高校物理基礎 電流と電気抵抗—電荷の流れと導線の形から抵抗の変化を読む｜武蔵野個別指導塾

電気量と電流の関係をたどり、導線の長さや断面積を変えたときの電気抵抗を読み解きます。

よくあるのは、導線を太くすると材料が増えるので、電気抵抗も増えると高校生が考える場面です。確かに長くすれば抵抗は増えますが、太くする変更は長くする変更とは働きが異なります。電流が通る向きと、その向きに垂直な断面を描いてから比を作ると、どちらが大きくなるかを判断できます。

問われる量を区別する

電気の問題では、電流、電気量、電圧、抵抗を区別して条件を整理します。定期テストでは、一定の電流が流れる時間から通過した電気量を求める型、電圧と電流から抵抗を求める型、同じ材料の導線の長さや断面積を変えたときの抵抗の比を求める型が考えられます。数値を式へ入れる前に、何が一定で何が変わるかを書き出しましょう。

電流の問題で時間を分のまま代入すると、秒で計算した値と合いません。また、導線の半径が2倍になったという条件を、断面積が2倍になったと読み替えると結果が違います。式を覚えていても、単位と図の読み取りを間違えれば答えは合いません。ここでは一定の電流と、材質・温度が一様な導線を中心に扱います。複数の抵抗をつないだ回路の計算には立ち入りません。

流れの量と導線の形

電荷が移動すると電流が生じます。電気量を Q、時間を t、一定の電流を I とすると、Q = It です。電気量の単位は C、時間は s、電流は A で、1 A は1秒間に1 Cの電気量が断面を通過する流れに対応します。したがって電流は I = Q / t とも表せます。電流の向きは正の電荷が移動する向きとして決めます。金属中で移動する電子は負の電荷をもつので、電子の移動方向は電流と反対です。

電荷が移動しやすい物質を導体、移動しにくい物質を不導体と呼びます。金属は導体の例です。導体でも電流を流すには両端に電圧をかけ、電流を流し続ける閉じた経路が必要です。導体か不導体かという区別と、導体の抵抗の大きさを比べることは別の問いです。

図1のように、長さは電流が流れる方向に測り、断面積はその方向に垂直な面で測ります。断面積は導線の側面の面積ではありません。同じ材質と温度なら、長い導線ほど抵抗は大きく、断面積が大きい導線ほど抵抗は小さくなります。

図1の長さを L、断面積を S、抵抗率を ρ とすると、抵抗 R は R = ρL / S です。抵抗率は材質と温度に関係する量で、単位は Ω・m です。L を m、S を m² で表せば、R の単位は Ω になります。同じ材料でも温度が変われば抵抗率が変わり得ます。一般に金属では温度の上昇に伴い抵抗が増えますが、温度変化がある問題で抵抗率を自動的に一定とはできません。

抵抗の両端の電圧を V、流れる電流を I とすると、オームの法則に従う抵抗では V = RI です。電圧を V、電流を A で表すと抵抗は Ω です。同じ抵抗で電圧を2倍にすれば電流も2倍になります。一方、同じ電圧で抵抗が2倍なら電流は半分です。どちらを固定した比較なのかを明記することが大切です。

抵抗率を含む式は、単位からも点検できます。抵抗率の Ω・m に長さの m を掛け、断面積の m² で割ると Ω が残ります。例えば断面積が mm² で与えられ、抵抗率が Ω・m で与えられた場合、そのまま数値を代入してはいけません。1 mm は 0.001 m なので、1 mm² は 0.000001 m² です。長さの換算係数を2乗する点に注意します。

比較の問題では、元の導線と変更後の導線の比を使うと換算の手間を減らせます。ただし、分子どうし、分母どうしを同じ単位にそろえてから比を取ることが条件です。長さの比が1より大きく面積の比も1より大きいとき、抵抗が増えるか減るかは両者の大きさによって決まります。一方の変化だけを見て結論を出さず、最後に比の値を計算しましょう。

基本例題：時間と電圧をつなぐ

紙上の回路で、理想電源とオームの法則に従う抵抗を導線でつなぎます。電源と導線の抵抗は無視し、抵抗の温度は一定とします。抵抗の両端の電圧が 12 V のとき、一定の電流 0.30 A が流れました。電流の向きに断面を通過する電気量の大きさを考えます。抵抗値と、2分間に通過する電気量をそれぞれ整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように、電圧は抵抗の両端に対応し、電気量は指定された断面を通る量です。電流が一周する回路を紙の上で考え、実際の電源を用意する必要はありません。

まず V = RI を R について解きます。

R = V / I
R = 12 / 0.30
R = 40 Ω

次に時間を秒へ直します。

t = 2 × 60 = 120 s

電流は一定なので、通過する電気量は次のようになります。

Q = It
Q = 0.30 × 120
Q = 36 C

答えは抵抗が 40 Ω、電気量が 36 C です。元の条件に戻すと、40 Ω に 0.30 A が流れるときの電圧は 40 × 0.30 = 12 V です。また、36 C を 120 s で割ると 0.30 A となります。電気量を求めるときは電圧を掛けません。電圧はこの例では抵抗値を決めるために使っています。

もし2分をそのまま t に入れれば 0.60 という数が出ますが、これは秒を使う式の答えとして 0.60 C と書けません。単位をそろえる前に数値を掛けた失敗です。逆に電流が時間とともに変化する場合は、全時間について一定の I を使うこの計算をそのまま適用できません。問題文に一定とあるかを先に確認します。

形を変えたときの分かれ目

同じ材質、同じ温度の2本の円柱状の導線 A、B を考えます。A の長さは 2.0 m、断面積は 1.0 mm²、抵抗は 6.0 Ω です。B の長さは 3.0 m、半径は A の2倍です。各導線は一様で、抵抗率は同じです。B の抵抗を小数第1位まで Ω で求めてください。端の接触による抵抗は無視します。

円の面積は半径を2乗した量に比例するので、B の断面積は A の4倍です。長さの比は B / A = 3.0 / 2.0 = 1.5 です。同じ ρ を使って比を取ると、面積を mm² から m² に直さなくても同じ単位どうしで約分できます。

R B / R A = (L B / L A) / (S B / S A)
R B / R A = 1.5 / 4 = 0.375
R B = 6.0 × 0.375 = 2.25 Ω

小数第2位を四捨五入し、答えは 2.3 Ω です。丸める前の値で戻すと、2.25 / 6.0 = 0.375 で、長さの比を断面積の比で割った値と一致します。丸めた 2.3 Ω を使った比は近似値になるので、途中では 2.25 Ω を保ちます。

分かれ目は「半径を2倍」と「断面積を2倍」の違いです。後者なら面積の比は2であり、同じ長さの比では抵抗比は 1.5 / 2 です。また、長さだけを変える操作と、材料の体積を保って引き伸ばす操作は同じではありません。後者では長さとともに断面積も変化するため、体積が長さと断面積の積であることから新しい面積を求めてから抵抗比を作ります。

太さの誤答を修正する

図3のように、同じ材質と温度で長さが等しい導線を比べ、断面積を2倍にしたとします。「材料が多いから抵抗も2倍」と答えるのは誤りです。原因は、長さを増やしたときと、断面積を増やしたときの違いを分けずに、材料の量だけで判断したことにあります。

図3では電流の通る断面が広くなるため、同じ電圧なら流れやすくなります。式でも R = ρL / S の分母が2倍なので、抵抗は元の半分です。実際に元の抵抗が 8 Ω なら、広い方は 4 Ω です。両端に同じ 12 V をかけると電流はそれぞれ 1.5 A と 3 A になり、広い方の電流が大きいこととも整合します。

別の誤りは、電圧を2倍にしたから抵抗も2倍とすることです。温度が一定でオームの法則に従う同じ抵抗なら、電流も2倍になるので V / I は変わりません。電圧と電流の変化を両方追い、抵抗自体の変化と区別します。抵抗率が異なる材料を比べるときも、形状の比だけで決めず ρ の比を含めてください。

練習：条件を表にしてから解く

以下は紙上の設定です。電流は一定、導線は一様、電源と接続部分の抵抗は無視し、各導線の温度は指定した比較の間一定とします。電気量は指定した断面を通過する大きさです。答えは指定された形と単位で書きます。

1. 細い金属線の断面を 5.0 s に 4.0 C の電気量が通過しました。電流を小数第2位まで A で求め、電子の移動方向と電流の向きの関係も答えてください。
2. ある抵抗に 9.0 V をかけると 0.50 A が流れます。抵抗を整数で Ω とし、同じ抵抗に 6.0 V をかけたときの電流を分数で A としてください。抵抗はオームの法則に従います。
3. 同じ材質と温度の円柱状導線 C、D があります。D は C の3倍の長さで、断面積は C の2倍です。C の抵抗が 10 Ω のとき、D の抵抗を整数で Ω としてください。
4. 一様な導線 E の長さを体積を変えずに2倍に引き伸ばし、同じ材質と温度の一様な導線 F にしました。E の抵抗が 3.0 Ω のとき、F の断面積は E の何倍か、F の抵抗は何 Ω か、それぞれ小数第1位で答えてください。

練習の答えと戻し方

1. I = Q / t = 4.0 / 5.0 = 0.80 A です。電子の移動方向は電流と反対です。戻して 0.80 × 5.0 = 4.0 C となり、指定の時間に通過した電気量に合います。電子が負に帯電していることと、電流の向きの約束を区別します。

2. R = 9.0 / 0.50 = 18 Ω です。電圧を変えても抵抗値は一定なので、I = 6.0 / 18 = 1/3 A です。元の電圧では 18 × 0.50 = 9.0 V、新しい電圧では 18 × 1/3 = 6.0 V と戻せます。電流を小数に丸めてから掛け直すと誤差が生じるため、分数のまま確かめます。

3. 抵抗比は 3 / 2 です。よって 10 × 3 / 2 = 15 Ω です。15 / 10 = 3 / 2 で、長さの比を断面積の比で割った値に戻ります。長さが3倍だから抵抗も3倍とした答えでは、断面積の変化を落としています。

4. 体積は長さと断面積の積なので、長さが2倍なら断面積は 0.5 倍です。抵抗比は 2 / 0.5 = 4 ですから、抵抗は 3.0 × 4 = 12.0 Ω です。長さと断面積の比の積は 2 × 0.5 = 1 となり、体積が変わらない条件に戻ります。抵抗比も 12.0 / 3.0 = 4 と確かめられます。長さだけを2倍にした場合とは断面積の条件が違います。

練習の途中で式が作れない場合は、求める量の単位から使う関係を選びます。C を求めるなら A と s の積、Ω を求めるなら V と A の比が手掛かりです。ただし、単位が合うことは式が正しいための必要な確認であって、それだけで条件の読み違いを防げるわけではありません。電流が一定か、電圧がどの部分の両端にかかるかを問題文へ戻って確かめます。

また、計算で分母に置く量は0でないことを確かめます。電圧と電流がともに0の状態から 0 / 0 を計算して抵抗を決めることはできません。電流が流れないという観察だけでも、経路が切れているのか、電圧がかかっていないのかを区別する必要があります。与えられた条件が足りない場合は数値を作らず、必要な電圧や電流の条件を挙げて立ち止まります。

電流の向きを逆に選んだ場合、符号つきの電流は負になります。大きさを尋ねる問題では正の値を答え、向きを尋ねる問題では基準の向きと合わせて示します。符号の約束を変えても、同じ導線の抵抗値そのものは変わりません。

計算前に残すメモ

• 一定電流では Q = It、時間は秒に直します。
• オームの法則では V = RI、どの両端の電圧かを見ます。
• 一様な導線では R = ρL / S、断面は電流に垂直です。
• 半径の比を2乗して断面積の比にします。
• 比較する間の材質と温度、固定する量を確かめます。

どこで止まったかを見つける

答えが合わないときは、まず単位換算の行と、比を立てた行を別々に見直します。電気量で間違えた場合は、1秒当たりの通過量を言葉で説明できるかを確かめます。抵抗で間違えた場合は、導線の長さを指でたどり、電流に垂直な断面を紙に描いてみます。半径の比から面積の比へ移る途中が抜けていれば、円の面積の式に戻ります。

個別指導の場では、例えば同じ電圧で太さを変えた2本を比べ、電流と抵抗のどちらが増えるかを理由つきで説明できるか確かめます。次に、温度や材質が変わった場合に同じ比を使えるかを問い、与えられた条件の不足に気づけるかを見ます。式の分子と分母に対応する形を描ければ、初めて見る数値でも判断の道筋を作れます。