高校物理基礎 音と固有振動—弦と気柱の節と腹から振動数の条件を求める｜武蔵野個別指導塾

閉端の節と開端の腹から気柱の波長を決め、弦や開管の倍振動と比べます。うなりから求める振動数には2候補が残る場合もあります。

よくあるのは、高校生が閉管の閉じた端を腹として描き、開いた端と同じ条件で波長を求めてしまう場面です。管の中の空気は音とともに振動しますが、閉じた壁に接する空気は壁を通り抜けられません。空気の変位に注目すれば、閉端は動きが最も小さい節、開端は動きが最も大きい腹として考えます。端を先に書き込むと、図と式の対応をたどれます。

どこから式を立てるか

音の問題では、まず音の高さ、大きさ、音色をそれぞれ何が決めるかを説明する型があります。次に、弦や気柱の端の条件から定常波を描き、長さと波長の関係を求める型があります。さらに、近い振動数の2音が重なったときのうなりを扱う型では、振動数の差を使います。

どの型でも、問題文の量を単位とともに拾うことが出発点です。長さが与えられていても、波の速さがなければ振動数の数値は決まりません。また、振動数だけが与えられていても、振幅は決まりません。数字が並んでいるからといって全部を掛け合わせず、問われた量とつながる関係を選びます。

ここでの気柱は管内の空気の柱で、端の補正は無視します。弦の両端は固定され、媒質中の波の速さはそれぞれの問題で一定とします。音源や観測者の移動による振動数の変化は扱いません。音の伝わる速さと、空気の各部分が行き来する速さは別の量です。

音の性質と端の条件

音は媒質の振動が伝わる波です。空気中では、空気の各部分が音の進行方向に沿って前後に振動し、密な部分と疎な部分が伝わります。空気全体が音源から受け手まで一方向に移動するという意味ではありません。音の高さは振動数に対応し、振動数が大きいほど高い音です。音の大きさは振幅に関係し、条件が同じなら振幅が大きいほど大きい音になります。

音色は波形の違いに関係します。同じ高さと大きさでも、基本振動に重なる成分の違いによって波形が異なり、音色が変わります。高さと大きさを両方、振動数で判断するのは誤りです。たとえば振動数を変えず振幅を増やしたなら、同じ高さのまま音の大きさが変わると考えます。

物体や気柱には、条件によって定まる固有振動数があります。外から周期的な力を加えると、その振動数が固有振動数に近いとき大きく振動することがあり、これを共振といいます。固有振動数は必ず1種類とは限らず、基本振動とその上の振動の条件があります。外から力を加えれば、どの振動数でも同じ程度に大きくなるわけではありません。

図1のように、両端固定の弦は両端が変位の節です。開管は両端が空気の変位の腹、閉管は閉端が変位の節で開端が腹です。図は各基本振動の変位の振幅を模式的に示しています。実際の空気の振動方向は管に沿う方向ですが、節と腹を見やすくするため横方向のふくらみで表しています。

図1で隣り合う節と腹の距離は波長の4分の1です。節から次の節、または腹から次の腹までは波長の2分の1です。両端固定の弦と開管の基本振動は長さ L が半波長、閉管の基本振動は L が4分の1波長になります。波長を λ、波の速さを v、振動数を f とすると、共通の関係は v = fλ です。まず図から λ を出し、次に f = v / λ を使います。

同じ長さの管でも、開閉の条件を変えれば基本振動の波長が変わります。たとえば長さを文字 L のまま比べると、開管は 2L、閉管は 4L です。音速が同じなら、閉管の基本振動数は開管の半分です。これは管の長さを変えた結果ではなく、端に収まる波の形を変えた結果です。両端の条件と波長の関係を先に示せば、この比較を数字に頼らず説明できます。

気柱で「節」と言う際は何の節かを確かめます。ここでは空気の変位の節と腹です。圧力の変化の大きさで見た節と腹は入れ替わるため、圧力の図を見たときにそのラベルを変位の図へそのまま写してはいけません。端の開閉と、描いている量の2つを確認します。

基本例題：閉管の基本振動

長さ 0.80 m の片端を閉じた管を考えます。管内の音速を 320 m/s とし、端の補正は無視します。基本振動の波長を m、振動数を Hz で求め、答えは小数または整数で表してください。空気の変位を扱い、管の閉端から開端へ向かう向きを位置の正方向とします。

図2のように、左の閉端に節、右の開端に腹を書きます。基本振動はその間に余分な節や腹を入れない最も長い波長の形です。節から腹までが波長の4分の1なので、長さと波長の関係は次のようになります。

図2の管の長さを L、波長を λ とすると、

L = λ / 4

0.80 = λ / 4

λ = 4 × 0.80 = 3.2 m

です。続いて波の速さの関係に代入します。

v = fλ

f = v / λ = 320 / 3.2 = 100 Hz

したがって波長は 3.2 m、振動数は 100 Hz です。波長が管の長さより長くても問題ありません。管内に入っているのは波の4分の1に対応する部分だからです。端の位置が波全体の端だと思うと、管の長さをそのまま波長と取り違えます。

答えを条件に戻します。3.2 m の4分の1は 0.80 m で管の長さに一致し、100 Hz と 3.2 m の積は 320 m/s で与えられた音速に戻ります。Hz は1秒あたりの振動回数なので、Hz と m の積は m/s に対応します。2つの照合で、端の条件と単位の両方を点検できます。

途中で L = λ / 2 と置いた場合は、計算を続ける前に両端がどの種類の点になるか描き直します。半波長の両端は節と節、または腹と腹です。閉端と開端の組にはそのまま当てはまりません。反対に、音速の値を落とした場合は、図から波長まで求めても Hz の数値は決められません。速さを文字 v のまま残して f = v / (4L) と表すところで止めます。

次の振動と、うなりを分けて考える

長さ 0.60 m の両端が開いた管内の音速を 300 m/s とします。端の補正は無視します。基本振動と、その次に低い固有振動の波長と振動数をそれぞれ求め、波長は小数、振動数は整数で表してください。空気の変位を扱い、管の左端から右端を位置の正方向とします。

開管の両端は腹です。基本振動では腹と腹の間に節が1つあり、L = λ / 2 です。よって λ = 2L = 1.2 m、f = 300 / 1.2 = 250 Hz です。次の振動では腹、節、腹、節、腹の順に並びます。管の長さに半波長が2つ入るので、L = λ となります。したがって λ = 0.60 m、f = 300 / 0.60 = 500 Hz です。基本振動の2倍の振動数なので、これを2倍振動と呼びます。

確かめると、基本振動の波長 1.2 m の半分も、次の振動の波長 0.60 m も、管の長さ 0.60 m に戻ります。250 × 1.2 = 300、500 × 0.60 = 300 で、いずれも与えられた速さです。同じ管で音速を一定とすれば、波長が半分になったとき振動数は2倍になります。

閉管へ替えると分かれ目があります。閉端を節、開端を腹とする条件は変わらないため、基本振動の次は管内に4分の1波長が3つ入る形です。L = 3λ / 4 となり、同じ長さと音速なら基本振動の3倍の振動数です。2倍の振動数を当てはめると、閉端と開端を節と腹にできません。閉管では基本振動の奇数倍の振動数が現れます。弦や開管で得た倍数を、端を見ずに閉管へ移さないことが重要です。

うなりは別の現象です。近い振動数の2つの音が重なると、強め合う状態と弱め合う状態が繰り返され、音の大きさが周期的に変化します。1秒あたりのうなりの回数は2つの振動数の差の絶対値です。たとえば 260 Hz と 264 Hz なら、1秒あたり 4 回です。どちらを先に引いても回数は負になりません。

ただし、片方が 260 Hz でうなりが1秒あたり 4 回という情報だけでは、もう片方は 264 Hz と 256 Hz の両方が候補です。高い方か低い方かという追加条件がなければ、1つに決められません。また、うなりの回数は音そのものの振動数ではありません。差の 4 をそのまま各音の振動数としないよう、何の回数かを書き添えます。

誤答を端から修正する

閉管の基本振動で「両端が腹だから L = λ / 2」とする誤答を考えます。原因は、開管の図を閉管にも使い、閉じた壁に接する空気の動きを調べていないことです。図3のように、まず閉端を節に直し、開端の腹までの区間を4分の1波長と読みます。式は L = λ / 4 に修正されます。

図3では左が誤った端の置き方、右が変位の正しい端の置き方です。閉端を塗りつぶした壁として見れば、壁を越える方向に空気が変位できないことを思い出せます。圧力変化の腹という表現と混ざった場合も、何の振幅かを書けば判別できます。

別の誤りは、閉管で基本振動の次を2倍と決めることです。数だけを暗記した場合、条件が変わると修正できません。節と腹を交互に並べ、閉端から開端までの4分の1波長の個数を数えます。1個の次は3個であり、同じ長さでは波長が3分の1、振動数が3倍です。式の分母に入る波長が短くなることまで説明すると、倍数の向きも確かめられます。

自分で試す4問

各問では端の補正を無視し、波の速さは一定とします。位置の正方向は弦または管の左端から右端とし、気柱の節と腹は空気の変位について考えます。数値の答えは整数または指定された小数で表し、単位を付けてください。

1. 長さ 1.2 m の両端固定の弦を伝わる波の速さは 120 m/s です。基本振動の波長を小数で、振動数を整数で求めてください。
2. 長さ 0.50 m の開管内の音速は 340 m/s です。基本振動の次の振動について、波長を小数で、振動数を整数で求めてください。
3. 長さ 0.75 m の閉管内の音速は 300 m/s です。基本振動の次の振動について、波長を小数で、振動数を整数で求めてください。
4. ある音と 440 Hz の音を同時に鳴らすと、うなりが1秒に 6 回生じます。ある音の振動数として考えられる値を整数で両方求めてください。その後、ある音の方が高いと判明した場合の値も答えてください。

答えと道筋

1. 両端が節で、基本振動の長さは半波長です。1.2 = λ / 2 より λ = 2.4 m、f = 120 / 2.4 = 50 Hz です。2.4 m の半分が 1.2 m、50 × 2.4 が 120 m/s となり、長さと速さに戻ります。弦の振動数を求めるので、空気中の音速を代入しません。

2. 両端が腹で、基本振動の次は半波長が2つ入ります。0.50 = λ より λ = 0.50 m、f = 340 / 0.50 = 680 Hz です。波長1個分が管の長さに一致し、680 × 0.50 = 340 m/s と音速にも戻ります。中央にも腹があるため、両端の腹の間に節は2つあります。

3. 閉端が節、開端が腹で、基本振動の次は4分の1波長が3つ入ります。0.75 = 3λ / 4 より λ = 1.0 m、f = 300 / 1.0 = 300 Hz です。1.0 m の4分の3は 0.75 m、300 × 1.0 = 300 m/s です。開管の2倍振動の図とは端の条件が異なります。

4. 求める振動数を f Hz とすると、440 との差が 6 Hz です。f が高ければ f − 440 = 6 から 446 Hz、低ければ 440 − f = 6 から 434 Hz です。どちらも 440 Hz との差は 6 Hz に戻ります。高いという追加条件があれば 446 Hz に決まります。回数だけで高低は判別できません。

手元に残す要点

• 音の高さは振動数、音の大きさは振幅に関係します。
• 変位について、固定端と閉端は節、開端は腹です。
• 長さと波長の関係を図から出し、v = fλ を使います。
• 閉管の固有振動数は基本振動の奇数倍です。
• うなりの回数は近い2音の振動数の差です。

説明が止まる位置を探す

答えが合わないときは、まず端に節と腹を書けるかを見ます。ここで止まるなら、固定された弦と閉じた壁の空気について、どの方向に動けるかを言葉にします。端を書けるのに波長を誤るなら、節から腹までを波長の4分の1として図上で数え直します。波長まで正しいのに振動数を誤るなら、v = fλ に単位を添えて戻し、積が問題の速さになるか確かめます。

個別指導では、同じ図を見ながら「閉端は何の節か」「管の長さに4分の1波長が何個あるか」を本人の言葉で説明できるか確かめます。うなりなら差が同じ2候補を並べ、高低を決める条件が足りるかを問い直します。端の条件と与えられた量を結びつければ、初めて見る数値にも順に取り組めます。