条件の一部を変えて移動後を考える問題があります。中心を変えず角度を変える場合と、角度を変えず中心を変える場合では、各点がたどる円や到着位置が変わります。答えを描いた後は、もとの条件に戻して、距離と角度の両方が合うかを点ごとに調べます。

対応点が教える3つの違い

図形を透明な紙に写し、頂点A、B、Cに印をつけます。移動した後のそれぞれの点をA′、B′、C′と書くと、AとA′が対応する点です。A′を勝手に別の頂点と結ぶと、移動の条件を調べられません。辺ABに対応するのは辺A′B′で、長さも等しくなります。移動によって角の大きさや面積も変わりませんが、それらが等しいだけでは指定された移動かどうかまでは決まりません。

平行移動では、図形を裏返さず、向きを変えずに滑らせます。各点は同じ向きに同じ距離だけ進みます。対応点を結ぶ線分は互いに平行で長さが等しく、進む向きもそろいます。動かす距離が0なら各点はもとの位置のままです。図1のように対応点を矢印で結ぶと、どの点にも同じ操作をしていることが見えます。

回転移動では、決めた点を中心にして図形を回します。中心Oから点Pまでの距離は、移動後のP′までの距離と等しく、PはOを中心とする円の上を通ります。回転の向きに測った角POP′が指定の角です。中心O自身は回しても動きません。中心にない点は一般に異なる方向へ進むため、各点を同じ矢印でずらす方法は使えません。

対称移動では、直線を軸として図形を裏返した位置を考えます。軸上にない点Pとその対応点P′を結ぶ線分は軸と垂直に交わり、交点からPとP′までの距離は等しくなります。つまり軸は線分PP′の垂直二等分線です。軸上の点は折り目にあるので、そのまま動きません。平行移動や回転移動では紙を裏返さずに重ねられますが、対称移動では紙を折り返すように対応を考えます。

円の上を通るという説明は、移動中の点の軌跡を表しています。描いた答えだけを結ぶ直線PP′は、一般に点が回転中に通った道ではありません。半回転ならPとP′は中心を挟みますが、それでも点は円周に沿って移動します。図形全体の輪郭だけでなく、1点の道筋と中心からの距離を区別することが重要です。

基本例題：中心を決めた90度の回転

方眼の交点Oを原点とし、右を横の正、上を縦の正とします。三角形ABCの頂点をA(2, 1)、B(4, 1)、C(2, 3)とします。Oを中心に反時計回りに90度回転した三角形の各頂点の座標を答えてください。長さの単位は方眼の1目盛りです。

図2のように、透明な紙に三角形とOを写し、Oを押さえて反時計回りに4分の1回転させます。右向きの成分は上向きになり、上向きの成分は左向きになります。このため、点の位置を右にx、上にyと見れば、回転後は左にy、上にxです。これは座標の公式を丸暗記するためではなく、2つの向きが同じ角度だけ回ることを確かめる手順です。

Aは右に2、上に1なので、左に1、上に2のA′(-1, 2)に移ります。Bは右に4、上に1なのでB′(-1, 4)、Cは右に2、上に3なのでC′(-3, 2)です。辺A′B′と辺A′C′を結べば移動後の三角形ができます。

確認では、中心からの横と縦の成分の長さが入れ替わり、左右の向きが回転に合わせて変わっていることを見ます。例えばOA′はOAを90度回した位置です。またABは2目盛り、A′B′も2目盛りで、ACとA′C′も2目盛りです。対応する辺の長さが保たれています。辺の長さだけでは時計回りの図も候補に残るため、AからA′への向きも確認します。

もし時計回りに90度なら、右は下、上は右に変わります。Aの行き先は(1, -2)となり、反時計回りの答えとは異なります。角度が同じでも向きを読み落とすと別の移動です。紙を回す手を動かす前に、中心、角度、向きの3つを問題文から拾います。

標準例題：移動の方法を説明する

三角形DEFの頂点がD(1, 2)、E(3, 2)、F(1, 5)です。移動後の対応点がD′(5, 1)、E′(7, 1)、F′(5, 4)のとき、平行移動と考えられるか答え、移動の向きと距離を方眼の目盛りで説明してください。

DからD′へは右に4、下に1進みます。同じ操作をEにすると、横は3から7、縦は2から1に変わり、E′になります。Fでも横は1から5、縦は5から4に変わり、F′になります。したがって3頂点は同じ向きに同じ距離だけ動き、三角形全体を平行移動したと考えられます。向きと距離は「右に4、下に1」と合わせて表せます。進んだ直線の長さを、4と1を足した5目盛りとする必要はありません。

元に戻しても確かめます。D′、E′、F′からそれぞれ左に4、上に1進むとD、E、Fに戻ります。例えばE′(7, 1)から左に4、上に1でE(3, 2)です。1組だけで判定すると、他の点に別の操作を加えた図形を見逃します。対応する頂点すべてが同じ操作を受けたことを確認しましょう。

発展例題：軸の位置を逆に探す

点G(1, 2)が対称移動でG′(5, 2)に移り、点H(2, 4)がH′(4, 4)に移りました。対称の軸を、方眼上の直線として答え、2組の点が条件を満たす理由を説明してください。

GとG′を結ぶ線分は横向きで、その真ん中の横の位置は(1 + 5)/2 = 3です。したがってこの線分の垂直二等分線は、横の位置が常に3の縦の直線です。HとH′を結ぶ線分も横向きで、真ん中の横の位置は(2 + 4)/2 = 3です。こちらの垂直二等分線も同じ縦の直線になります。求める軸は横の位置が3の直線です。

条件に戻すと、軸からGとG′までの距離はどちらも2目盛り、HとH′までの距離はどちらも1目盛りです。それぞれを結ぶ線分は縦の軸に垂直です。距離が等しいことに加え、軸に垂直に結ばれることを確認できました。軸が横の位置2の直線ならGから1目盛り、G′から3目盛りとなり、対称の条件を満たしません。

この考え方では、最初に点を結んだ線分の中点を見つけ、その線分に垂直な直線を考えます。対応点の線分が軸と平行だと思い込むと、折り返して重なる位置を誤ります。複数組で同じ軸になるかを比べることで、見た目だけの判断を避けられます。

間違いの始まりを見つける

図3ではOを中心に点Pを反時計回りに90度回すところを、右へ滑らせた点を答えにしています。点PがOの右にあるなら、正しい移動先P′はOの上です。図3のように、誤った点QはOPと同じ向きのまま中心から遠ざかり、距離も角度も指定と合いません。

誤答の原因は、図形を動かすという共通の言葉から、平行移動の矢印を回転にも使ったことです。修正するときは、まずOからPまでの距離を取り、その距離を保ってOを中心に90度回します。O自身はその場所に残ります。コンパスでOを中心とする円を描き、OPを反時計回りに90度回した半直線との交点を探す方法でも同じ位置に着きます。

別の間違いとして、正しい距離の円上ならどこでもよいと考えることがあります。距離だけでは円周上に候補が残るため、角度と向きまで必要です。逆に、方向が90度回っていても、中心からの距離が変われば別の点になります。対称移動でも、軸から同じ距離に置くだけでは不十分です。対応点を結ぶ線分が軸に垂直かを確認します。

移動前後の図形が重なって見えるときは、動いた部分と重なった部分を色分けする代わりに、頂点名を書き添えてください。ある頂点が別の頂点の元の位置へ移る場合も、頂点そのものが静止したとは限りません。中心や軸上の点が動かないという性質と、図形の一部が重なるという見た目は別に判断します。

自分で試す5問

方眼では右と上をそれぞれ正の向きとします。各問の条件を読んでから、必要な点を図に書き込んでください。長さは方眼の目盛り数で答えます。

1. 点K(-2, 3)を右に5、下に2だけ平行移動します。移動後の座標を答えてください。
2. 点L(3, -1)を原点の周りに反時計回りに90度回します。移動後の座標を答えてください。
3. 点M(2, 5)を横の位置が6の縦の直線について対称移動します。移動後の座標と軸からの距離を答えてください。
4. 点N(1, 1)がN′(4, 3)、点P(2, 4)がP′(5, 5)に移ったとします。同じ平行移動によるものか、理由とともに答えてください。
5. 原点Oを中心として、点R(0, 4)を時計回りに180度回します。移動後の座標と、点Rが通る道を言葉で答えてください。

解答と考え方

1. 横の位置は-2 + 5 = 3、縦の位置は3 − 2 = 1です。答えは(3, 1)です。そこから左に5、上に2進めば(-2, 3)に戻ります。右と下という2つの向きは、対応点ごとに共通の操作として使います。
2. 右に3、下に1の位置を反時計回りに回すと、上に3、右に1の位置です。答えは(1, 3)です。そこから時計回りに90度戻すと右に3、下に1となり、元のLに戻ります。右と上の両方が正の場合に作った手順を、下向きの成分にも適用します。
3. Mから軸まで横に4目盛りです。軸を越えてさらに4目盛り進むので、答えは(10, 5)、軸からの距離は4目盛りです。元の点と答えを結ぶ線分は横向きで、縦の軸に垂直です。両端は軸から等距離なので、元の条件を満たします。
4. NからN′へは右に3、上に2ですが、PからP′へは右に3、上に1です。同じ平行移動ではありません。Nに使った操作をPに適用すると(5, 6)となり、指定されたP′(5, 5)に一致しません。1組が合うだけでは他の対応を保証できません。
5. 答えは(0, -4)です。RはOから4目盛り離れたまま、Oを中心とする半径4目盛りの円周の半分を時計回りに進みます。到着点もOから4目盛りで、元の位置とOを挟んで反対側です。さらに180度回すと元の点に戻ります。

覚えておきたいこと

• 平行移動は各点を同じ向きに同じ距離だけ動かします。
• 回転移動は中心からの距離を保ち、指定の向きと角度で回します。
• 対称移動は対応点を結ぶ線分を軸が垂直に二等分します。
• 対応点と中心や軸を確かめ、答えを元の条件に戻します。

お子さまが図を描けても理由を説明しにくいときは、最初に1つの頂点だけを指して、移動前後の対応を尋ねると、どこで判断が止まったかが見えます。平行移動なら矢印の向きと距離、回転なら中心からの距離と角度、対称なら軸への垂直と両側の距離を順番に確かめます。個別に取り組む際は、描いた線を消す前に、どの条件でその線を引いたかを言葉にし、必要なら透明な紙を重ねて動きを再現します。対応する点を追えば、図形の移動は見た目から条件へ戻せます。