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高校化学状態方程式と気体の密度—単位をそろえてモル質量を逆算する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴化学を掘り下げる理論化学1

圧力の単位と気体定数の対応をたどり、密度からモル質量を求める道筋を気体の密度へ結びます。

よくあるのは、高校生が圧力の単位を変えた後も、気体定数の数値をそのまま式に入れる場面です。圧力をPaで表した値とkPaで表した値は、同じ圧力でも数値が1000倍違います。式の形が正しくても、定数の単位が合わなければ答えは別の量になります。容器の体積、温度、気体の質量がそれぞれ何を表すのかを整理してから、気体の密度へ進みましょう。

どの量から出発するか

出題の型は大きく3つあります。1つ目は圧力、体積、温度から物質量を求める型です。2つ目は質量を加え、物質量で割ってモル質量を求める型です。3つ目は密度を使い、体積を具体的に決めずにモル質量を逆算する型です。どれも同じ状態方程式から始まりますが、問題文にある体積が気体全体の体積なのか、1 mol当たりの体積なのかを先に見分けます。

気体は温度や圧力で体積が変わるため、1 molの体積を条件なしに固定することはできません。同じ気体の質量でも、容器を広げれば密度は小さくなります。逆算の答えが気体そのもののモル質量である以上、同じ試料に正しい条件を使えば容器の大きさによらず同じ値になります。この見通しを、計算の最後の点検に使います。

圧力と体積から密度へ

理想気体は、一定の物質量と温度では圧力と体積の積が一定で、一定の物質量と圧力では体積が絶対温度に比例します。さらに同じ圧力と温度なら体積は物質量に比例します。これらを合わせると、pVはnTに比例します。その比例定数をRと置くと、次の状態方程式です。

pV = nRT

pは圧力、Vは気体の体積、nは物質量、Tは絶対温度です。Rは気体定数です。この関係は理想気体のモデルの式であり、実在気体に使うときは理想気体として扱うという近似を確認します。摂氏温度tから絶対温度に直すときはT = t + 273.15です。問題で近似を指示された場合はその値を使います。温度の差は同じ幅でも、温度の比は摂氏温度の数値の比ではありません。

図1のように、質量mとモル質量Mをつなぐn = m/Mを状態方程式に入れます。密度ρは気体の質量をその気体が占める体積で割ったm/Vです。

pV = (m/M)RT
p = (m/V)RT/M
p = ρRT/M
M = ρRT/p

図1で矢印が向かう先の密度式は、同じ気体、同じ状態の質量と体積を組にして得ます。別の温度で測った体積を割り算に混ぜることはできません。また、密度式を覚える際にも、両辺に体積を掛けて元の状態方程式へ戻せるようにしておくと、式の置き間違いに気づけます。

単位は数値と一緒に持ち運びます。たとえばR = 8.31 kPa・L/(mol・K)なら圧力はkPa、体積はL、温度はKで入れます。1 kPa = 1000 Pa、1 L = 0.001 m³なので、1 kPa・L = 1 Pa・m³です。このため同じRは8.31 Pa・m³/(mol・K)とも書けます。一方、PaとLを組み合わせればRの数値は8310 Pa・L/(mol・K)です。数値が同じになる組と1000倍になる組がある理由は、圧力と体積の両方を変えるかどうかにあります。

密度をg/Lで使うとき、RをkPa・L/(mol・K)、pをkPaとすれば、Mの単位はg/molです。体積に対応するLが消えるからです。密度をkg/m³で表した場合は、RをPa・m³/(mol・K)、pをPaとして使うと、Mはkg/molで出ます。最後にg/molへ直すなら1000を掛けます。1 g/L = 1 kg/m³ですが、単位が違えば最終的な質量の単位も確認する必要があります。

モル体積はV/n = RT/pです。したがって圧力と温度を指定すれば、理想気体の種類によらず1 mol当たりの体積が決まります。たとえば問題の与件としてR = 8.31 kPa・L/(mol・K)、T = 300 K、p = 100 kPaとすれば24.93 L/molです。これはこの与件から計算した値であり、あらゆる温度と圧力に使う定数ではありません。

容器の質量から求める

以下の数値は計算用の与件です。途中では丸めず、指定された最後の桁で丸めます。

基本例題

理想気体を300 K、100 kPaで2.49 L入れたところ、気体の質量は4.40 gでした。R = 8.31 kPa・L/(mol・K)とします。物質量とモル質量を有効数字3桁で求めてください。

図2のように、まず同じ状態のp、V、Tを使ってnを決め、そのnで気体の質量を割ります。容器の質量を含む場合は、気体入りの容器と空容器の差を先に取ります。

n = pV/(RT)
n = 100・2.49/(8.31・300)
n = 0.0998796… mol
M = 4.40/n
M = 44.053… g/mol

答えは0.0999 mol、44.1 g/molです。図2の体積は気体全体の体積であり、モル体積ではありません。丸め前のnとMを掛ければ4.40 gに戻り、nRT/Vは100 kPaに戻ります。これで求めた量が元の容器の条件に対応すると確かめられます。

標準例題

理想気体の密度は、300 K、150 kPaで2.40 g/Lです。R = 8.31 kPa・L/(mol・K)として、モル質量を有効数字3桁で求めてください。

M = ρRT/p
M = 2.40・8.31・300/150
M = 39.888 g/mol

答えは39.9 g/molです。密度を直接使うと体積を選ばずに済みますが、意味を確かめるには1.00 Lの試料を考える方法もあります。質量は2.40 g、物質量は150・1.00/(8.31・300) molです。その質量を物質量で割ると同じ39.888 g/molです。逆にこの値を密度式に戻すと2.40 g/Lとなり、与件と一致します。

圧力を変えた測定を比べる

発展例題

同じ理想気体について、300 Kで2回測定しました。測定Aは100 kPa、密度1.60 g/L、測定Bは同じ300 Kで250 kPa、密度4.00 g/Lです。R = 8.31 kPa・L/(mol・K)とします。各測定からモル質量を有効数字3桁で求め、2つの測定が理想気体の密度式と整合するか説明してください。

M(A) = 1.60・8.31・300/100
M(A) = 39.888 g/mol
M(B) = 4.00・8.31・300/250
M(B) = 39.888 g/mol

どちらも39.9 g/molです。丸め前の値を式に戻すと、Aの密度は1.60 g/L、Bは4.00 g/Lに戻ります。同じ温度ではρ = pM/(RT)なので、同じ気体の密度は圧力に比例します。圧力の比250/100 = 2.50に対して密度の比4.00/1.60も2.50ですから、与件は密度式と整合します。ただし、2点が合うことだけで実際の気体がどんな条件でも理想気体であると証明したことにはなりません。

別解ではモル質量を先に計算せず、密度と圧力の比を比べます。Aは1.60/100、Bは4.00/250で、どちらも0.0160 g/(L・kPa)です。同じTとRならこの比はM/(RT)です。比が等しいことを確認した後、一方の比にRTを掛ければモル質量が出ます。異なる温度の測定を比べるときはρ/pが同じとは限らず、ρT/pを比べます。

この関係はグラフにも表れます。温度を一定にし、横軸を圧力、縦軸を密度にすると、理想気体では原点を通る直線です。傾きはM/(RT)で、圧力の単位を変えれば傾きの数値も変わります。グラフの点が原点から遠いほど密度は大きくなりますが、温度を変えて得た点を同じ直線に混ぜてはいけません。

誤った式を条件まで戻す

図3のように、100 kPaを100000 Paに直してから、R = 8.31 kPa・L/(mol・K)のまま代入する誤りを考えます。圧力の数値は1000倍になったのに、定数側はkPaのままです。密度式では圧力で割るため、得られる数値は正しい値の1000分の1になります。これは気体が急に軽くなった結果ではなく、単位の組が壊れた結果です。

図3の修正は2通りです。圧力を100 kPaに戻してR = 8.31 kPa・L/(mol・K)を使うか、圧力を100000 PaのままにしてR = 8310 Pa・L/(mol・K)を使います。密度をg/Lのままにした2つの計算は一致します。Pa・m³の組を使う場合は、体積や密度もm³に対応させることが必要です。

もう一つの誤答は、密度をそのままモル質量として扱うことです。g/Lは1 L当たりの質量で、g/molは1 mol当たりの質量です。1 Lと1 molの体積が一致するとは限りません。指定された温度と圧力でV/nを求め、密度に掛けると、単位もg/molとなります。

実験を考える場合、学校の指導の下で同じ容器の空の質量と気体を入れた質量を記録し、その差から試料の質量を得ます。容器の体積、圧力、温度を同じ状態で記録し、気体の漏れがないか、装置が温度になじんでいるかを点検します。容器の体積を実際より大きく記録すると、同じ質量から計算した密度は小さく、他の条件が正しければ逆算したモル質量も小さくなります。圧力を実際より大きく記録した場合も、密度と温度が同じなら逆算値は小さくなります。複数の誤差が同時にあれば影響が打ち消し合うこともあるため、結果の一致だけで誤差がないとは言えません。

練習問題

各問題の気体は理想気体とし、与えた数値は計算用です。温度はK、圧力は絶対圧です。計算問題は有効数字3桁で答え、途中では丸めないでください。

400 K、200 kPaで3.00 Lの気体があります。R = 8.31 kPa・L/(mol・K)です。物質量をmolで求めてください。
350 K、120 kPaにある気体の密度は1.20 g/Lです。R = 8.31 kPa・L/(mol・K)として、モル質量をg/molで求めてください。
モル質量28.0 g/molの気体を、300 K、180 kPaに置きます。R = 8.31 kPa・L/(mol・K)として密度をg/Lで求めてください。
ある気体の密度は一定温度で、80.0 kPaでは0.900 g/L、160 kPaでは1.80 g/Lでした。この2点は理想気体の関係に整合するか、比を使って理由を説明してください。
320 K、100000 Paの気体の密度が1.50 g/Lです。R = 8310 Pa・L/(mol・K)としてモル質量をg/molで求めてください。また、圧力をkPaに変えた場合に対応するRの数値と単位を答えてください。

練習問題の解答

n = 200・3.00/(8.31・400) = 0.180505… molなので、0.181 molです。丸め前の値をnRT/Vに戻すと200 kPaになり、容器の圧力を再現します。
M = 1.20・8.31・350/120 = 29.085 g/molなので、29.1 g/molです。1 Lを選ぶと質量1.20 g、物質量120/(8.31・350) molとなり、両者の比は同じ値です。密度式へ戻しても1.20 g/Lです。
ρ = pM/(RT) = 180・28.0/(8.31・300) = 2.02166… g/Lなので、2.02 g/Lです。1 Lの物質量180/(8.31・300) molに28.0 g/molを掛けると同じ質量が得られます。
整合します。圧力は160/80.0 = 2.00倍で、密度も1.80/0.900 = 2.00倍です。同じ温度と同じ気体ならρ/pが一定であるという式に合います。ただし2点だけから全条件での性質は決められません。
M = 1.50・8310・320/100000 = 39.888 g/molなので、39.9 g/molです。100000 Paは100 kPaであり、対応するRは8.31 kPa・L/(mol・K)です。これらを使っても1.50・8.31・320/100 = 39.888 g/molとなり、元の密度に戻ります。

手元に残す要点

気体の状態はpV = nRTで表し、温度をKに直します。
n = m/Mとρ = m/VからM = ρRT/pを導きます。
圧力と体積の単位をRの単位に合わせます。
モル体積はRT/pで、温度と圧力により変わります。
答えを元の状態に戻し、密度と単位を確かめます。

式が立てられないときは、個別指導で、まず本人にp、V、n、Tの単位を問題文の横へ書いてもらいます。次に質量と体積が同じ状態の気体を指しているか、n = m/Mの分母と分子を説明できるかを見ます。数値だけがずれる場合は、換算後の圧力とRの単位を一緒に読み直し、最後に得たモル質量から密度を再計算します。条件をそろえた式は、気体の質量と体積のつながりを示します。