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中学受験の算数最短の道順—交点までの数を足して通れる経路を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数数の性質・規則性・場合の数

格子の道を右と上だけに進むとき、通行止めの交点をよけた経路の数は、各交点に集まる数を足す表で求められます。数え落としが起きる場所と、線を止める場合との違いを比べる最短の道順です。

出方の型と、解く順番

「右と上だけに進む」という約束で格子の道を歩く問題を考えます。道路が碁盤の目のようになっている地図で、左下の角から右上の角へ、遠回りをせずに進む行き方の数を数える場面です。この約束では、左へ戻る道や下へ戻る道は使いません。どの行き方も同じ長さになるので、これを最短の道順と呼びます。

出方は大きく3つに分かれます。1つ目は、まっすぐな格子の道だけで行き方を数える形です。2つ目は、途中の決まった交点を必ず通る形です。3つ目は、工事中の交点や、通れない線をよける形です。

3つの形は、別々の解法を覚える必要がありません。交点に「そこまでの行き方の数」を書き込む表を1つ作れば、通過点も通行止めも、同じ表の一部を書き換えるだけで扱えます。まず表の作り方を固め、そのあとで条件の違いを足していきます。

よくあるのは、通行止めの印が付いた交点にも、となりの数から足した数を書いてしまう場面です。印の意味を取り違えると、そこから先の数がすべてずれます。今日はその一点を、表の書き方から直していきます。

用語と考え方

格子の道では、道が交わる点を交点、交点と交点をつなぐ1区画分の道を辺と呼びます。右へ1区画進むことを「右へ1」、上へ1区画進むことを「上へ1」と数えます。

最短の道順を数えるときは、交点に1つの数を書きます。その数は、左下の始点からその交点まで来る行き方の数です。全部の道順を書き並べるのではなく、行き方の数を交点にためていく考え方です。

なぜ足し算でよいのかを確かめます。ある交点に注目すると、そこへ最後に入る道は2つしかありません。すぐ左の交点から右へ進む道と、すぐ下の交点から上へ進む道です。左から来る行き方が3通り、下から来る行き方が2通りあるなら、その交点までの行き方は3たす2で5通りになります。

この分け方は、場合の数を数えるときの基本です。最後の一歩が右か上かで、行き方の組を2つに分けます。2つの組に重なりはなく、どちらも漏れなく集めれば、全体の数になります。

始点には1と書きます。始点へ行く行き方は「まだ何も進んでいない」の1通りだけだからです。ここを0と書くと、そこから先の数がすべて0になってしまいます。

交点に書く数は、そこへ来るまでの右の回数と上の回数だけで決まります。遠回りをしないので、進む順番が違っても同じ交点に着きます。だから、同じ交点の数は何度計算しても同じになり、表の検算に使えます。

表は下の段から書き、同じ段の中では左から右へ進めます。左と下の数が先に決まっていれば、その交点の数はすぐに決まるからです。斜めに進む道、左へ戻る道、下へ戻る道は使いません。これらを数に入れると、同じ交点を二度通る行き方が混ざります。

区画の数と交点の数を混ぜないようにします。横に4区画なら、交点は左端から右端まで5列です。縦に3区画なら、交点は下から上まで4段です。表に書くのは交点の数なので、区画の数より1つずつ多くなります。

図1のように、小さな格子で試すと仕組みが見えます。始点の1から、右へ進んだ交点と上へ進んだ交点が、どちらも1になります。その次は、左と下の数を足した2が入り、さらに先では3や4といった数が並びます。

図1では、右と上の矢印だけを描いています。矢印の向きを確かめてから、交点の数を読んでください。

図1の表を1段ずつ読むと、数は上へ進んでも減りません。右上の角の数が、その格子の道の行き方の総数です。

書き並べる方法とも比べてみます。区画が増えるほど行き方は急に多くなるので、1つずつ矢印の列で書くと、同じ道を2回書いたり、書き忘れたりしやすくなります。交点に数をためる表なら、各交点で足し算を1回するだけで、抜けは表の形で確かめられます。

数の増え方にも目を向けます。区画が1つ増えると、角の数は大きく跳ね上がります。途中の数を足し忘れると角の数だけが小さく出るので、1段前の数と見比べると気づけます。

基本例題　まっすぐな格子で数を足す

例題1です。横に4区画、縦に3区画の格子の道があります。左下の角をA、右上の角をBとして、AからBへ右と上だけを使って進む行き方は何通りあるか、整数で答えなさい。

表を作ります。下の段は、Aから右へ1区画ずつ進む交点なので、どこも1通りです。Aの真上の交点も1通りです。ここまでは、まっすぐ進む道しかないためです。

2段目からは足し算です。左から2番目の交点は、左の1と下の1を足して2になります。左から3番目は、左の2と下の1を足して3です。左から4番目は3たす1で4、右端は4たす1で5になります。

3段目は、左から2番目が1たす2で3、3番目が2たす3で6、4番目が3たす4で10、右端が4たす5で15です。この段も、左と下の数だけで決まります。

4段目は、左から2番目が1たす3で4、3番目が3たす6で10、4番目が6たす10で20、右端が10たす15で35です。Bの交点の数が35なので、答えは35通りです。

表は、斜めに埋めても同じ数になります。左と下が決まっている交点から順に書けばよいので、段の順番は自由です。ただし、同じ段を飛ばして先だけを書くと、足す相手が決まらずに止まります。

検算として、右と上の区画数を入れ替えて、横3区画、縦4区画の格子でも同じ35通りになることを確かめます。行き方の数は、右へ進む回数と上へ進む回数の組み合わせで決まるため、入れ替えても総数は変わりません。

表の数を全部足すのではありません。足すのは、あくまで1つの交点へ入る2つの数だけです。表全体を合計すると、行き方の数とは別の数になってしまいます。

図2のように、表の数をそのまま並べました。Bの35が、AからBまでの行き方の数です。

標準例題　決まった交点を通る道

例題2です。横に5区画、縦に4区画の格子の道があります。左下の角をA、右上の角をBとします。AからBへ右と上だけで進むとき、左の端から右へ2区画、下の端から上へ2区画進んだ交点Pを必ず通る行き方は何通りあるか、整数で答えなさい。

Pを通る道は、AからPまでの前半と、PからBまでの後半に分けられます。前半の行き方を数え、後半の行き方を数え、最後に掛けます。前半のどの行き方にも、後半のすべての行き方が続くからです。

前半は、横2区画、縦2区画の格子です。表を書くと、Pの交点は6になります。後半は、Pから右へ3区画、上へ2区画進む格子です。Pを始点として同じように書くと、Bの交点は10になります。

6通りと10通りを掛けて、60通りです。これが答えです。前半と後半を足して16通りとしないようにしてください。前半の1通りずつに後半の10通りが続くので、掛け算になります。

別の数え方で照合します。同じ5区画と4区画の格子を最後まで埋めると、Bの数は126になります。Pを通る行き方が60通りなので、Pを通らない行き方は126から60を引いて66通りです。60と66を足すと126に戻るので、数え分けに漏れがないと確かめられます。

この引き算は、全体を「Pを通る」と「Pを通らない」の2つの組に分けた考え方です。2つの組に重なりがなく、合わせると全体になることを確かめてから引きます。どちらか一方でも数え漏れがあれば、足し戻したときに全体の数に戻りません。

分かれ目は、「通る」と「通らない」の区別です。「Pを通る」とあれば前半と後半に分けて掛けます。「Pを通らない」とあれば、全体からPを通る数を引きます。問題文の「通る」と「通らない」を読み違えると、答えが大きくずれます。

通過点が2つあるときは、Aから1つ目、1つ目から2つ目、2つ目からBの3つに分け、3つの数を掛けます。分ける場所が増えても、前半と後半に分ける考え方は変わりません。

通過点が端にある場合も、同じ分け方で解けます。Pが左端にあれば前半は上へ進む1通りだけになり、Pが上端にあれば後半が1通りになります。掛け算の形は変わりません。

発展例題　通行止めの交点と、通れない線

例題3です。例題1と同じ横4区画、縦3区画の格子で、左の端から右へ2区画、下の端から上へ1区画進んだ交点Qが工事中で通れません。AからBへ右と上だけで進む行き方は何通りあるか、整数で答えなさい。

通行止めの交点には0を書きます。通れない点なので、そこまでの行き方は0通りです。0を書いたあとは、ふつうに左と下の数を足していきます。0を足しても数は変わらないので、先の交点には通行止めをよけた道だけが集まります。

表を書きます。Qの段は、左端が1、その右が2、Qが0、その右が0たす1で1、右端が1たす1で2です。次の段は、左端が1、その右が1たす2で3、Qの真上が3たす0で3、その右が3たす1で4、右端が4たす2で6です。

最後の段は、左端が1、その右が1たす3で4、その右が4たす3で7、さらに右が7たす4で11、Bが11たす6で17です。答えは17通りです。

別の数え方で照合します。通行止めのない同じ格子では、例題1のとおり35通りです。Qを通る行き方は、AからQまでが3通り、QからBまでが右2区画と上2区画で6通りなので、3掛ける6で18通りです。35から18を引くと17になり、表の答えと一致します。

通行止めを1か所増やすと、答えは同じか小さくなります。増やしたのに答えが大きくなったら、0を書く場所か、足す相手を見直します。

通行止めが複数あるときも、それぞれの交点に0を書けば、同じ1つの表で数えられます。場合分けを増やして足し引きするより、表を1つ埋めるほうが数え落としは少なくなります。

0を書いた交点の先では、数が急に小さくなります。それは、そこを通る行き方が消えたからです。小さくなり方が不自然に感じたら、0を書いた場所が正しいか、となりの数を見直します。

例題4です。同じ横4区画、縦3区画の格子で、左の端から右へ1区画、下の端から上へ1区画進んだ交点と、その右どなりの交点を結ぶ横の辺が通れません。AからBへ右と上だけで進む行き方は何通りあるか、整数で答えなさい。

線が通れない場合も、表で数えられます。ただし、点に0を書くのではありません。通れない辺から入ってくる数だけを足さないようにします。右どなりの交点は、左からは来られないので、下からの1だけを書きます。

表を書きます。問題の段は、左端が1、その右が2、通れない辺の先が下からの1、その右が1たす1で2、右端が2たす1で3です。次の段は、左端が1、その右が1たす2で3、さらに右が3たす1で4、その右が4たす2で6、右端が6たす3で9です。

最後の段は、左端が1、その右が1たす3で4、さらに右が4たす4で8、その右が8たす6で14、Bが14たす9で23です。答えは23通りです。

別の数え方でも確かめます。全体は35通りです。問題の辺を通る行き方は、Aからその辺の手前までが2通り、辺の先からBまでが6通りなので、2掛ける6で12通りです。35から12を引くと23になり、一致します。

点の通行止めと線の通行止めは、表の直し方が違います。点のときは、その交点の数を0にします。線のときは、その辺を使う一歩だけを消し、交点の数は0にしません。同じ「通れない」でも、止めている物が違うのです。

同じ場所でも、点を止めるほうが行き方は少なくなります。点を止めると、その交点を通るすべての道が消えるからです。線を止めたときは、その1本を使わずに回り込む道が残ります。2つの答えを比べると、消えた道の多さがわかります。

例題5です。横4区画、縦3区画の格子で、右へ2区画、上へ1区画進んだ交点Pを必ず通り、右へ3区画、上へ2区画進んだ交点Qは通行止めです。AからBへ右と上だけで進む行き方は何通りあるか、整数で答えなさい。

通過点と通行止めが同時にあるときは、Pまでの前半と、PからBまでの後半に分けます。前半は3通りです。後半は、PからBまでの格子を考え、Qを0にして数えます。Qを通る4通りを全体の6通りから除くので、2通りです。

後半を表でも確かめます。Pを始点として右2区画、上2区画の表を書くと、Qは0、その右は1、Qの真上は1、Bは2になります。前半の3通りにそれぞれ2通りが続くので、3掛ける2で6通りです。

誤答から直す　通行止めの点に数を足す

誤答の実例です。横3区画、縦2区画の格子で、右へ1区画、上へ1区画進んだ交点Qが通行止めのとき、Qに左の1と下の1を足して2と書き、その先も2を足して3、4と進めてしまいました。上段も同じ調子で足し、最後の交点を10としています。

正しい表では、Qに0を書きます。Qの右は0たす1で1、その右は1たす1で2です。上段は、左端が1、Qの真上が1たす0で1、その右が1たす1で2、最後の交点が2たす2で4になります。正しい答えは4通りで、誤答の10通りとは大きく違います。

原因は2つあります。1つ目は、通行止めの印を「通れるが工事中」と読んだことです。2つ目は、すべての交点に同じ規則を当てはめればよいと思い込んだことです。通行止めの交点だけは、足し算の前に0と決めます。

同じ格子で、Qへ入る左の辺だけが通れない場合と比べます。このときQの数は0ではなく、下からの1だけになります。Qの右は1たす1で2、Qの真上が1たす1で2、その右が2たす2で4、最後の交点が4たす3で7通りです。点を止めるのか、線を止めるのかで、表の書き方が変わることを確かめてください。

図3のように、誤った表と正しい表を並べました。通行止めの交点の数が、2と0で違う点に注目してください。

線の通行止めを点の通行止めと同じに扱う誤りも比べます。3区画と2区画の格子で、Qへ入る左の辺が通れないのに、Qを0にしてしまうと、最後の交点は4通りになります。正しい7通りより小さくなり、通れるはずの道まで消してしまいます。

もう1つ多い誤りは、通過点の問題で、Pを通る行き方の6通りをそのまま答えにしてしまうことです。PからBまでの後半を掛け忘れると、数が小さくなりすぎます。全体より大きければ誤りですが、全体より小さくても掛け忘れを見逃すことがあります。前半の1通りに後半が何通り続くかを確かめます。

答えを出したあと、表の角の数だけを見て終わりにしないことも大切です。途中の段で0の列が続いていないか、通行止めの先の数が飛んでいないかを、上へ戻りながら確かめます。

数の書き写し間違いにも注意します。表の数を別の紙に写すとき、10と01のように桁を入れ替えると、その先の足し算がすべて変わります。写したら、1段前の数と足して合うかを確かめます。

練習問題

次の5問は、どれも左下の角をA、右上の角をBとし、右と上だけを使います。答えは整数で、単位は「通り」です。問題を全部読んでから、下の答えと解き方に進んでください。

どの問いも、まず表の枠を書き、通行止めの交点があればそこに0を入れてから、下の段から埋めます。急いで角の数だけを出そうとすると、途中の足し忘れに気づけません。

横に3区画、縦に3区画の格子の道があります。左下の角Aから右上の角Bへ進む行き方は何通りありますか。
横に4区画、縦に5区画の格子の道があります。AからBへ進むとき、左の端から右へ1区画、下の端から上へ3区画進んだ交点Pを必ず通る行き方は何通りありますか。
横に4区画、縦に4区画の格子の道があります。左の端から右へ2区画、下の端から上へ2区画進んだ交点Qが通行止めです。AからBへ進む行き方は何通りありますか。
横に5区画、縦に3区画の格子の道があります。左の端から右へ1区画、下の端から上へ1区画進んだ交点と、左の端から右へ3区画、下の端から上へ2区画進んだ交点の2か所が通行止めです。AからBへ進む行き方は何通りありますか。
横に5区画、縦に3区画の格子の道があります。左の端から右へ2区画、下の端から上へ1区画進んだ交点と、左の端から右へ3区画、下の端から上へ1区画進んだ交点を結ぶ横の辺が通れません。AからBへ進む行き方は何通りありますか。

答えと解き方

答えは20通りです。下の段はすべて1です。2段目は1、2、3、4、3段目は1、3、6、10、4段目は1、4、10、20となり、Bの数は20です。
答えは40通りです。AからPまでは右1区画、上3区画で4通りです。PからBまでは右3区画、上2区画で10通りです。4掛ける10で40通りになります。
答えは34通りです。Qに0を書いて表を埋めます。下から2段目は1、2、3、4、5、Qの段は1、3、0、4、9です。次の段は1、4、4、8、17、最後の段は1、5、9、17、34となり、Bの数は34です。
答えは14通りです。2か所とも0にして表を埋めます。問題の段は1、0、1、2、3、4です。次の段は1、1、2、0、3、7です。最後の段は1、2、4、4、7、14となり、Bの数は14です。
答えは38通りです。通れない辺の先の交点には、左からの数を足さず、下からの1だけを書きます。問題の段は1、2、3、1、2、3です。次の段は1、3、6、7、9、12、最後の段は1、4、10、17、26、38となり、Bの数は38です。