高校数学III 定積分の計算—区間と置換後の端点をそろえて値を求める｜武蔵野個別指導塾

置換前後の端点と部分積分の境界項を照合し、偶奇性の条件からも定積分の値を確かめられます。

定期テスト前の演習でよくあるのは、置換した式へ元の端点をそのまま代入するという場面です。積分する文字は変わったのに、上端と下端は元の文字の値のまま残っています。途中の原始関数が正しくても、異なる目盛りを混ぜれば最後の値は変わります。どの文字のどの値を代入しているのか、式と端点を一組にして追いましょう。

数学IIIの学習範囲には積分法が含まれます。ここでは有限の閉区間で連続な関数の定積分を扱い、値を求める計算に焦点を当てます。面積や体積への応用は別の問題として、符号付きの積分値を先に正確に出します。

どこで計算が分かれるか

定積分の問題には、原始関数を見つけて上端の値から下端の値を引く型があります。たとえば指数関数や三角関数を微分して元の被積分関数に戻ることを確かめ、端点を代入します。このとき定積分の結果は、文字を残さない数です。

次は置換を使う型です。合成された式の内側とその導関数が見えるとき、別の文字に置き換えると積分が簡単になります。新しい文字で計算を続けるなら、微分の部分と上下の端点も新しい文字に対応させます。逆に原始関数を元の文字に戻してから代入する方法なら、元の端点を使います。

もう一つは積の形を部分積分で処理する型です。境界で評価する項と、残った定積分の符号を両方書きます。また、区間が原点について対称なら偶関数や奇関数の性質が使えることもあります。どの型でも、まず被積分関数が区間全体で連続かを調べます。分母が途中で0になる式に、見かけ上の原始関数を端点で機械的に評価することはできません。

上端と下端が持つ意味

閉区間 [a, b] で連続な関数 f の原始関数を F とすると、定積分は F(b) − F(a) です。原始関数とは F′(x) = f(x) を満たす関数です。図1のように、区間の右端と左端をそれぞれ原始関数へ入れ、その差を取ります。上端と下端の順序を逆にすると符号が反対になります。

図1のように、端点を代入した2つの値は、別々に書いてから引くと見通しが立ちます。下端で負の値になった場合は、負の数を引くことに注意します。原始関数に定数を加えても両端で同じ定数が消えるので、定積分の計算では積分定数を書かずに評価できます。

置換で t = g(x) とした場合、x = a に対応するのは t = g(a)、x = b に対応するのは t = g(b) です。g が区間内で減少する場合には、新しい上端が下端より小さくなることもあります。そのまま順序を保てば微分に含まれる負号とつじつまが合います。端点を大小順に並べ替えるなら、積分全体の符号も反転させます。

偶関数は f(-x) = f(x)、奇関数は f(-x) = -f(x) を満たします。対称な区間 [-a, a] では、連続な偶関数の積分は [0, a] の積分の2倍、連続な奇関数の積分は0です。奇関数の左右の寄与は符号が反対で打ち消し合います。区間が対称でない場合や、関数がその区間全体で連続でない場合には、この形をそのまま適用できません。

置換を選ぶ前の確認

置換の候補を見つけたら、内側の式を微分したものが残りの因子とどう対応するかを調べます。完全に同じでなくても、定数倍の違いなら積分の外に出せます。たとえば内側の導関数が 4x で、式に 2x があるなら、2x dx は微分の半分です。係数を調整せずに置き換えると、端点が正しくても値が倍になるため、微分と係数を一緒に書きます。

置換後の式に x と t が混在したまま端点を入れることも避けます。t の式として積分するなら、残った x の因子も t で表せるか調べます。変換できない因子がある場合、その置換が計算を簡単にするとは限りません。元の式を展開する、あるいは別の置換を選ぶなど、変数をそろえられる方法に戻ります。

定積分の値が負になること自体は間違いではありません。被積分関数が区間の下側で負になる場合、符号付きの寄与が負になるためです。ただし、区間全体で正の関数を小さい端点から大きい端点まで積分して負の値が出た場合は、端点の引き順や置換時の負号を疑えます。この見通しは計算の点検に役立ちますが、具体的な値を求める代わりにはなりません。

連続性を調べる場所

分数の形では、分母が区間内のどこかで0にならないかを先に調べます。端点だけでなく途中も対象です。対数を含むなら真数が区間内で正であること、根号を含むなら式が実数として定義されることを確かめます。さらに、そこで使う原始関数が区間全体で微分でき、その導関数が被積分関数に一致するかを見ます。

例えば分母 x + 3 は区間 [0, 2] では3以上なので0にならず、1 / (x + 3) は連続です。これに対して区間 [-4, 0] は x = -3 を含むため、同じ式でも途中で定義されません。式の外見だけで判定せず、与えられた区間をセットで読む必要があります。

基本例題：置換の前後を対応させる

次の定積分を、整数または分数で正確に求めます。

∫₀¹ 2x(x² + 1)² dx

被積分関数は多項式なので、区間 [0, 1] で連続です。内側の x² + 1 を微分すると 2x になります。そこで t = x² + 1 と置けば、dt = 2x dx です。図2のように端点も同じ対応表に入れます。

図2のように x = 0 なら t = 1、x = 1 なら t = 2 です。元の式の 2x dx を dt に、括弧内を t に直すと、

∫₀¹ 2x(x² + 1)² dx = ∫₁² t² dt

となります。t² の原始関数は t³ / 3 です。微分すると t² に戻るので、定積分の基本定理から、

∫₁² t² dt = [t³ / 3]₁²

= 2³ / 3 − 1³ / 3

= 8 / 3 − 1 / 3

= 7 / 3

です。角括弧の下と上に書いた値は、それぞれ t の下端と上端です。上端を先に代入し、下端での値を引きました。

元の文字へ戻す方法でも照合します。t³ / 3 に t = x² + 1 を戻すと、原始関数は (x² + 1)³ / 3 です。これを微分すると、合成関数の微分により 2x(x² + 1)² になります。元の上端 x = 1 で 8 / 3、下端 x = 0 で 1 / 3 なので、差は同じく 7 / 3 です。式を戻した場合に限って元の端点を使う、と整理できます。

なお、t の式に 0 と 1 を入れると 1 / 3 になりますが、それは t が0から1まで動く別の積分です。計算の最後の引き算だけを見直しても、この取り違えは見つかりません。どの変数の区間かを置換の行で確認することが必要です。

部分積分と対称性の分かれ目

次の定積分を、e を含む正確な式で求めます。

∫₀¹ x eˣ dx

x と eˣ は区間 [0, 1] で連続です。積の微分 (uv)′ = u′v + uv′ を積分すると、∫ u v′ dx = [uv] − ∫ u′v dx という関係になります。ここでは u = x、v′ = eˣ と選ぶと、u′ = 1、v = eˣ です。x を微分すると簡単になり、残る積分も計算できます。

∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx

= (e − 0) − [eˣ]₀¹

= e − (e − 1)

= 1

境界項の下端は 0 × e⁰ = 0 です。残る積分の下端は e⁰ = 1 なので、同じ0を入れても値は同じではありません。括弧の前の負号を配るときも注意します。原始関数 (x − 1)eˣ を微分すると eˣ + (x − 1)eˣ = x eˣ です。上端で0、下端で -1 となり、その差が1であることからも答えを確認できます。

一方、区間が [-1, 1] で被積分関数が x eˣ なら、奇関数とはいえません。x の符号は反転しますが、eˣ は e⁻ˣ に変わり、元の値とは一般に一致しないからです。積に x が含まれることだけでは判定せず、式全体に -x を代入します。対称な区間であっても、この確認を通らなければ部分積分で端点を評価します。

端点を混ぜた誤答を直す

基本例題で t = x² + 1 と置いた後、「∫₀¹ t² dt = 1 / 3」とする誤答を考えます。原因は、元の x の端点を t の値として読み替えてしまったことです。下端 x = 0 は t = 0 ではなく t = 1 に対応します。図3のように、対応する端点を置換式に実際に代入すれば食い違いに気づけます。

図3のように、正しい区間は t = 1 から t = 2 です。修正後は [t³ / 3]₁² = 7 / 3 となります。誤答の 1 / 3 は t の区間が違うため、原始関数の微分が合っていても正答にはなりません。

もう一つの失敗は、区間内に定義されない点があるのに端点だけを調べることです。たとえば ∫₋₁¹ (1 / x²) dx では x = 0 で分母が0になります。両端の値が計算できても、閉区間全体で連続という前提を満たさないため、ここで扱う基本定理をそのまま使えません。原始関数 -1 / x に両端を入れて負の数を答える操作は採用できません。

また、奇関数だから積分値は0と急いで結論する誤りもあります。区間が対称か、関数が区間内で連続か、f(-x) = -f(x) かを別々に確認します。どれかが満たされないときは、条件を補ったつもりで公式を使わず、問題の区間と定義域に戻ります。

自分で手を動かす問題

次の4問は、各区間で被積分関数が連続であることも確かめてから解きます。答えは整数、分数、または e を含む正確な式で表してください。三角関数の角は弧度法です。

1. ∫₀² 3(x + 1)² dx を、t = x + 1 と置いて求めてください。
2. ∫₀¹ x e²ˣ dx を部分積分で求めてください。
3. ∫₋₂² (x³ + x²) dx を偶奇性を使って求めてください。
4. ∫₀¹ (1 − x)⁴ dx を、t = 1 − x と置いて求めてください。置換後の端点の順序も書いてください。

解答と確認

1. 多項式なので [0, 2] で連続です。t = x + 1、dt = dx とすると、x = 0 で t = 1、x = 2 で t = 3 です。したがって

   ∫₀² 3(x + 1)² dx = ∫₁³ 3t² dt = [t³]₁³ = 27 − 1 = 26。

   元の文字での原始関数は (x + 1)³ で、微分すると被積分関数に戻ります。元の端点でも 3³ − 1³ = 26 と確認できます。

2. x e²ˣ は [0, 1] で連続です。x を微分し、e²ˣ を積分すると e²ˣ / 2 なので、

   ∫₀¹ x e²ˣ dx = [x e²ˣ / 2]₀¹ − ∫₀¹ e²ˣ / 2 dx

   = e² / 2 − [e²ˣ / 4]₀¹

   = e² / 2 − (e² − 1) / 4 = (e² + 1) / 4。

   原始関数は x e²ˣ / 2 − e²ˣ / 4 です。微分すると e²ˣ / 2 + x e²ˣ − e²ˣ / 2 = x e²ˣ に戻ります。上端の値 e² / 4 から下端の値 -1 / 4 を引いても同じ答えです。

3. 多項式なので [-2, 2] で連続です。x³ は奇関数、x² は偶関数ですから、奇関数の積分は0、偶関数の積分は右半分の2倍です。

   ∫₋₂² (x³ + x²) dx = 0 + 2∫₀² x² dx

   = 2[x³ / 3]₀² = 16 / 3。

   原始関数 x⁴ / 4 + x³ / 3 を使っても、上端は 4 + 8 / 3、下端は 4 − 8 / 3 で、差は 16 / 3 です。偶奇を項ごとに確認した結果と一致します。

4. (1 − x)⁴ は [0, 1] で連続です。t = 1 − x なら dt = -dx で、x = 0 に t = 1、x = 1 に t = 0 が対応します。順序を保つと、

   ∫₀¹ (1 − x)⁴ dx = -∫₁⁰ t⁴ dt = ∫₀¹ t⁴ dt

   = [t⁵ / 5]₀¹ = 1 / 5。

   端点を入れ替えたとき、外の負号も反転しています。元の変数での原始関数は -(1 − x)⁵ / 5 で、微分すると (1 − x)⁴ です。上端の0から下端の -1 / 5 を引いても 1 / 5 です。

手元に残す要点

• 区間全体の連続性を確かめ、原始関数を微分で照合します。
• 定積分は原始関数の上端の値から下端の値を引きます。
• 置換後の文字で評価するなら、微分と端点もその文字に直します。
• 部分積分では境界項と残る積分の負号を保ちます。
• 偶奇性は関数と区間の両方を調べて使います。

答えが合わないときの見分け方

原始関数を微分して元の式へ戻らなければ、積分の公式か合成関数の係数を見直します。微分が合うのに定積分値が違う場合は、上下の代入値と引き算を別行にします。置換の問題なら、端点を置換式に代入した行があるかを先に見ます。

個別指導で確かめるなら、答えを言い直す前に、本人に「この1と2は何の値か」を式に沿って説明してもらいます。部分積分では、境界項の下端と残る積分の下端を別々に計算できるかを見ます。連続性の条件を見落とした場合は、分母が0になる点を区間上に置いて、端点以外も調べる理由を確かめます。端点と変数が対応すれば、定積分の値は一つに定まります。