高校数学III 分数関数と三角関数の積分—式を分解して使う公式を選び直す｜武蔵野個別指導塾

分母の和を項別に扱う誤りを直し、部分分数分解と三角恒等式から積分の形を選ぶ道筋をたどります。分子と分母の形から変形を選びます。

定期テスト前の演習でよくあるのは、分母が和になった分数を見て、それぞれの項を分母にした分数へ分け、そのまま積分しようとする場面です。積分は和について分けられますが、分母の和については同じ操作ができません。まず分数そのものが等しい形に変わっているかを確かめてから、公式を選びます。

ここで扱うのは、分数関数の簡単な部分分数分解と平方完成、三角関数の積を恒等式で整える計算です。積分の応用として面積を求める話には広げず、式の変形と原始関数の確認に焦点を当てます。

どの形を見て手を選ぶか

出方の1つ目は、分母が異なる1次式の積に因数分解できる分数です。各因数を分母とする分数の和に直し、通分して係数を決めます。分母が0になる点では元の式が定義されないので、不定積分ではその点を除いた区間を考えます。

2つ目は、分母が2次式で、平方完成すると2つの1次式の積になる場合です。分子にも注目し、分母の微分に比例する部分と残りを分けると、対数の形と部分分数に移れます。平方完成の結果が平方と正の定数の和になる場合には、実数の1次式の積にできるとは限りません。その場合を無理に同じ手順に押し込まないことも判断の一部です。

3つ目は、sin や cos の積や2乗を含む積分です。加法定理から得られる恒等式を使って、積分しやすい和へ変えます。三角関数の角は弧度法で扱い、最後に微分して係数と符号を確かめます。

等式を作ってから積分する

部分分数分解は、分母を勝手に分ける操作ではなく、元の分数に等しい和を探す操作です。図1のように、分母が1次式の積ならそれぞれを分母とする項を置き、通分して分子を比べます。等式が成立する範囲も、元の分母が0でないところに限ります。

たとえば 1/((x − 1)(x + 1)) を A/(x − 1) + B/(x + 1) と置きます。右辺を通分すると、分子は A(x + 1) + B(x − 1) です。これが恒等的に1となるには A + B = 0、A − B = 1 なので、A = 1/2、B = -1/2 です。通分し直すと分子は1に戻り、分解が確かめられます。

積分で使う基本形は、a が0でないとき ∫1/(ax + b) dx = (1/a) log|ax + b| + C です。対数の絶対値の中身が0にならない区間で、右辺を微分すると 1/(ax + b) に戻ります。C は積分定数です。区間をまたいで同じ定数を使う必要はなく、分母が0の点をまたいで定積分することもできません。

三角関数では cos 2x = 1 − 2sin²x から sin²x = (1 − cos 2x)/2 が得られます。2乗のまま公式を探す前に、加法定理から使える等式へ変えるのが出発点です。sin 2x を微分すると 2cos 2x なので、積分するときには係数の2を補正します。

基本例題：2つの因数へ分ける

次の不定積分を、対数と積分定数 C を用いて求めてください。x > 3 とします。

∫(2x + 1)/((x − 1)(x − 3)) dx

x > 3 では2つの分母はいずれも0でなく正です。図2のように、積分の前に2つの係数を決めます。

まず次の等式を置き、右辺を通分します。

(2x + 1)/((x − 1)(x − 3)) = A/(x − 1) + B/(x − 3)

2x + 1 = A(x − 3) + B(x − 1)

右辺を整理すると (A + B)x − 3A − B です。x の係数と定数項を比べて、

A + B = 2、-3A − B = 1

を得ます。1つ目から B = 2 − A として2つ目に代入すると、-2A − 2 = 1 です。よって A = -3/2、B = 7/2 となります。実際に通分した分子は (-3/2)(x − 3) + (7/2)(x − 1) = 2x + 1 です。

したがって、積分の線形性を使い、各項を積分します。

∫(2x + 1)/((x − 1)(x − 3)) dx

= ∫{(-3/2)/(x − 1) + (7/2)/(x − 3)} dx

= -(3/2) log(x − 1) + (7/2) log(x − 3) + C

指定した区間では対数の真数が正なので、絶対値を外しています。微分して元に戻すと、-(3/2)/(x − 1) + (7/2)/(x − 3) です。通分した分子が 2x + 1 になることは上で確かめたので、答えは元の被積分関数に戻ります。

係数を決める際、分母が0になる x = 1 や x = 3 を元の分数へ代入してはいけません。一方、通分後の分子の等式は多項式の恒等式です。そちらには値を代入でき、x = 1 から -2A = 3、x = 3 から 2B = 7 としても同じ係数が求まります。どの式に代入するかを区別します。

平方完成と分子を一緒に見る

次の不定積分を、絶対値を含む対数と積分定数 C を用いて求めてください。x > 2 とします。

∫(3x + 1)/(x² − 2x − 3) dx

まず分母を平方完成すると、x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4 = (x − 3)(x + 1) です。ただし条件 x > 2 には x = 3 が含まれ、そこでは元の式が定義されません。したがって 2 < x < 3 と x > 3 のそれぞれで考え、積分定数も区間ごとに選びます。

分母の微分は 2x − 2 なので、分子をそれに合わせて

3x + 1 = (3/2)(2x − 2) + 4

と分けます。前半は対数の微分の形になり、残りは部分分数分解できます。実際に

4/((x − 3)(x + 1)) = 1/(x − 3) − 1/(x + 1)

です。右辺の分子は (x + 1) − (x − 3) = 4 になります。よって各区間で、答えは

(3/2) log|x² − 2x − 3| + log|x − 3| − log|x + 1| + C

です。微分すると、(3/2)(2x − 2)/(x² − 2x − 3) + 4/(x² − 2x − 3) となります。分子を合わせれば 3x + 1 に戻り、元の分数と一致します。2 < x < 3 では分母が負ですが、絶対値を使った対数はこの区間でも定義され、同じ微分式を与えます。

分かれ目は、平方完成後の形と区間です。差の平方になれば因数分解できますが、たとえば (x − 1)² + 4 は実数の範囲で同じようには分けられません。また、分解できても分母が0の点を含む区間全体では原始関数を1つの式として扱えません。式の形だけでなく、どこで計算するかを先に確かめます。

三角関数の積を和へ変える

もう1つ、異なる三角関数の積を見ます。次の不定積分を三角関数と積分定数 C を用いて求めてください。x は実数です。

∫sin(2x) cos(2x) dx

倍角の公式 sin(2θ) = 2sin θ cos θ に θ = 2x を入れると、被積分関数は (1/2) sin(4x) です。sin(4x) の原始関数は、cos(4x) を微分すると -4sin(4x) になることから -(1/4) cos(4x) です。したがって、

∫sin(2x) cos(2x) dx = -(1/8) cos(4x) + C

となります。右辺を微分すると (1/2) sin(4x) で、倍角の公式から最初の積に戻ります。角の2倍と微分による4倍は別々に現れるため、変形の行と積分の行を分けると係数を追えます。

別の見方として、sin(2x) の微分は 2cos(2x) です。sin²(2x) を微分すれば 4sin(2x)cos(2x) なので、原始関数を (1/4) sin²(2x) + C と表しても構いません。2つの式の差は、cos(4x) = 1 − 2sin²(2x) により定数 1/8 です。積分定数を選び直せるため、見た目が違っても同じ原始関数の集まりを表します。

三角関数の分数についても、まず分母が0にならない範囲を確認します。たとえば 1/cos²x は cos x が0になる点では定義されません。その点を含まない区間では tan x の微分が 1/cos²x なので積分できますが、区切られた区間ごとに積分定数を考えます。積を和にする方法と、微分公式に直接戻る方法のどちらが使えるかは、与えられた式を見て選びます。

誤答の出どころを逆にたどる

図3のように、1/(x + 2) を 1/x + 1/2 と分けるのは誤りです。例えば x = 2 では左辺が 1/4、右辺が 1 となり、両辺が一致しません。積分できる形に見えても、その前の等式が成立していなければ答えにはつながりません。

原因は、和の積分を項ごとに分ける規則を、分母の和にも適用してしまうことです。積分の線形性は ∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx という、被積分関数自体の和に対する規則です。1/(x + 2) は 1/x と 1/2 の和ではありません。

修正するときは、まず右辺を通分します。1/x + 1/2 = (x + 2)/(2x) であり、元の分数とは異なります。元の式は分けずに ∫1/(x + 2) dx = log|x + 2| + C とし、x = -2 を除く区間で微分して確認します。誤った右辺は x = 0 でも定義されず、定義域まで変えてしまいます。

別の失敗は、正しい分解の後で係数を落とすことです。たとえば ∫1/(2x + 1) dx を log|2x + 1| + C とすると、微分結果は 2/(2x + 1) です。答えを (1/2) log|2x + 1| + C に直せば元の分数へ戻ります。通分による確認と微分による確認は、それぞれ異なる段階の間違いを見つけます。

練習：変形の選択と区間を確かめる

次の問題は、分数や三角関数の形を見てから解いてください。積分定数は C とし、不定積分は指定された区間で求めます。定積分の答えは対数を含む正確な式で表します。

1. x > 4 で ∫1/((x − 2)(x − 4)) dx を、対数と C で表してください。
2. x > 1 で ∫(2x + 2)/(x² + 2x − 3) dx を、対数と C で表してください。
3. ∫sin²(3x) dx を、三角関数と C で表してください。x は実数です。
4. ∫₀¹ (1/(x + 2) − 1/(x + 4)) dx を求めてください。

解答と途中の確認

1. A/(x − 2) + B/(x − 4) と置くと、1 = A(x − 4) + B(x − 2) です。x = 2 と x = 4 を多項式の等式に代入して A = -1/2、B = 1/2 を得ます。したがって答えは

   -(1/2) log(x − 2) + (1/2) log(x − 4) + C

   です。x > 4 では両方の真数が正です。微分後に通分すると分子が -(x − 4)/2 + (x − 2)/2 = 1 になり、元の被積分関数へ戻ります。

2. 分母を平方完成すると x² + 2x − 3 = (x + 1)² − 4 = (x − 1)(x + 3) です。x > 1 では分母が正で、分子は分母の微分と一致します。答えは log(x² + 2x − 3) + C です。微分すると (2x + 2)/(x² + 2x − 3) となり、指定区間で元の分数に戻ります。分母を分解できても、分子を見れば今回は部分分数分解を経ずに求められます。

3. 恒等式から sin²(3x) = (1 − cos(6x))/2 です。したがって答えは x/2 − sin(6x)/12 + C です。微分すると 1/2 − cos(6x)/2 となり、倍角の公式で sin²(3x) に戻ります。6x の微分による係数を忘れると元の式に戻らないので、最後の確認が有効です。

4. 区間 0 ≤ x ≤ 1 では x + 2 と x + 4 が正です。原始関数を log(x + 2) − log(x + 4) として端点を代入すると、

   (log 3 − log 5) − (log 2 − log 4)

   = log(6/5)

   です。微分すると指定された被積分関数に戻ります。上端では真数が3と5、下端では2と4になることをそれぞれ確認してから、対数の性質でまとめます。

手元に残す要点

分母の和は項別に分けず、等しい式を作ってから積分します。
部分分数は通分して分子を戻し、分母が0の点を除きます。
平方完成後の形と分子を見て、因数分解や対数の形を選びます。
三角恒等式で整えたら、角の係数に注意して積分します。
答えは微分し、定積分なら端点と区間にも戻して確かめます。

途中のどこで止まったか

式変形に迷ったときは、積分記号をいったん外し、変形前後を通分して同じ分子になるか説明してみます。分数の等式ができているのに答えが合わない場合は、原始関数の微分で係数や符号を調べます。正しい式が出ても分母が0になる点を見落とすと、区間の指定は不十分です。

個別指導で確かめるなら、係数を置いた行、対数の真数を決めた行、微分で戻した行を本人の答案から順に見ます。どこまで等式が保たれたかを言葉と計算で示せれば、次の分数積分にも判断をつなげられます。