高校物理基礎 直列回路と並列回路—電流と電圧の関係から合成抵抗を求める｜武蔵野個別指導塾

枝分かれした抵抗の電流を比べ、混合回路の電圧と測定器のつなぎ方までたどります。接続を読み解く題材は並列回路です。

よくあるのは、高校生が枝分かれした回路を見て、並列の各抵抗に同じ電流を流す場面です。同じ電源につながっていても、枝の抵抗が異なれば電流は異なります。どこで電流が分かれ、どの2点の間の電圧が共通なのかを、線を指でたどりながら確かめましょう。紙の上の回路として考え、家庭用電源を使う実験は行いません。

回路図で問われること

1つ目の型は、直列につながれた抵抗の合成抵抗や各部分の電圧を求める問題です。分岐のない道では各抵抗を通る電流が等しく、電源の電圧は抵抗ごとの電圧の和になります。どちらの量が共通かを決めてからオームの法則を使います。

2つ目の型は、並列の枝の電流と回路全体の電流を求める問題です。各枝の両端は同じ2点につながるため、枝にかかる電圧は等しくなります。分岐点に入る電流は枝に分かれ、再び合流します。枝電流は抵抗が異なれば一般に等しくありません。

3つ目は、直列と並列が混ざった回路や、電流計・電圧計の接続です。まず同じ2点の間にある部分を見つけ、そこを1つの抵抗に置き換えます。回路全体を解いた後、置き換えた部分を元に戻すと、枝ごとの量を追えます。

以下では導線の抵抗を0とし、電源は端子間の電圧を一定に保つ理想電源とします。抵抗の値も一定で、電流は定常状態にあるものとします。電流の向きは電源の正極から外部回路を通って負極へ向かう向きとします。電力や発熱量は扱いません。

共通なのは電流か電圧か

電流は単位時間に流れる電気量、電圧は2点間の電位の差です。抵抗の両端の電圧を V、電流を I、抵抗を R とすると、オームの法則は V = RI です。単位は順に V、A、Ωです。図1のように直列と並列では、共通になる量が違います。

図1の直列では途中に分岐がないので、2個の抵抗を通る電流は同じです。電源の電圧を V、抵抗を R1、R2、電流を I とすると、各電圧は IR1、IR2 です。したがって V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2) となり、合成抵抗は R1 + R2 です。合成抵抗とは、その部分の外側から見た電圧と電流の関係が同じになる、1個の抵抗の値です。

図1の並列では、2個の抵抗の左端は同じ点、右端も同じ点につながっています。導線の抵抗が0なので、同じ導線でつながる点の電位は等しく、各枝に同じ電圧 V がかかります。枝の電流はそれぞれ V/R1、V/R2 です。全電流 I は枝電流の和なので、I = V/R1 + V/R2 です。合成抵抗を R と置けば、1/R = 1/R1 + 1/R2 が得られます。

並列の合成抵抗は、各枝の抵抗より小さくなります。同じ電圧で複数の道に電流が流れ、全電流が各枝の電流より大きくなるからです。直列では抵抗を足すので、正の抵抗を追加すれば合成抵抗は大きくなります。値を計算した後、この大小関係で見当をつけられます。

回路図は、部品の見た目の上下や左右だけで判定しません。線を変形しても接続点が変わらなければ、同じ回路です。2つの部品が同じ電流を共有するには、その間に別の枝がないことが必要です。並列なら両端がそれぞれ同じ2点に接続されているかを確かめます。

基本例題：2本の枝に分ける

紙上で、12 V の理想電源に 6 Ω と 3 Ω の抵抗を並列につなぎます。導線の抵抗は0で、抵抗値は一定です。正極から外部回路へ流れ出る向きを正とします。各枝の電流、電源から流れる電流、合成抵抗を、単位を付けた整数で求めてください。

図2のように、2個の抵抗は同じ2点の間にあります。まず枝の電圧を決め、次に各電流を求めます。最後に分岐する前の電流に戻します。

両抵抗の両端は電源の両端につながっているため、どちらにも 12 V がかかります。6 Ω の枝の電流を I1 とすると、オームの法則から次のようになります。

12 V = 6 Ω × I1
I1 = 12/6 A
I1 = 2 A

同様に、3 Ω の枝の電流を I2 とすると、

12 V = 3 Ω × I2
I2 = 12/3 A
I2 = 4 A

分岐点で流れ込む電流は、2本の枝へ出る電流の和です。電源からの電流を I と置くと、

I = I1 + I2
I = 2 A + 4 A
I = 6 A

回路全体を1個の抵抗 R に置き換えても、電源の 12 V と全電流 6 A は変わりません。よって、

12 V = R × 6 A
R = 12/6 Ω
R = 2 Ω

逆数の式でも、1/R = 1/6 + 1/3 = 1/2 ですから R = 2 Ω です。最後に元の回路に戻して、6 Ω × 2 A = 12 V、3 Ω × 4 A = 12 V と確かめます。枝の和も 2 A + 4 A = 6 A で、電源からの電流に一致します。2 Ω は各枝の抵抗より小さく、大小関係も合っています。

この問題で 6 A を2つに等分すると、各枝は 3 A になります。しかしその場合、それぞれの電圧は 18 V と 9 V となり、同じ2点間の電圧にできません。分岐したという理由だけで電流を等分しないことが、検算からもわかります。

混合回路は置き換えてから戻す

紙上で、18 V の理想電源に 4 Ω の抵抗をつなぎ、その先に 6 Ω と 3 Ω の並列部分を直列につなぎます。導線の抵抗は0、抵抗値は一定です。正極から外部回路へ出る向きを正とし、全電流、4 Ω の電圧、各枝の電流を単位付きの整数で求めてください。

並列部分の合成抵抗を Rp とすると、

1/Rp = 1/6 + 1/3 = 1/2
Rp = 2 Ω

この部分を 2 Ω に置き換えると、4 Ω と 2 Ω の直列です。全体の合成抵抗は 4 Ω + 2 Ω = 6 Ω です。したがって全電流 I は、

I = 18 V / 6 Ω = 3 A

4 Ω には分岐前の 3 A が流れ、その両端の電圧は 4 Ω × 3 A = 12 V です。残る並列部分の電圧は 18 V − 12 V = 6 V です。置き換えた 2 Ω に 3 A が流れるので、2 Ω × 3 A = 6 V としても求められます。

元の枝に戻すと、それぞれの両端に 6 V がかかります。6 Ω の枝は 6 V / 6 Ω = 1 A、3 Ω の枝は 6 V / 3 Ω = 2 A です。枝の和は 1 A + 2 A = 3 A で、分岐前の電流と一致します。また 4 Ω での 12 V と並列部分の 6 V の和は 18 V です。答えを元の接続に戻しても電源の条件を満たします。

分かれ目は、電源の両端に直接並列部分があるかどうかです。この例では 4 Ω にも電圧がかかるため、各枝に 18 V をそのまま使えません。先に全電流を求めて直列部分の電圧を引きます。反対に基本例題のように並列部分が電源の両端に直接つながるときは、枝の電圧からすぐ計算できます。

誤答を回路の条件に戻す

図3のように、同じ2点間に 6 Ω と 3 Ω があるとき、「枝分かれしたから電流は等しい」と決めるのは誤りです。原因は、直列で成り立つ電流の等しさを、分岐のある並列部分にも持ち込むことです。修正するときはまず各枝の両端が同じ2点かを見ます。

図3の両端の電圧を V とすれば、6 Ω の電流は V/6、3 Ω の電流は V/3 です。電圧が0でない場合、後者は前者の2倍です。両枝の抵抗が等しいときには同じ電圧をそれぞれ等しい抵抗で割るので電流も等しくなります。等分は常に使う規則ではなく、その条件から出る結果です。

もう1つの誤りは、並列の 6 Ω と 3 Ω を足して 9 Ω とすることです。これは直列の式を使った誤りで、並列部分に道を加えたのに、合成抵抗が各枝より大きくなっています。逆数の和を用いて 2 Ω と求め直し、小さい方の抵抗より小さいかを確かめます。逆数の計算が不安なら、共通電圧を置いて枝電流を足し、電圧を全電流で割る方法にも戻れます。

電流計は測りたい部分と直列につなぎます。理想電流計は抵抗0なので、抵抗に並列につなぐとその抵抗を短絡し、元の回路の電流を変えてしまいます。ほかに直列の抵抗が残れば電流は有限に定まる場合もありますが、電圧が0でない理想電源を導線と理想電流計だけで短絡すると、有限な定常電流は成立しません。電圧計は測りたい2点の間に並列につなぎます。理想電圧計の抵抗は無限大とみなし、電流は流れません。直列に入れると回路が開いた状態となり、元の回路の電流を測れません。実際の測定器には使用条件があるため、紙上の理想計器と区別します。

接続を見失ったときのたどり方

複雑に見える図でも、まず電源の正極から線をたどり、分岐する点に印を付けます。そこから枝をそれぞれ進み、再び合流する点を探します。分岐点と合流点の間にある枝は、両端の電圧が共通です。線の途中に曲がり角があっても、抵抗などの部品がなければ同じ点として扱えます。

ただし、枝の中に抵抗が2個直列にある場合は、その2個を合わせた部分に共通の電圧がかかります。各抵抗に共通の電圧がそのままかかるわけではありません。枝全体の抵抗を足し、その枝の電流を出してから、各抵抗の電圧を求めます。並列という言葉がどの範囲を指すかを、両端の点で確定させることが先です。

電圧計を接続する場所も、同じ2点の見方で決められます。抵抗の片側だけに接続した図では2点間の電圧を測れません。電流計を枝に入れるときは、その枝の途中を切って間に入れる形にします。分岐前に入れれば全電流、枝の中に入れればその枝の電流です。何を測りたいかによって位置を選びます。

求めた数値の単位も式に戻して点検します。電圧を抵抗で割れば電流、電圧を電流で割れば抵抗です。数字だけを先に割ると、枝電流と全電流を取り違えたままでも計算が進んでしまいます。分子と分母が同じ部分の量かを、単位と接続の両方で確認してください。

自分で解く4問

以下はそれぞれ独立した紙上の回路です。電源は理想電源、導線の抵抗は0、抵抗値は一定とします。電流の正方向は電源の正極から外部回路へ流れる向きです。指定された形と単位で答えてください。

1. 20 V の電源に 2 Ω と 8 Ω を直列につなぎます。合成抵抗、電流、各抵抗の両端の電圧を整数で求めてください。
2. 15 V の電源に 5 Ω と 10 Ω を並列につなぎます。各枝と電源の電流を小数、合成抵抗を既約分数で求めてください。
3. 20 V の電源に 2 Ω をつなぎ、その先に 4 Ω と 12 Ω の並列部分を直列につなぎます。全電流、並列部分の電圧、各枝の電流を整数で求めてください。
4. 9 V の電源に 9 Ω の抵抗をつなぎます。この抵抗を流れる電流と両端の電圧を測るため、理想電流計と理想電圧計をそれぞれどこへつなぐか答え、各計器の値を整数で求めてください。

答えと道筋

1. 合成抵抗は 2 Ω + 8 Ω = 10 Ω、電流は 20 V / 10 Ω = 2 A です。電圧は順に 2 Ω × 2 A = 4 V、8 Ω × 2 A = 16 V です。両者の和は 20 V で電源に戻り、どちらにも同じ 2 A が流れます。

2. 各枝に 15 V がかかります。5 Ω の枝は 15/5 = 3.0 A、10 Ω の枝は 15/10 = 1.5 A です。全電流は 3.0 + 1.5 = 4.5 A、合成抵抗は 15/4.5 = 10/3 Ω です。戻して 5 Ω × 3.0 A = 15 V、10 Ω × 1.5 A = 15 V となり、枝電流の和も全電流です。

3. 並列部分の抵抗を Rp とすると、1/Rp = 1/4 + 1/12 = 1/3 なので Rp = 3 Ω です。全体は 2 Ω + 3 Ω = 5 Ω ですから、全電流は 20/5 = 4 A です。並列部分の電圧は 3 Ω × 4 A = 12 V、枝電流は 12/4 = 3 A と 12/12 = 1 A です。2 Ω の電圧 8 V と 12 V の和が 20 V、枝の和が 4 A となり、元の条件に戻ります。

4. 電流計は 9 Ω と直列、電圧計は 9 Ω の両端に並列につなぎます。理想電圧計には電流が流れず、理想電流計で電圧は下がりません。抵抗の電流は 9 V / 9 Ω = 1 A なので、計器の値はそれぞれ 1 A、9 V です。9 Ω × 1 A = 9 V と、元の電源の条件に戻ります。

要点を手元に残す

直列では電流が共通で、電圧を足します。
並列では電圧が共通で、枝の電流を足します。
混合回路は並列部分を置き換えて解き、元の枝に戻します。
計器は電流計を直列、電圧計を測る2点間に並列につなぎます。

式の前に接続を説明できるか

解答を見直すとき、各抵抗の両端を指して「この2点が共通だから電圧が等しい」と言えるかを試してください。言えなければ回路図を描き直し、分岐点と合流点に印を付けます。電流の式が立たない場合は、分岐点へ入る量と出る量を矢印で分けると、和にする場所を判断できます。

個別指導で確かめるなら、答えの数値だけでなく、置き換えた抵抗を元に戻した後の電圧と電流を口頭で説明できるかを見ます。計算が合っていても、全電圧を並列部分に直接かけた理由を説明できなければ接続の読み直しが必要です。共通の2点と分岐の位置を押さえると、式の選択に根拠が生まれます。