高校物理基礎 波の重ね合わせと反射—変位を足して固定端と自由端の違いを描く｜武蔵野個別指導塾

上向きと下向きの変位の計算から固定端と自由端の反射、定常波の節と腹まで、読み解く鍵は波の重ね合わせです。

よくあるのは、向かい合って進んだ波が重なった瞬間に、互いを押し止めてしまうと考える場面です。糸の上で山と谷が消えたように見えても、その後の波まで消えたとは限りません。ある瞬間の形と、その後に進む波を分けて考えると、反射や定常波の図も読みやすくなります。

どんな図を描く問題か

波の重ね合わせでは、同じ時刻の2つの波形を渡され、指定された位置ごとに合成後の変位を求める型があります。上を正に決め、山の高さと谷の深さを符号つきで足します。山の頂点同士を結ぶ作業ではなく、同じ位置にある値を足す作業です。

端での反射を問う型では、入射波と反射波の上下関係を判定します。固定端では端が動けない条件、自由端では端が自由に動ける条件に注目します。さらに、反対向きに進む同じ振幅と波長の波が重なる場合、動かない節と大きく振動する腹を探す型もあります。節はいつも変位が0である点です。ある瞬間に変位が0というだけでは、節とは決まりません。

ここでは一直線上の横波を扱い、波が通る媒質は同じ条件で波を伝えるものとします。2次元の干渉や回折には立ち入りません。図を描く前に、何の変位を、どの位置と時刻で比べるのかを明記することが出発点です。

同じ場所で変位を足す

媒質の各点が、波のないときの位置からどれだけずれたかを変位といいます。上下に振動する糸なら、上向きを正、下向きを負にできます。2つの波が同時に届くとき、ある点の合成変位は、それぞれが単独で作る変位の和です。これが重ね合わせの原理です。この扱いが成り立つ範囲の波を考えます。

図1のように、ある点で一方が上へ2 cm、他方が下へ1 cmの変位を作るなら、合成変位は 2 + (-1) = 1 cmです。上向きの1 cmとなり、両方の変位が残って寄与しています。波の高さの絶対値を足して3 cmにするのでも、向きが反対だから必ず0にするのでもありません。

図1の矢印は同じ媒質の点について、それぞれの波が単独で作る変位と合成変位を比べています。両方が上向きなら正の値同士を足し、両方が下向きなら負の値同士を足します。和が負なら、合成後の点は基準位置より下です。単位をそろえてから計算し、答えには符号の意味も添えます。

波が重なった後も、それぞれの波は相手がなかったかのように進みます。これを波の独立性といいます。例えば同じ大きさの山と谷が完全に重なった瞬間は、合成変位が重なった範囲で0になりえます。それでも両方の波が消滅したと判断せず、次の時刻にそれぞれを進行方向へ移してから、もう一度足します。

固定端は、糸の端が固定され、端の変位が常に0になる端です。上向きの山が端へ来ると、反射波は上下が逆の谷として戻ります。端における入射波と反射波の変位が、常に打ち消し合うためです。自由端は端が上下に動ける理想的な端で、反射波は入射波と上下が同じ向きになります。山は山として戻り、端では両波の変位が加わります。

反射で変わるのは進行方向です。同じ媒質での理想的な反射では波の速さの大きさは同じとし、固定端では上下の向きも逆になります。図の左右を反転させることと、変位の正負を反転させることを別の操作として扱うと混乱を防げます。

基本例題：3地点の合成変位

水平な糸に2つの波が重なっています。ある同じ時刻に、位置A、B、Cで波1が単独で作る変位は順に +3 cm、+1 cm、-2 cm、波2が単独で作る変位は順に -1 cm、-1 cm、+2 cmです。上向きを正とします。各位置の合成変位を符号つきの整数と単位で求め、0の点が必ず節かも答えてください。波は重ね合わせの原理に従います。

図2のように、それぞれの列は同じ位置の値同士を対応させます。Aの波1とBの波2を足すことはできません。時刻もそろっているので、各列で次の計算ができます。

Aでは、(+3 cm) + (-1 cm) = +2 cmです。上へ3 cmずらす効果と下へ1 cmずらす効果を合わせ、基準位置から上へ2 cmです。

Bでは、(+1 cm) + (-1 cm) = 0 cmです。大きさが等しく向きが反対なので、その瞬間の変位は打ち消し合います。

Cでは、(-2 cm) + (+2 cm) = 0 cmです。足す順序を逆にしても和は変わらず、この瞬間は基準位置にあります。したがって答えは Aが+2 cm、BとCが0 cmです。

元の条件に戻して確認しましょう。Aでは合成の+2 cmから波2の-1 cmを引くと、波1の+3 cmに戻ります。Bでは 0 − (-1) = +1、Cでは 0 − (+2) = -2 となり、いずれも波1の値です。足し算を逆にたどることで、符号の取り違えを見つけられます。

BとCはこの1時刻の情報から必ず節とはいえません。節なら、その点の合成変位が時間を通して常に0です。別の時刻にどのような変位になるかが示されていないため、動かない点か、たまたま基準位置を通過した点かを区別できません。表に0があった瞬間に節と書かず、時間についての条件を確認します。

波形として描く問題でも、操作はこの表と同じです。指定された位置に縦線を引き、基準線からそれぞれの波形までの符号つきの距離を読みます。その和を同じ位置に記し、必要な位置で繰り返して形をつなぎます。山の輪郭を横に足したり、異なる時刻の形を混ぜたりしないようにします。

少し難しい例題：反射と定常波を分ける

長さ 1.2 m の一様な糸の両端が固定されています。糸を伝わる同じ振幅、波長、速さの2つの正弦波が反対向きに進んで重なり、両端を含めて節が3点ある定常波ができました。隣り合う節の間に腹が1点あります。波長と腹の位置を求めてください。左端から右向きを位置の正方向とし、長さは小数で m を単位として答えます。

定常波では、2つの波の重ね合わせにより、振動しない節と振幅が最大になる腹の位置が変わりません。節と隣の節の間隔は波長の半分です。糸の左端を0 m、右端を1.2 mとします。両端が節で、間にもう1つ節があるので、糸は等しい2区間に分かれます。

隣り合う節の間隔は 1.2 m ÷ 2 = 0.6 m です。これが波長の半分なので、波長は 0.6 m × 2 = 1.2 m です。節は左端から 0 m、0.6 m、1.2 m の位置にあり、腹は各区間の中央にあります。したがって腹の位置は 0.3 m と 0.9 m です。

答えを条件に戻すと、波長1.2 mの半分は0.6 mです。0 mから0.6 mずつ進めると0.6 m、1.2 mに節が並び、両端を含む節は3点になります。腹もそれぞれ隣の節から0.3 m離れ、与えられた配置と一致します。

ここでの分かれ目は、単発の波が端で反射する話なのか、反対向きの波が継続して重なった定常波なのかです。固定端で一度反射した山は谷になりますが、端付近の合成変位を出すときは入射波も反射波も足します。定常波の節は、その打ち消しが常に成立する点です。腹は常に山の形で静止している点ではなく、基準位置を通過しながら大きく往復する点です。

また、腹と隣の節の間隔は波長の4分の1です。節から次の節までを波長1個と誤ると、この例では波長を半分にしてしまいます。両端の条件と節の数を図に書き、区間の数を先に数えてから波長に変換してください。

誤答を図でほどく

「山と谷が同じ高さで重なって0になったので、波はそこで止まり、その後は何も進まない」という答えを考えます。原因は、ある瞬間の合成変位と、それぞれの波の進行を同じものとして見ていることです。変位の和が0という結果は、その時刻、その位置の媒質が基準位置にあることを示します。波が失われたことまでは示しません。

図3のように、同じ大きさの山と谷が完全に重なった瞬間には合成波形が水平になりえます。少し後には、右へ進む山と左へ進む谷をそれぞれ進めてから重ね合わせます。波の独立性により、重なりを通過した波は各自の向きに進みます。図3の左右の矢印は波の進行方向であり、媒質が横方向に移動する向きではありません。

別の誤答は「固定端では入射波の山が山のまま戻る」です。この描き方では、端に山が届いた瞬間に正の変位が加わり、固定されている端が動いてしまいます。固定端では反射波を上下反転し、端で合計が0となるように直します。自由端に同じ反転を適用するのも誤りです。自由端では上下を反転せず、同じ向きの変位が加わります。

定常波では、ある瞬間に糸全体が基準位置に重なることがあります。その瞬間の平らな形から全点を節と判定すると、次の瞬間の運動を説明できません。時間がたっても動かない点を探し、その間で往復する点と区別してください。1枚の図で判断がつかない場合は、別の時刻の情報が必要です。

自分で試す4問

いずれも重ね合わせの原理が成り立つものとし、横波の変位は上向きを正とします。数値の答えは符号が必要なら符号をつけ、整数または指定された小数と単位で答えてください。

1. ロープ上のある点で、同時に届く2つの波が単独で作る変位は、それぞれ +4 mm と -7 mm です。合成変位を求め、基準位置からの向きも答えてください。
2. 同じ時刻のある点で合成変位が -2 cm、波Pが単独で作る変位が +5 cm です。波Qが単独で作る変位を求めてください。
3. 糸を右へ進む上向きの山が右端に届きます。右端が固定端の場合と自由端の場合について、反射後の波の上下と進行方向をそれぞれ答えてください。
4. 両端を固定した長さ 1.8 m の一様な糸に定常波ができ、両端を含む節が4点あります。隣り合う節の間に腹が1点あります。波長と、左端から右向きを正とした腹の位置を小数で m を単位として求めてください。

練習の答えと確かめ

1. (+4 mm) + (-7 mm) = -3 mmです。答えは -3 mmで、基準位置から下向きに3 mmです。-3 mmから一方の+4 mmを引くと-7 mmとなり、もう一方の条件に戻ります。大きさを足した11 mmでは向きの違いが反映されません。

2. 波Qの変位を q cmとすると、+5 + q = -2 です。両辺から5を引いて q = -7 となるので、答えは -7 cmです。元の場面に戻して +5 cm + (-7 cm) = -2 cm と確かめます。合成変位から既知の変位を引くとき、既知の正負を保つことが必要です。

3. どちらも反射後は左向きに進みます。固定端では上向きの山が下向きの谷となり、自由端では上向きの山のままです。固定端における入射波と反射波の変位を足すと0になり、固定条件に戻ります。自由端では両者が同じ向きとなり、端が動ける条件に対応します。

4. 節4点の間には等しい区間が3つあります。隣の節までの長さは 1.8 m ÷ 3 = 0.6 m、これが半波長なので波長は 1.2 mです。節は左から 0 m、0.6 m、1.2 m、1.8 mにあり、腹は各区間の中央の 0.3 m、0.9 m、1.5 mです。波長1.2 mから半波長0.6 mを作り、3区間を並べると1.8 mとなって元の長さに戻ります。端を含む節も4点です。

最後に押さえること

• 同じ位置、同じ時刻の変位を符号つきで足します。
• 波が重なる間も各波は独立して進みます。
• 固定端では反射波の上下が逆、自由端では同じです。
• 定常波の節は常に変位0、腹は振幅が最大です。
• 隣り合う節の間隔は波長の半分です。

どこで止まったかを見分ける

合成変位の符号で迷うなら、まず基準位置と正方向を線と矢印で示し、各波の値を別々に書きます。計算後に片方の値を引いて元のもう片方へ戻れるか試すと、足し算と符号のどちらで間違えたかを探せます。図の位置を取り違える場合は、同じ縦線上で2つの値を読めているか確かめます。

反射で迷うなら、端に山が到着した瞬間を考え、固定端の変位が0になる組み合わせを言葉で説明してみます。節を見つけられない場合は、1時刻で0の点と、時間が変わっても0の点を区別できるかが手がかりです。個別指導で確認するなら、波を2枚の図に分けて次の時刻へ進め、同じ位置で足し直す手順を本人に説明してもらうと、独立性と重ね合わせの理解を確かめられます。波が消えたように見える瞬間も、変位の和から読み直せます。