高校数学III 区分求積法—短冊の幅と高さから和の極限を定積分へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

等分割の幅と標本点から和の極限を定積分へ移し、始点が0でない例や幅を落とす誤りを検討します。

よくあるのは、定期テスト前の演習で短冊の高さだけを足し、幅を掛けないまま面積を求めようとする場面です。分割を細かくすると短冊は増えますが、それぞれの幅も小さくなります。高さの和と幅を掛けた和は、極限で別の振る舞いをします。式の中のどの因子が幅かを見つけ、各短冊の高さをどの位置で測っているかを対応させましょう。

和の形から何を読むか

区分求積法の問題には、まず区間と関数が与えられ、等分割した短冊の和を作る型があります。次に、Σを含む式が与えられ、それを定積分に直して極限値を求める型があります。さらに、区間の始点が0でない式や、左端と右端で高さを選ぶ式では、標本点の位置を読み違えないことが問われます。

どの型でも、最初に区間、幅、標本点、関数の4つを並べます。最後に定積分を計算し、元の和に戻って幅と高さが一致するか確かめます。積分不等式は関連する話題ですが、ここでは区分した各小区間で高さの上下を比較する考え方に触れる程度にします。数学IIIでは積分法とその応用を学び、区分求積法は定積分の意味を捉える場面につながります。

小区間と標本点の対応

連続な関数 f を区間 [a, b] で考え、a < b とします。区間を n 等分したとき、各小区間の幅は Δx = (b − a)/n です。左から k 番目の小区間は、a + (k − 1)Δx から a + kΔx までです。幅に関数の値を掛けて加えると、短冊の符号付きの和ができます。

右端を標本点に選べば xₖ = a + kΔx です。高さは f(xₖ) なので、右端による和は Σ[k=1からn] f(a + kΔx)Δx となります。記号 Σ は、指定した k の値を順に入れて加えることを表します。関数が非負なら各項は長方形の面積ですが、負の値をとる部分は符号付きで加えるため、和をそのまま図形の面積と呼ぶことはできません。

図1のように、隣り合う点の間が幅 Δx で、k 番目の右端が xₖ です。最初の右端は a + Δx、最後は a + nΔx = b です。この両端の代入は、式が求める区間と対応しているかを調べる手掛かりになります。左端を使うなら a + (k − 1)Δx となり、最初の標本点は a、最後は b − Δx です。

f が [a, b] で連続なら、等分割の幅が0に近づくと、この和は ∫[aからb] f(x) dx に近づきます。各小区間の内部の点を標本点に選んでも同じ極限になります。連続性のない式を見たときに、この形だけを根拠にそのまま定積分へ移すことはできません。例えば区間内で分母が0になる関数なら、その点で関数が定義されていないため、まず通常の定積分として扱えるかを確認します。

各小区間で関数の最小値を mₖ、最大値を Mₖ とすると、標本点の値はその間にあります。幅は正なので、mₖΔx と MₖΔx の間に f(xₖ)Δx が入り、項ごとに加えた和も同じ順序で挟まれます。関数が単調増加なら左端の高さは下側、右端の高さは上側です。ただし、増減が途中で変わる関数については、左端と右端を無条件に下側と上側にすることはできません。各小区間での大小を調べる必要があります。

また、定積分の値が負になることもあります。関数が横軸より下にある区間では、高さを符号付きの関数値として使うためです。短冊の幾何学的な面積を足したいときは符号を考慮して別に式を立てます。和の極限を求める問題では、まず問題文が与えた関数値の符号を保ったまま変換し、得られた値の意味を最後に読み直します。

読み取りの順序は、幅らしい因子を見つけ、標本点を a + k(b − a)/n に合わせ、それを f の入力として残りを読むことです。逆に和を作る場合は、この順序を戻します。区間の長さが1でないと、1/n と幅は一致しません。幅を先に決めると、外の係数を積分後まで失わずに済みます。

基本例題：右端の短冊を足す

区間 [0, 2] を n 等分し、各小区間の右端における関数 f(x) = x² + 1 の値を高さとする短冊を作ります。その面積の和 Sₙ の極限を、正確な分数で求めてください。

区間の長さは 2 − 0 = 2 なので、幅は Δx = 2/n です。左から k 番目の右端は xₖ = 0 + k(2/n) = 2k/n です。この値を関数へ代入し、幅を掛けてから足します。

Sₙ = Σ[k=1からn] {(2k/n)² + 1}(2/n)

図2のように、例えば4等分した場合の右端は 1/2、1、3/2、2 です。それぞれの長方形は右端で曲線に接し、幅は 1/2 です。関数は区間全体で連続かつ正なので、この和は実際に長方形の面積の和です。

一般の n についても、右端と幅の対応は同じです。したがって連続関数の区分求積の極限から、次のように定積分へ移せます。

lim[n→∞] Sₙ = ∫[0から2] (x² + 1) dx

x³/3 + x を微分すると x² + 1 に戻るので、これを原始関数として端点を代入します。

∫[0から2] (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀² = (8/3 + 2) − (0 + 0) = 14/3

答えは 14/3 です。区間の幅が 2/n であることと、最後の標本点が 2n/n = 2 であることを元の条件へ戻して確かめます。n = 4 の和も、図の4本の高さを使って (1/2){5/4 + 2 + 13/4 + 5} = 23/4 となります。右端で高さを選んだ有限個の和が極限値 14/3 と一致する必要はありません。

別の確かめとして、有限和を直接計算できます。Σ[k=1からn] k² = n(n + 1)(2n + 1)/6 を使うと、

Sₙ = (8/n³)Σ[k=1からn] k² + (2/n)Σ[k=1からn] 1 = 4(n + 1)(2n + 1)/(3n²) + 2

です。n で割って整理すると、右辺の極限は 8/3 + 2 = 14/3 です。この計算は、定積分に直すときに幅の 2/n を落としていないかの照合にもなります。

有限和の式から極限へ移る際は、n を無限大という数として代入するわけではありません。n が大きくなるにつれて幅が0に近づき、和がどの値に近づくかを調べています。有限の n の和を求める問題なら、定積分の値で置き換えず、その n について指定された項を足す必要があります。分割数が違うと短冊の本数も幅も変わることを、図と式の両方で追ってください。

始点が0でない和を読む

次の極限を正確な分数で求めてください。

lim[n→∞] (3/n)Σ[k=1からn] (1 + 3k/n)²

外の 3/n を幅と見ます。右端の形 1 + 3k/n は、始点1から幅3/nを k 個進んだ点です。よって終点は 1 + 3 = 4、区間は [1, 4]、高さを与える関数は f(x) = x² です。多項式はこの閉区間で連続なので、

lim[n→∞] (3/n)Σ[k=1からn] (1 + 3k/n)² = ∫[1から4] x² dx = [x³/3]₁⁴ = (64 − 1)/3 = 21

となります。x³/3 の導関数は x² です。元の和に戻ると、最初の標本点は 1 + 3/n、最後は4で、どちらも [1, 4] の右端の並びに合います。n = 1 のときは幅3、高さ16の長方形となり、和は48です。有限個の和と極限値は異なりますが、この幅と高さは問題文の式を再現します。

分かれ目は、外側の係数が小区間の幅そのものかどうかです。例えば同じ和で外側が 1/n なら、1/n = (1/3)(3/n) と直せます。このとき右端と区間は変えず、定積分の前に 1/3 が残ります。逆に 1/n を幅と決めて区間を [1, 4] としてしまうと、n 個の幅を合わせても長さ1にしかならず、区間の長さ3と合いません。

左端を使う場合も確認します。同じ区間 [1, 4] と関数 x² なら、標本点は 1 + 3(k − 1)/n です。右端の和との差は、途中の項が消えて (3/n)(4² − 1²) = 45/n となり、極限では0です。これはこの関数の両端が有限であることを使った確認です。最初から左端と右端が同じ式だと扱うのではなく、有限の n では異なることを残しておきます。

幅を失った誤答を直す

基本例題で「高さの和だから Σ[k=1からn] {(2k/n)² + 1} の極限が 14/3」とする答えを考えます。誤りの原因は、短冊1本の面積を高さだけで表したことです。図3のように、同じ高さでも横幅が違えば長方形の面積は変わります。幅を掛ける操作を和の外に書くか、各項に書くかを明示します。

実際、元の高さは各項が1以上ですから、その和は n 以上です。n が大きくなると高さの和は正の無限大へ発散し、有限の 14/3 には近づきません。一方、幅 2/n を掛けた Sₙ には面積の和としての意味があり、先ほどの定積分へつながります。幅を掛けない式に積分の値を当てはめてはいけません。

別の誤りは、標本点 1 + 3k/n を k/n と読み、[0, 1] で x² を積分することです。これは始点の1と区間の長さ3を同時に落としています。k = n を代入すれば標本点は4であり、1にはなりません。まず両端の対応を書き、次に関数の入力全体を x と置くと修正できます。

さらに、関数が区間内で定義されていないのに連続と判断する場合もあります。例えば分母に x − 1 があり、対象区間に1が含まれるなら、その点で分母が0です。標本点がたまたまその点を避ける n があっても、閉区間で連続という前提は満たしません。この場合はここで用いた定積分への変換を適用せず、問題の条件を見直します。

練習：区間と高さを式に戻す

次の3問は、それぞれ極限値を正確な分数または整数で求めてください。Σは k = 1 から n までの和です。

1. 区間 [0, 3] を n 等分し、各小区間の左端で f(x) = 2x + 1 の値を選びます。幅と高さの積の和の極限を求めてください。
2. lim[n→∞] (2/n)Σ[k=1からn] {2 + (2k/n)}³ を求めてください。
3. lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1からn] 1/(1 + k/n)² を求めてください。

解答と解き方

1. 幅は 3/n、k 番目の左端は 3(k − 1)/n です。したがって和は Σ[k=1からn] {2・3(k − 1)/n + 1}(3/n) です。関数は [0, 3] で連続なので、極限は

∫[0から3] (2x + 1) dx = [x² + x]₀³ = 9 + 3 = 12

です。原始関数 x² + x の導関数は 2x + 1 です。最初の標本点は0、最後は 3 − 3/n で、左端という条件に合います。n = 1 なら幅3と高さ1から和は3となり、式も3を返します。

2. 幅 2/n、右端 2 + 2k/n から区間は [2, 4]、関数は x³ です。連続性を確認して、

∫[2から4] x³ dx = [x⁴/4]₂⁴ = (256 − 16)/4 = 60

を得ます。x⁴/4 を微分すると x³ です。k = n で標本点は4、n = 1 では幅2、高さ4³なので元の和は128です。端点や幅を取り違えると、この対応が崩れます。

3. 幅 1/n、右端 k/n から区間は [0, 1]、関数は 1/(1 + x)² です。この区間で 1 + x は1以上なので分母は0にならず、関数は連続です。原始関数 -1/(1 + x) を微分すると 1/(1 + x)² に戻ります。よって

∫[0から1] 1/(1 + x)² dx = [-1/(1 + x)]₀¹ = -1/2 − (-1) = 1/2

です。元の和の最後の高さは 1/4 で、標本点 x = 1 を代入した値と合います。n = 1 では幅1、高さ1/4で和は1/4です。有限の和と極限値の違いも区別します。

手元に残す要点

幅は区間の長さを分割数で割って決めます。 標本点の始点と終点を k の値で照合します。 連続性を確かめ、幅と高さの積の和を定積分へ移します。 原始関数を微分して戻し、端点を代入します。

式のどこで止まったかを見分ける

和の前の係数を見ても区間が決まらない場合は、標本点を a + k(b − a)/n の形に書き直し、始点と終点を先に調べます。幅と外の係数が一致しなければ、残る定数倍を別に書きます。定積分を立てられても値が合わない場合は、原始関数を微分してから上下の端点を代入したかを見ます。

個別指導で確かめるなら、本人に小区間を1本描いて幅と高さを指してもらい、その積が和のどの部分に当たるか説明してもらいます。次に k = 1 と k = n を代入し、図の標本点と式が一致するかを確かめます。短冊の幅と標本点がそろうと、和の極限を定積分として読めます。