高校数学III 曲線で囲まれた面積—交点と上下関係を調べて積分区間を分ける｜武蔵野個別指導塾

指数曲線と直線の上下を比べ、正弦曲線では区間を分けて面積を足します。yで積分する領域も取り上げます。

定期テスト前の演習で、曲線と軸の間を積分したところ、定積分の値が負になり、そのまま面積として答える場面があります。定積分は軸より下の部分を負に数えるので、図形の面積とはそのまま一致しないことがあります。交点を境に、どちらの曲線が上にあるかを調べてから式を作れば、負の面積を答える間違いを避けられます。

どの境界を引き算するか

面積の問題では、まず交点と指定された直線を探し、どこからどこまでが囲まれた領域かを決めます。曲線とx軸の間なら、曲線の値の符号が切り替わる位置が分割の候補です。2曲線の間なら、交点を求めて各区間で上下を比べます。計算の前に図を描くと、積分する領域を取り違えにくくなります。

もう1つの型は、縦ではなく横に細く切る方法です。左右の境界がxをyで表した式として簡単になる場合、右端から左端を引いてyで積分できます。同じ図形でも、選んだ変数によって分ける回数が変わります。どちらを使う場合も、切り口が実際に領域の中を走ることと、端点が境界上にあることを確認します。

学習指導要領の数学IIIには、積分の応用として面積が含まれています。ここでは指数関数や平方根を含む曲線の面積を扱い、体積や曲線の長さには立ち入りません。

符号つきの積分と図形の幅

連続な関数f(x)が区間a≦x≦bで0以上なら、曲線y=f(x)、x軸、両端の直線で囲まれた面積は∫[a,b] f(x) dxです。0以下なら、縦の長さは0 − f(x)なので、面積は∫[a,b] -f(x) dxです。定積分の符号が負であっても、図形の長さや面積を負にはしません。

図1のように、上側の高さから下側の高さを引くと、縦の切り口の長さになります。上下を表す関数をそれぞれu(x)、v(x)とすると、u(x)≧v(x)の区間で面積は∫[a,b] (u(x) − v(x)) dxです。2本ともx軸より下にあっても、上の値から下の値を引けば正しい長さになります。

図1の縦線は、同じxにおける上端と下端を結んでいます。差の順序を記号で覚えるだけでなく、その線の長さとして読むことが大切です。交点では差が0になり、交点の両側で差の符号が変わることがあります。したがって、交点を求めた後、各区間の適当な点で符号を調べます。交点があっても必ず上下が入れ替わるとは限らないため、図の印象だけで決めません。

横に切るときは、同じyで右端のx座標から左端のx座標を引きます。式を変形して得た境界が元の曲線の条件を満たすことも必要です。例えば平方して式を変える場合、元の平方根は負にならないので、yの範囲を添えて余分な部分を除きます。交点が求まらない、または領域が閉じていない場合は、勝手に積分区間を作らず、与えられた条件を見直します。

基本例題：指数関数と直線

問題：曲線y=eˣ、直線y=1、直線x=1で囲まれる部分の面積を、eを含む正確な式で求めてください。

まず曲線と直線y=1の交点を求めます。eˣ=1よりx=0で、交点は(0, 1)です。指数関数は増加するので、0≦x≦1ではeˣ≧1です。もう一方の端は問題で与えられたx=1です。図2のように、縦の長さはeˣ − 1であり、0から1まで足します。

面積をSとすると、

S = ∫[0,1] (eˣ − 1) dx

= [eˣ − x]₀¹

= (e − 1) − (1 − 0)

= e − 2。

原始関数eˣ − xを微分するとeˣ − 1に戻ります。下端の値は1であり、上端から引くことまで書くと定数の落とし忘れを防げます。eˣは区間全体で連続なので、この定積分を使えます。図2でx=1の縦の切り口はe − 1で正です。区間内でも上側がeˣ、下側が1という元の条件に戻して、引き算の順序を確かめられます。

境界を間違えてx軸まで塗ると、求める領域の下に長方形を余分に含めます。また、1 − eˣを積分すると2 − eとなり、負の値です。負号を最後に消すのではなく、上と下を入れ替えた箇所に戻れば、どの図形を計算したのかも説明できます。

交点で上下が変わるとき

問題：0≦x≦2において、曲線y=eˣと直線y=1 + (e² − 1)x/2の間の面積を、eを含む正確な式で求めてください。

両端で2つの値は等しくなります。内側での上下は、差を調べて決めます。f(x)=eˣ − 1 − (e² − 1)x/2とおくと、f(0)=f(2)=0、f′(x)=eˣ − (e² − 1)/2です。さらにf′′(x)=eˣ>0なので、f′は増加します。fは[0, 2]で連続、(0, 2)で微分可能で、f(0)=f(2)=0です。平均値の定理より、0<c<2を満たすcでf′(c)=0となり、f′が厳密に増加することからf′(0)<0、f′(2)>0が従います。よってfは途中まで減少し、その後増加します。両端で0なので、内側ではf(x)<0です。

このため直線が上、指数曲線が下です。面積は

∫[0,2] (1 + (e² − 1)x/2 − eˣ) dx

= [x + (e² − 1)x²/4 − eˣ]₀²

= (2 + e² − 1 − e²) − (0 − 1)

= 2。

原始関数を微分すると、最初の被積分関数に戻ります。両端の高さはそれぞれ1とe²で一致し、途中では直線が上なので、元の2本の境界の間を正の長さで足しています。なお、この例では途中に交点がなく、分割は不要です。端点以外にも交点がある問題では、差が0となる点を見つけて、その左右で同じ判定を行います。

例えば上下の差がx=1で符号を変えるなら、全区間で一方から他方を引くと、正と負が相殺されます。交点ごとに区間を分け、各区間で大きい方から小さい方を引いた積分を足します。交点で接するだけで符号が変わらないなら、分けても面積は変わりませんが、調べずに順序を逆転させてはいけません。区間の端が交点でない場合も、指定された直線までを境界に含めます。

負の答えが出た式を直す

誤答の例として、0≦x≦πでy=sin xとy=0の間の面積を∫[0,π] -sin x dx = -2とする場合を考えます。sin xはこの区間で0以上なので、負の被積分関数は上から下を引いていません。図3のように、上はsin x、下は0です。正しい式は∫[0,π] sin x dx = [-cos x]₀π = 2です。角度は弧度法で、原始関数の微分もsin xに戻ります。

図3の曲線と軸は両端で交わり、その間では曲線が上にあります。誤りの原因は、積分結果の符号ではなく、縦の長さを逆向きに引いたことです。もし正弦曲線が軸を横切る区間なら、交点を探して区切り、それぞれの区間で軸と曲線の上下を判定します。全体の定積分に絶対値を付けるだけでは、軸の上下の面積が相殺される場合を直せません。

また、グラフを描いた後に式の定義域を忘れる場合があります。根号を含む曲線は、根号の中が0以上の範囲でしか使えません。交点を求めるために両辺を二乗したときは、得た値を元の式に代入し、符号と定義域を検査します。条件に合わない解を積分の端にすると、計算が正確でも別の領域を求めてしまいます。

練習：領域を言葉と式で表す

次の各問は面積を求めます。すべて正確な式で答え、必要ならπを残してください。問題を全部読んでから解答に進みます。

1. 曲線y=eˣ、直線y=1、直線x=log 2で囲まれた部分の面積を求めてください。logは自然対数です。
2. 0≦x≦2πで曲線y=sin xとx軸で囲まれた部分の面積の合計を求めてください。
3. 曲線y=√xと直線y=xで囲まれた部分の面積を求めてください。
4. 曲線x=y²と直線x=2yで囲まれた部分の面積を、yについて積分して求めてください。

解答と確かめ方

1. eˣ=1の解はx=0です。0≦x≦log 2で曲線が直線より上なので、

S = ∫[0,log 2] (eˣ − 1) dx

= [eˣ − x]₀ˡᵒᵍ ²

= (2 − log 2) − 1 = 1 − log 2。

微分してeˣ − 1に戻ります。両端ではe⁰=1、eˡᵒᵍ ²=2であり、指定された直線と交点に戻ります。log 2>0で、区間内の縦の長さは負になりません。曲線だけの積分から高さ1の長方形を引いた式としても読めます。

2. sin xはx=0、π、2πで0です。0からπでは正、πから2πでは負なので、符号の異なる部分を分けます。

S = ∫[0,π] sin x dx + ∫[π,2π] -sin x dx

= [-cos x]₀π + [cos x]π²π

= 2 + 2 = 4。

2つの原始関数を微分するとそれぞれsin xと-sin xです。各区間で軸から曲線までの距離を足しているので、元の面積の合計に戻ります。全区間の∫[0,2π] sin x dxは0ですが、これは上下の符号つきの値が打ち消し合った結果です。

3. 定義域はx≧0です。√x=xを二乗するとx=x²なのでx=0または1です。どちらも元の式を満たします。0≦x≦1では√x≧xですから、

S = ∫[0,1] (√x − x) dx

= [(2/3)x√x − x²/2]₀¹

= 2/3 − 1/2 = 1/6。

原始関数の導関数は区間の内部で√x − xに戻り、端点でも連続です。交点は(0, 0)と(1, 1)で元の2つの式を満たし、切り口の上端と下端も問題の曲線に戻ります。

4. 交点のy座標はy²=2yからy=0、2です。対応するx座標は0、4です。0≦y≦2では2y≧y²なので、右端はx=2y、左端はx=y²です。

S = ∫[0,2] (2y − y²) dy

= [y² − y³/3]₀²

= 4 − 8/3 = 4/3。

微分すると2y − y²に戻ります。例えばy=1で左端は1、右端は2で、横の長さは1です。端点(0, 0)、(4, 2)も両方の境界式を満たします。縦に切る場合は、同じ領域を表す平方根の枝と範囲の確認が必要です。

区間を決める前に調べること

面積の式が立たないときは、積分の公式を探す前に境界を一覧にします。曲線同士の交点だけで閉じているのか、問題で指定された直線が端を作るのかを分けて考えます。例えば基本例題では、x=1は2曲線の交点ではありませんが、右側の境界です。交点だけを端点として探すと、指定された領域を見落とします。逆に、式の交点が複数あっても、指定された範囲の外にある点まで積分することはできません。

計算が途中で止まったときは、別の切り方も調べます。縦の切り口が同じ領域を2つの部分に分けるなら、それぞれの上端と下端を書きます。横に切れば右端と左端が区間全体で同じ式になる場合もあります。ただし、変数を変えただけでは端点は変わりません。xの値をyの積分端にそのまま使わず、端点の座標からyの値を読み取ります。各切り口が領域の外まではみ出していないか、図で確認してください。

計算結果が0になった場合も、すぐに面積がないと判断しません。曲線と軸の上下が入れ替わると、正負の定積分が相殺されるからです。上下に広がりのある領域なら、分けた各部分に正の面積があるはずです。各部分が正になる式を立て直し、その和を取り直します。一方、2本の境界が区間全体で一致するなら切り口の長さは0で、面積も0です。図の見た目と式の双方を確かめると、どちらの場合か区別できます。

原始関数が見つかった後でも、端点の代入は別の確認箇所です。上端の値を求め、下端の値全体を括弧に入れて引きます。負の値を引くときに符号が変わることを記録すれば、定積分の計算で面積が負になる誤りを減らせます。結果が正でも、上下の順序や分割が正しい証明にはなりません。正の値であることと、元の領域を過不足なく足していることの両方を見ます。

面積を立てる順番

交点と指定された境界から積分区間を決めます。 各区間で上から下、または右から左を引きます。 上下が変わる点では区間を分けて面積を足します。 原始関数を微分し、端点と境界を元の条件に戻します。

式のどこで迷ったかを見分ける

交点は合っているのに答えが負になるなら、本人が書いた差の式を見て、どちらの高さを先に引いたかを図に対応させます。途中で上下が変わるのに1本の積分で済ませた場合は、交点の左右で試した値と符号を書き出します。平方根の交点が合わない場合は、二乗前の式へ代入して定義域を確認します。

個別指導では、まず本人に細い切り口の両端を指してもらい、その長さを式にしてもらいます。次に積分区間の端が何の境界から決まったかを尋ね、最後に原始関数の微分と答えの符号を確認します。図と式を往復できれば、曲線で囲まれた領域を自分で面積に直せます。