高校数学II 三角関数の定義と相互関係—単位円の座標から符号と値を求める｜武蔵野個別指導塾

単位円の横座標と縦座標を使って平方根の符号を選び、正接を定義できない角も見極めます。

よくあるのは、三角関数の値を二乗の式から求めた高校生が、平方根を取るときに象限を見ず正の値を選ぶ場面です。途中の二乗までは合っていても、単位円上の点が左側にあるなら横座標は負です。図に戻るひと手間で、正負の選択に理由を付けられます。

要点（結論から）

• 単位円の横座標がcos、縦座標がsinです。
• 二乗から値を戻すときは、象限で符号を選びます。
• tanは縦座標を横座標で割り、横座標が0なら定義されません。

定期テストで問われる形

出方の1つは、指定された角について単位円上の点を考え、sin、cos、tanを正確な値で答える形です。角が負の場合も、正の方向とは逆に回して終辺の位置を決めます。1周を超える角なら、回転を1周分ずつ増減して同じ終辺を探せます。

もう1つは、三角関数の1つの値と角の範囲から残りの値を求める形です。二乗の関係で大きさを出し、象限で符号を決めます。さらに、πを使って表された関連する角の値を、元の点の対称な位置から求める問題もあります。どの座標が変わるかを説明できるかが分かれ目です。

ここでは値の定義と相互関係、関連する角を扱います。グラフの移動や三角方程式の解法には広げず、点の座標と式の条件を対応させます。角の範囲を指定されているときは、端点が含まれるかまで問題文で確かめてください。

座標から3つの値を読む

原点を中心とする半径1の円を単位円とします。正のx軸から反時計回りを正として角θだけ回した半直線と円の交点をP(x, y)とすると、cos θ = x、sin θ = yです。点Pは円周上にあるので、x² + y² = 1です。これを座標の名前で書けば、sin² θ + cos² θ = 1となります。

図1のように、横座標がcos、縦座標がsinです。第1象限では両方正、第2象限ではcosが負でsinが正、第3象限では両方負、第4象限ではcosが正でsinが負です。象限は軸上の点を含みません。軸上では座標を直接読みます。

図1の点Pは第2象限の例です。原点からの距離は1で、横座標の負と縦座標の正を図から読めます。点の位置が変わっても、cosが横、sinが縦という対応は変わりません。

tan θはcos θが0でないとき、sin θ / cos θ、つまりy / xです。したがって符号は2つの座標の符号から決まり、第1・第3象限で正、第2・第4象限で負です。cos θ = 0となるπ/2、3π/2などでは0で割ることになるため、tanは定義されません。sin θ = 0でcos θが0でない角ではtan θ = 0です。分子が0の場合と分母が0の場合を区別してください。

cos θが0でなければ、sin² θ + cos² θ = 1の両辺をcos² θで割れます。すると1 + tan² θ = 1 / cos² θです。この式の利用にもcos θ ≠ 0という条件が付いています。式を覚える際は、割ったものが0でないかを一緒に確認します。

関連する角は座標の対称性で考えます。θの点を(x, y)とすると、-θの点はx軸について対称な(x, -y)、π − θの点はy軸について対称な(-x, y)、π + θの点は原点について対称な(-x, -y)です。よって例えばsin(π − θ) = sin θ、cos(π − θ) = -cos θです。tanについては両側が定義される場合に限り、tan(π − θ) = -tan θです。変わらない座標と符号が反転する座標を区別すれば、式の符号を根拠付きで決められます。

座標軸の上と1周の扱い

角が象限の境目にある場合は、象限の符号表だけで判断できません。正のx軸上の点は(1, 0)、正のy軸上は(0, 1)、負のx軸上は(-1, 0)、負のy軸上は(0, -1)です。これらの点を順にたどると、横座標と縦座標のどちらが0かも読み取れます。軸上では正負の判定を無理に当てはめず、座標そのものを使います。

角を2πだけ増やすと点は円を1周して元に戻ります。2πだけ減らしても同じです。そのため、終辺の位置を考えるときには、与えられた角に2πの整数倍を足し引きして見やすい角にできます。ただし、回転した回数の情報が必要な問題では、元の角を消さずに残します。同じ点に着くことと、角の数値が等しいことは別です。

値が1つ与えられても、角の範囲がなければ残りの値の符号が決まらないことがあります。縦座標が正なら点は上半分にありますが、左と右のどちらかはまだ決まりません。二乗の式が示すのは横座標の大きさであり、位置まで指定するには追加の条件が必要です。候補を勝手に減らさず、条件が何を決めるかを見ます。

式を選ぶ前の確認

sinまたはcosが与えられたときは、二乗の和からもう一方の二乗を求める方法が直接的です。一方、tanが与えられたときは、1 + tan² θ = 1 / cos² θからcosの大きさを求め、最後にsin = tan × cosを使えます。どちらの道でも最後に象限を使うので、式の選択だけで符号が決まるわけではありません。

また、tanの値が問題文で与えられていれば、その角でtanが定義されていることが前提です。したがってcosは0ではありません。それに対して、sinやcosの値だけが与えられた問題では、tanを求める直前にcosが0でないかを確認します。使う式の分母を見て条件を書き添える習慣は、軸上の角を含む問題で役立ちます。

基本例題：第2象限で値をそろえる

問題：π/2 < θ < π、sin θ = 3/5とします。cos θとtan θを分数で求めてください。

まず角の範囲からPは第2象限にあります。図2のように縦座標は正で、横座標は負です。単位円上の関係に与えられた値を代入します。

sin² θ + cos² θ = 1

(3/5)² + cos² θ = 1

9/25 + cos² θ = 1

cos² θ = 16/25

ここで二乗が16/25となる数の候補は4/5と-4/5です。第2象限では横座標が負なので、cos θ = -4/5を選びます。二乗を解いた段階で正負の候補を残し、位置を使って一方を選ぶ順番が大切です。

図2の点Pは(-4/5, 3/5)です。次にcos θは0でないため、定義に従って割れます。

tan θ = sin θ / cos θ

= (3/5) / (-4/5)

= -3/4

答えはcos θ = -4/5、tan θ = -3/4です。元の条件に戻すと、点の縦座標は3/5で、横座標は負です。また(-4/5)² + (3/5)² = 1なので点は単位円上にあります。縦座標を横座標で割ると-3/4となり、求めたtanとも一致します。

この確認は、二乗の式に合うことだけでは足りません。正の4/5も二乗は同じですが、第2象限という条件を満たさないためです。問題文の角の範囲に点を戻すことが、符号の誤りを見つける検算になります。

条件を組み合わせる例題

問題：π < θ < 3π/2、tan θ = 2とします。sin θ、cos θ、およびsin(π − θ)を、それぞれ根号を含む正確な形で求めてください。

第3象限ではsin θとcos θがともに負で、cos θは0ではありません。相互関係にtan θ = 2を代入すると、

1 + 2² = 1 / cos² θ

5 = 1 / cos² θ

cos² θ = 1/5

となります。二乗の候補は±1/√5ですが、第3象限の横座標は負です。分母を有理化してcos θ = -√5/5です。

sin θ = tan θ cos θなので、

sin θ = 2 × (-√5/5) = -2√5/5

です。最後はπ − θの点がθの点とy軸について対称であることを使います。縦座標は変わらないので、sin(π − θ) = -2√5/5です。π − θが負の角であっても、同じ対称性が使えます。

逆に点(-√5/5, -2√5/5)を考えると、座標の二乗の和は5/25 + 20/25 = 1です。第3象限にあり、縦座標を横座標で割ると2となります。したがって与えられた範囲とtanの値に戻ります。関連する角でも、対称な点の縦座標が元の縦座標と同じことを確かめられます。

誤答を点の位置から直す

例えば基本例題で「cos² θ = 16/25だからcos θ = 4/5」と書く誤答を考えます。二乗の計算自体は正しいものの、正の平方根だけを採用したため、得られた点は第1象限です。図3のように、同じ高さで左右にある2点は二乗の条件をともに満たします。

図3では右側の点と左側の点の横座標の二乗が等しくなります。指定された第2象限にある左側を選び、cos θ = -4/5と直します。符号を最後に思い出そうとするより、範囲を読んだ時点で点の位置を書いておくと修正しやすくなります。

別の誤りは、tan θ = sin θ / cos θにcos θ = 0を代入し、tan θ = 0とすることです。0で割る計算はできません。例えばθ = π/2では点が(0, 1)なのでsin θ = 1、cos θ = 0ですが、tan θは定義されません。反対にθ = πでは点が(-1, 0)なので、tan θ = 0 / (-1) = 0です。2つの軸上の例を比べると、割る数が0かどうかの違いが見えます。

自分で確かめる問題

次の4問は、角の単位をラジアンとし、値を整数・分数または根号を含む正確な形で答えてください。問題を先に解き、答えの位置と計算を後から照らし合わせます。

1. 3π/2 < α < 2π、cos α = 5/13のとき、sin αとtan αを求めてください。
2. 0 < β < π/2、tan β = 5/12のとき、sin βとcos βを求めてください。
3. sin γ = -7/25、cos γ = 24/25のとき、sin(-γ)、cos(π − γ)、tan(π + γ)を求めてください。
4. δ = 3π/2のとき、sin δ、cos δ、tan δを求めてください。定義されないものがあればその旨を答えてください。

答えと考え方

1. 第4象限なのでsin αは負、cos αは正です。sin² α = 1 − (5/13)² = 144/169より、sin α = -12/13です。cos α ≠ 0だからtan α = (-12/13) / (5/13) = -12/5です。点(5/13, -12/13)は右下にあり、座標の二乗の和は25/169 + 144/169 = 1です。横座標は与えられた5/13に戻り、縦を横で割ると-12/5です。

2. 第1象限ではsin βとcos βが正です。1 + tan² β = 1 / cos² βに代入して、1 + 25/144 = 169/144 = 1 / cos² βを得ます。よってcos² β = 144/169で、cos β = 12/13です。sin β = tan β cos β = (5/12) × (12/13) = 5/13です。点(12/13, 5/13)は第1象限で単位円上にあり、縦を横で割ると5/12です。与えられた範囲とtanの値を両方満たします。

3. -γの点はx軸について対称なので、sin(-γ) = 7/25です。π − γの点はy軸について対称なので、cos(π − γ) = -24/25です。π + γでは両座標の符号が反転し、点は(-24/25, 7/25)です。この横座標は0でないため、tan(π + γ) = (7/25) / (-24/25) = -7/24です。元の点の二乗の和は49/625 + 576/625 = 1で、対称移動後も二乗の和は変わりません。それぞれ指定された座標や比を読み直せます。

4. 3π/2の終辺は負のy軸にあり、単位円との交点は(0, -1)です。したがってsin δ = -1、cos δ = 0です。tan δは分母となるcos δが0のため定義されません。点を負のy軸へ戻しても、縦座標は-1、横座標は0であり、比を計算できないことが確認できます。

要点を残す

• 単位円の横座標がcos、縦座標がsinです。
• 二乗から値を戻すときは、象限で符号を選びます。
• tanは縦座標を横座標で割り、横座標が0なら定義されません。
• 関連する角は対称移動で座標を追います。

どこで止まったかを見分ける

答えの符号が違うときは、最初に角の範囲から点を置けるかを確かめます。点は正しく置けるのに値を間違えるなら、横座標と縦座標の対応、または二乗から戻すときの候補を点検します。計算が合っていてもtanの分母が0のケースを説明できなければ、定義へ戻る練習が必要です。

個別指導で確認するなら、図を隠して公式を唱えるだけでなく、点を描き、なぜその符号を選んだか、割る数が0でないかを順に説明してもらいます。関連する角では移動後の2つの座標を先に書くと、sinとcosの符号を取り違えた場所が見えます。単位円の座標を根拠にすれば、初めて見る角にも落ち着いて向き合えます。