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高校数学C 行列の積の順序—二つの積を比較して交換できない理由を確かめる｜武蔵野個別指導塾
2次行列の反例と長方形の表で、逆順の積が作れるか、作れた結果が等しいかを別々に確かめます。
よくあるのは、理系の高3が計算しやすそうだという理由で、行列の積を勝手に並べ替えるという場面です。数の積では順序を入れ替えても値は変わりません。しかし、行列では入れ替えた積が作れないことも、作れても異なることもあります。型と成分の両方を調べ、何がつながる積なのかを言葉にしてみましょう。
順序について何を問われるか
出方の一つは、2つの正方行列について AB と BA をそれぞれ求め、等しいか判定するものです。両方とも同じ型になるため、型の確認だけでは結論を出せません。対応する成分を比べ、違う成分があればその位置を示します。
もう一つは、長方形の行列で AB と BA が定義できるかを調べるものです。片方の積が定義できても、逆順が定義できるとは限りません。さらに、両方が定義できても型が異なる場合があります。計算を始める前に、それぞれの内側の数を確かめます。
数量表が登場するときは、型が合うことに加え、つなぐ分類の名前と順番も確かめます。行列として計算できることと、その積が元の場面で意味を持つことは別の確認です。以下の数は説明のために作った条件です。
行と列の接点を読む
A が m 行 n 列、B が n 行 p 列なら、積 AB は m 行 p 列です。A の列数と B の行数が一致して初めて、A の1行と B の1列を対応させて積和を作れます。図1のように、接する分類の個数を見てから外側を答えの型にします。
図1では A の列と B の行が同じ n 個です。AB の i 行 j 列の成分は、A の i 行の各成分と B の j 列の対応する成分を掛け、足した値です。たとえば n が 2 なら、その成分は A の i 行の2つの数と B の j 列の2つの数について、対応する積を2つ足して求めます。
順序を逆にすると、今度は B の列数 p と A の行数 m が接します。p と m が異なれば BA は定義できません。等しければ BA は n 行 n 列です。AB の m 行 p 列と比較する際は、両方が作れるかだけでなく、型が同じかも調べます。
2次の正方行列どうしなら、どちらの順序も 2 行 2 列です。それでも積和に使う行と列は変わるので、同じ位置の値が一致するとは限りません。逆に一致する組もあるため、順序を逆にすれば必ず異なる、と覚えるのも誤りです。
判定の順番を固定する
答案では、まず A と B の型をそれぞれ書きます。次に AB の内側、続いて BA の内側を別々に比較します。片方が定義できなければ、その側には行列を無理に書かず、どの数が一致しないかを示します。両方が定義できるなら、外側から得られる型をそれぞれ記します。
型が異なれば相等ではありません。型が同じ場合は対応する成分へ進みます。不等を示すだけなら異なる1成分で足りますが、相等を示すには対応する全成分を調べます。型の一致を確認せずに数字を比べたり、1成分が一致した時点で全体が等しいと決めたりすると、異なる種類の条件を取り落とします。
数量表を使う場合には、積和の各項が同じ単位になるかも点検します。材料ごとの個数に1個当たりの重さを掛ければ、各項は重さになり、足した結果も重さです。分類の並びを変えるなら、対応するもう一方の表も同じ並びに直さなければ、別の材料どうしを掛けることになります。
基本例題：同じ型でも値は変わる
次の A、B について AB と BA を求め、等しいか答えてください。
A = [ 1 2 ] B = [ 2 0 ]
[ 0 1 ] [ 1 3 ]どちらも 2 行 2 列なので、両積は定義でき、結果も 2 行 2 列です。図2のように、まず左側の行と右側の列を組にします。順序を変えたら、その組を作り直します。
AB の各成分を行と列の積和で求めます。
AB の左上 = 1・2 + 2・1 = 4
AB の右上 = 1・0 + 2・3 = 6
AB の左下 = 0・2 + 1・1 = 1
AB の右下 = 0・0 + 1・3 = 3
AB = [ 4 6 ]
[ 1 3 ]次は B の行と A の列を使います。図2の左上の積和も、逆順では別の組合せです。
BA の左上 = 2・1 + 0・0 = 2
BA の右上 = 2・2 + 0・1 = 4
BA の左下 = 1・1 + 3・0 = 1
BA の右下 = 1・2 + 3・1 = 5
BA = [ 2 4 ]
[ 1 5 ]左上は 4 と 2 なので AB と BA は等しくありません。左下はともに 1 ですが、一部が一致しても行列全体の相等には足りません。この1組は、任意の行列で順序を交換できるという主張に対する反例です。一方、1組の結果から、どんな組でも交換できないと結論することはできません。
標準例題：逆順では計算が止まる
次の P、Q について、PQ と QP のそれぞれが定義できるか調べ、可能な積を求めてください。
P = [ 1 2 0 ] Q = [ 2 ]
[ 0 1 3 ] [ 1 ]
[ 4 ]P は 2 行 3 列、Q は 3 行 1 列です。PQ の内側はともに 3 なので定義でき、結果は 2 行 1 列です。一方、QP では Q の列数 1 と P の行数 2 が一致しないため、積は定義できません。値が零なのではなく、成分を作る計算自体が定まらない状態です。
PQ の上 = 1・2 + 2・1 + 0・4 = 4
PQ の下 = 0・2 + 1・1 + 3・4 = 13
PQ = [ 4 ]
[ 13 ]数量に戻してみます。P の行を2種類のセット、列を部品 X、Y、Z の順とした、1セット当たりの部品数とします。Q は同じ順の部品1個当たりの重さを表し、単位を g とします。上のセットは X を1個、Y を2個、Z を0個使うので 2 + 2 + 0 = 4 g、下は 0 + 1 + 12 = 13 g です。行列の積と内訳が一致します。
この意味付けでは、逆順は重さの表の列とセットの表の行をつなごうとしますが、個数が合いません。たまたま個数が合う別の表でも、分類名や順序が合わなければ元の集計とは読めません。型の合否は必要な入口であり、単位と分類をそろえる確認も必要です。
発展例題：両方作れても型が違う
次の R、S について、RS と SR の型と成分を求め、比較してください。
R = [ 1 2 ] S = [ 3 ]
[ 4 ]R は 1 行 2 列、S は 2 行 1 列です。RS の内側は 2、SR の内側は 1 でそれぞれ一致します。結果の型は順に 1 行 1 列、2 行 2 列です。
RS の成分 = 1・3 + 2・4 = 11
RS = [ 11 ]
SR の左上 = 3・1 = 3
SR の右上 = 3・2 = 6
SR の左下 = 4・1 = 4
SR の右下 = 4・2 = 8
SR = [ 3 6 ]
[ 4 8 ]行列が等しいためには型も一致しなければなりません。ここでは型が違うので、値を比べる以前に等しくありません。RS は2項を足した1成分、SR はそれぞれ1項からなる4成分です。入れ替えは、元の式の数値をそのまま別の場所に移す操作ではありません。
R を2種の材料の使用個数、S をその順の1個当たりの重さ g とすると、RS は 3 + 8 = 11 g です。SR も行列として計算できますが、その各成分をこのセットの総重量とは読めません。どの行と列を掛け、何を足したかまで戻って解釈します。
では、積の順序が変わっても等しいことはあるでしょうか。たとえば2次の単位行列 I と任意の2次行列 C について、IC と CI はともに C です。したがって判断は「必ず違う」でも「いつも同じ」でもなく、与えられた組について型と成分を確認することです。一般に成立すると主張するには個別の例だけでは足りず、一般の場合の根拠が必要です。
誤答を行と列まで戻す
基本例題で、AB の結果を求めた後に「掛け算だから BA も同じ」と書く誤答を考えます。図3のように左上だけを照合すると、AB では A の第1行と B の第1列、BA では B の第1行と A の第1列を組み合わせています。
原因は、数の積に成り立つ交換の性質を、行列の積全体に移したことです。個々の数について 1・2 と 2・1 が等しくても、積和を構成する相手そのものが変わります。図3の2つの式を比べると、前者は 2・1 を含み、後者の対応箇所は 0・0 です。
修正するときは、まず BA の型を書き、B の各行と A の各列から新たに成分を作ります。左上の差だけでも不等は示せますが、積全体を求める問題なら残る3成分も計算します。反対に、等しいと判定するには4成分のすべてを照合します。
別の失敗は、片方が定義できないときに零行列を書いてしまうことです。零行列は型が決まった行列であり、定義できない積の答えではありません。内側の数が合わない箇所に印を付け、「定義できない」と理由を添えます。型が同じなのに分類順が違う数量表では、成分を対応する順に並べ直してから意味のある積を作ります。
練習問題
各行列は表示された行の順に読みます。積を求める場合は行列の形で、定義できない場合はその理由を答えてください。
- 次の D、E について DE と ED を求め、等しいか答えてください。
D = [ 1 1 ] E = [ 2 1 ]
[ 0 2 ] [ 0 3 ]- 次の F、G について FG と GF の型と成分を求め、等しいか答えてください。
F = [ 2 ] G = [ 1 3 ]
[ 1 ]-
H が 3 行 2 列、J が 2 行 4 列のとき、HJ と JH の定義の可否と、可能な積の型を答えてください。
-
次の K、L について KL と LK を求め、等しいか答えてください。
K = [ 2 0 ] L = [ 3 0 ]
[ 0 4 ] [ 0 5 ]- 展示用の赤・青の袋1個に入れるカード数が、それぞれ 2 枚と 3 枚です。赤・青の袋を順に 4 個、2 個作ります。カード数の行列 U と袋数の行列 V を次のように置き、UV と VU の定義の可否を調べて、可能な積を求めてください。カードの総数を枚で答え、内訳でも確かめてください。
U = [ 2 3 ] V = [ 4 ]
[ 2 ]練習問題の解答と解き方
- 両積は 2 行 2 列です。行と列の積和をそれぞれ作ります。
DE = [ 1・2 + 1・0 1・1 + 1・3 ]
[ 0・2 + 2・0 0・1 + 2・3 ]
= [ 2 4 ]
[ 0 6 ]
ED = [ 2・1 + 1・0 2・1 + 1・2 ]
[ 0・1 + 3・0 0・1 + 3・2 ]
= [ 2 4 ]
[ 0 6 ]対応する4成分が一致するので等しいです。この組は交換が可能な例ですが、どんな行列にも広げる根拠にはなりません。
- F は 2 行 1 列、G は 1 行 2 列です。FG は 2 行 2 列、GF は 1 行 1 列です。
FG = [ 2・1 2・3 ]
[ 1・1 1・3 ]
= [ 2 6 ]
[ 1 3 ]
GF = [ 1・2 + 3・1 ]
= [ 5 ]型が異なるため等しくありません。GF の 5 は 2 と 3 の合計であり、FG の左上の 2 と同じ位置の成分として比べられるものではありません。
-
HJ は内側の数がともに 2 なので定義でき、3 行 4 列です。JH は内側が 4 と 3 で一致しないので定義できません。外側の 2 と 2 が一致していても、内側が一致しない積は作れません。
-
どちらも 2 行 2 列で、各成分を計算します。
KL = [ 2・3 + 0・0 2・0 + 0・5 ]
[ 0・3 + 4・0 0・0 + 4・5 ]
= [ 6 0 ]
[ 0 20 ]
LK = [ 3・2 + 0・0 3・0 + 0・4 ]
[ 0・2 + 5・0 0・0 + 5・4 ]
= [ 6 0 ]
[ 0 20 ]4成分が一致するので等しいです。順序を入れ替えてよいという判断は、この組の計算結果に基づいています。
- UV は 1 行 1 列、VU は 2 行 2 列で、どちらも定義できます。
UV = [ 2・4 + 3・2 ]
= [ 14 ]
VU = [ 4・2 4・3 ]
[ 2・2 2・3 ]
= [ 8 12 ]
[ 4 6 ]赤は 2 枚ずつ4個で 8 枚、青は 3 枚ずつ2個で 6 枚なので、総数は 14 枚です。VU は計算できても、この総数を表す型ではありません。行と列の分類がどの数量に対応するかを見て使います。
覚えておくこと
- 積の内側の行数と列数が一致するか、順序ごとに確かめます。
- 両積が定義できても、型や対応する成分は異なりえます。
- 等しさは型と対応する全成分で判定します。
- 数量表では分類の順番と単位を確認し、内訳に戻します。
つまずきの見分け方
計算の記録で、積の前に型を書いているか、行と列の対応を矢印や積和で残しているかを確認します。型が正しくても値が違う場合は、逆順を計算するときに左の行と右の列を選び直せているかを見ます。答えが合っていても一方の結果を写しただけなら、交換できる例とできない例を並べると判断の根拠が見えます。
個別指導では、数量の問題で分類名と単位を書いた表、途中の1成分の積和、品目別の直接集計を照らします。定義できない積を零と書いた記録があれば、内側の数が合わないことと零という値の違いを本人の言葉で説明してもらいます。行列の順序は、どの分類をつないだかを残すことで見えてきます。
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