中学受験の算数 樹形図と数え方—枝を分ける基準をそろえて抜けと重複をなくす｜武蔵野個別指導塾

飲み物と容器を選ぶように、一つの選択で次の候補の数が変わる場面では、同じ数をそのまま掛けると数え落としが生じます。枝ごとの本数を書き出して足す手順を、3つの例題と5つの練習でたどる手がかりは樹形図です。

枝の本数がそろわないときに何が起きるか

よくあるのは、飲み物と容器を1つずつ選ぶ場面です。飲み物が3種類、容器が2種類と聞くと、3×2=6と書いて答えを6通りにするお子さまがいます。ところが、炭酸の飲み物だけは水筒しか使えないという条件が付いていると、正しい数は5通りになります。枝の本数がそろっていないのに、そろっているものとして掛けてしまった例です。

この形は、次の3つの型で出てきます。1つ目は2段の型で、1つ目の選び方によって2つ目の候補の数が変わります。2つ目は3段の型で、途中までは同じでも、最後の段の候補の数が枝ごとに変わります。3つ目は条件で除く型で、すべての組を並べた後に、使えない組だけを取り除きます。

2段の型は、2つのものを1つずつ選ぶ場面で出ます。1回目の選択で枝が分かれ、2回目の候補が枝の先に並びます。3段の型は、選択が3回続く場面です。1段目と2段目は同じ数で分かれても、3段目で候補の数が変わるため、最後まで数を見比べる必要があります。条件で除く型は、すべての組がいったんは作れる場面です。そこから、同じ材料どうしを組み合わせないという決まりで、一部の組だけが消えます。

型が違っても、最初にすることは同じです。何を先に決めるかを1つに固定し、その基準で枝を分け、枝ごとに末端の数を数え、最後に足します。掛け算は、すべての枝の末端の数が同じときにだけ使える近道だと考えると、迷いにくくなります。

ここからの見通しは3つです。まず樹形図の読み方を言葉で確かめます。次に、2段と3段の例題で、枝ごとに数を数える手順を練習します。最後に、掛けてしまった誤答を図で直し、どの枝が違うのかを見つける練習をします。

用語と考え方

樹形図は、選び方の順に枝を伸ばしていく図です。はじめの点から出る線を枝、枝の先で分かれる点を節、行き止まりの末端を葉と呼びます。ここでは、葉の数を「その枝で作れる組の数」として数えます。はじめの点は根です。覚える言葉は、枝、葉、段の3つで足ります。

分ける基準とは、最初に何を決めるかという順番のことです。飲み物と容器の例なら、「飲み物を先に決める」のか「容器を先に決める」のかを、最初に決めます。基準を途中で変えると、同じ組が2回出たり、片方の組が抜けたりします。樹形図は、この順番を目で見える形にしたものです。

基準は、条件が付いているほうを先にすると決めやすくなります。条件が後の段に隠れていると、枝を書き終えてから「この組は使えない」と気づくことになるからです。どちらを先にしても組の数は変わりません。変わるのは、書きやすさと確かめやすさです。

樹形図を書く目的は、すべての組をきれいに並べることではありません。どの枝で候補が減ったのかを、後から指で示せるようにすることです。式だけを書くと、減った場所が消えてしまいます。図が残っていれば、答えが合わないときに、どの段まで戻ればよいかがわかります。

掛け算が使える理由を確かめます。3つの枝があって、どの枝にも葉が2つずつ付いているとします。このとき葉の数は2+2+2です。同じ数を3回足すことは、3×2と書けます。枝が4本で葉が3つずつなら、3+3+3+3を4×3と書きます。つまり、すべての枝の葉の数が同じときに限り、たし算を掛け算に置き換えられます。逆に、枝ごとに葉の数が違えば、2+2+1のように足し算のまま数えます。

図1のように、枝ごとに葉の数が違う樹形図では、末端の数を1つずつ読み取って足します。右側の小さな枠は、すべての枝が同じ本数だった場合です。このときだけ掛け算にしてよいことを、左右に並べて確かめられます。

数える手順は5つです。

1. 何を先に決めるかを1つ決める。
2. その基準で枝を分ける。
3. 枝ごとに、次の候補をすべて書き出す。
4. 枝ごとに末端の数を数える。
5. 足す。別の基準でも数えて、同じ数になるか照合する。

葉を数えるときは、末端に小さな点を打つと数え間違えません。1枚数えたら点を1つ打ち、最後に点の数を数えます。図が大きくなったときは、枝ごとに点の数を横に書いておき、最後に足します。点を打たずに目で追うと、同じ葉を2回数えたり、1枚飛ばしたりします。

この5つのうち、抜けが起きやすいのは3番目です。1本目の枝だけ丁寧に書いて、2本目以降を「同じように」で済ませると、枝ごとの違いが消えます。枝ごとに候補の数が違う問題では、1本目と2本目を必ず別々に書き出します。

重複が起きやすいのは、基準を変えたときです。「飲み物を先に決める」図と「容器を先に決める」図は、別の図ですが、作られる組の集まりは同じです。片方の図で数えた組が、もう片方の図にも必ず1回だけ出ます。この対応を確かめると、数え落としと重複の両方を見つけられます。

組の数が少ないときは、樹形図を書いてから表にまとめると、数え落としを二重に防げます。表の行は1つの組を表すので、同じ行が2回出ていないかを見れば、重複に気づけます。樹形図は選ぶ順番の確認に向いており、表は並んだ組の一覧の確認に向いています。どちらか一方だけで済ませず、2つを往復すると、数えた根拠が残ります。

基本例題（飲み物と容器）

問題です。飲み物が3種類（牛乳、お茶、炭酸水）と、容器が2種類（紙コップ、水筒）あります。飲み物と容器を1つずつ選んで組を作ります。ただし、炭酸水を選ぶときは水筒しか使えません。組は全部で何通りありますか。

解き方です。まず飲み物を先に決める基準にします。牛乳の枝からは、紙コップと水筒の2本が伸びます。お茶の枝からも、紙コップと水筒の2本です。炭酸水の枝からは、水筒の1本だけです。

手順を1行ずつ書きます。1つ目に、飲み物を先に決めると決めます。2つ目に、1段目へ牛乳、お茶、炭酸水の3本を書きます。3つ目に、牛乳の枝の先へ紙コップと水筒を書きます。4つ目に、お茶の枝の先へも紙コップと水筒を書きます。5つ目に、炭酸水の枝の先へは水筒だけを書きます。6つ目に、葉の数を枝ごとに読み、2+2+1を計算します。

図2のように、3本の枝と、その先の葉を書き出します。牛乳の葉は2枚、お茶の葉は2枚、炭酸水の葉は1枚です。葉の数を足すと、2+2+1=5になります。答えは5通りです。

ここで、3×2=6としなかった理由を言葉にします。3×2は、3つの枝すべてに葉が2枚ずつあるときに使える式です。炭酸水の枝だけ葉が1枚なので、この問題は当てはまりません。枝の本数を見比べて、そろっていないことに気づくことが、この単元の出発点です。

組を書き出して、使えない組が混ざっていないかも確かめます。牛乳と紙コップ、牛乳と水筒、お茶と紙コップ、お茶と水筒、炭酸水と水筒の5つです。炭酸水と紙コップの組は、条件によって作られていません。書き出した5つを指で数え、図の葉の5枚と対応することを見ます。

検算は、基準を変えて行います。容器を先に決めると、紙コップの枝からは牛乳とお茶の2本、水筒の枝からは牛乳、お茶、炭酸水の3本が伸びます。2+3=5で、同じ5通りになりました。基準を変えても同じ数になるなら、数え落としも重複もない可能性が高いと判断できます。数が一致するのは、組の1つ1つが両方の図に1回ずつ出るからです。飲み物と紙コップの組は、飲み物から見た図では牛乳の枝の葉に、容器から見た図では紙コップの枝の葉に現れます。この1対1の対応が崩れていなければ、数は一致します。

標準例題（3段の組）

問題です。昼食の組を作ります。パンは2種類（食パン、丸パン）です。中身は、食パンには3種類（たまご、ツナ、チーズ）、丸パンには2種類（ハム、レタス）があります。飲み物は、たまごの組だけ2種類（お茶、牛乳）から選べます。ほかの組の飲み物はお茶の1種類だけです。組は全部で何通りありますか。

解き方です。段は3つあります。1段目はパン、2段目は中身、3段目は飲み物です。1段目の枝は2本です。2段目は、食パンから3本、丸パンから2本に分かれます。3段目は、たまごの葉から2本、ツナの葉から1本、チーズの葉から1本、ハムの葉から1本、レタスの葉から1本に分かれます。

3段目を書くときは、飲み物の欄を中身ごとに分けます。たまごの欄だけ2種類、ほかの欄は1種類です。欄をまとめて「飲み物は2種類」と書くと、たまご以外の組にも2種類を当てはめてしまいます。

末端の数を枝ごとに足します。食パンの側は、2+1+1=4です。丸パンの側は、1+1=2です。全体では4+2=6になります。

この問題では、2段目の時点で枝の本数がそろっていません。食パンの枝は3本、丸パンの枝は2本です。さらに3段目で、たまごの枝だけが2本に分かれます。掛け算を3回重ねる形にできない理由は、2段目と3段目の両方で枝の数が違うからです。どちらの段で数が変わったのかを、図の上で別々に指させるようにします。

表にすると、次のようになります。

表の右端を足すと、2+1+1+1+1=6です。答えは6通りです。

ここで2×3×2=12とすると、2倍になってしまいます。12という式は、すべての中身に飲み物が2種類ずつある場合の数です。実際には、たまご以外の4つの組には飲み物が1種類しかありません。どこで候補が減ったのかを、3段目の枝で確かめるのが分かれ目です。

検算は、組をすべて書き出して行います。食パンとたまごの組は、お茶と牛乳で2つ。食パンとツナの組は、お茶で1つ。食パンとチーズの組は、お茶で1つ。丸パンとハムの組は、お茶で1つ。丸パンとレタスの組は、お茶で1つです。合計は2+1+1+1+1=6で、表の数と書き出した数が一致しました。

発展例題（同じ材料を除く）

問題です。ケーキを1つ作ります。生地は3種類（プレーン、チョコ、抹茶）から1つ、トッピングは3種類（いちご、ナッツ、チョコソース）から1つ選びます。ただし、同じ材料どうしの組、つまりチョコ生地とチョコソースの組は選べません。組は全部で何通りありますか。

解き方です。まず条件を外して、すべての組を数えます。生地3種類とトッピング3種類なので、9つの組が並びます。次に、使えない組を探します。チョコ生地とチョコソースの1組だけが使えません。9-1=8です。

枝ごとに数えても、同じ結果になります。プレーンの枝には、いちご、ナッツ、チョコソースの3枚の葉が付きます。チョコの枝には、いちごとナッツの2枚だけです。抹茶の枝には、いちご、ナッツ、チョコソースの3枚が付きます。3+2+3=8です。答えは8通りです。

条件を扱う方法は2つあります。1つは、すべての組を数えてから使えない組を引く方法です。もう1つは、最初から使えない枝を書かない方法です。どちらも8通りになりますが、引く方法は数え落としに気づきやすく、枝を減らす方法は図が小さくなります。両方を試すと、条件の意味が言葉になります。

9つの組を表にすると、使えない組が1つだけであることを確かめられます。

表の「使える」を数えると8つです。行ごとに数えると、3+2+3になります。列ごとに数えると、3+3+2です。どちらの向きから数えても8つになることを、指で確かめます。

この型では、引く数が何を表しているかを言葉にすることが大切です。9-1の1は、9つの組のうちの1つを指します。どの組かが言えないまま引き算をすると、別の組を引いてしまったときに気づけません。チョコ生地とチョコソースの組、と具体的に言えるようにします。

別の数え方でも確かめます。トッピングを先に決める基準にすると、いちごの枝から3本、ナッツの枝から3本、チョコソースの枝から2本が伸びます。3+3+2=8です。基準を変えても8通りになりました。

誤答から直す

基本例題で、3×2=6と答えたお子さまがいました。図2の樹形図を書かせると、炭酸水の枝から水筒だけが伸びていることに気づきます。それでも、式の6を消さずに、答えだけ5に直そうとします。

原因は、1段目と2段目の数をそのまま掛けたことにあります。3種類と2種類という2つの数を見て、すべての枝に同じ本数の葉が付いていると決めつけていました。枝の本数がそろっているかどうかを、図で確かめていませんでした。

修正は、末端の数を枝ごとに数えることです。牛乳の枝の葉は2枚、お茶の枝の葉は2枚、炭酸水の枝の葉は1枚です。2+2+1=5と書きます。式の形が掛け算からたし算に変わった理由も、言葉にしておきます。枝によって葉の数が違うからです。

同じ誤りは、標準例題でも起きます。2×3×2=12と書いてしまう例です。この式は、3段目の飲み物がすべての組に2種類ある場合の数です。実際は、たまご以外の4つの組には飲み物が1種類しかありません。誤答の12と正しい6の差は6で、減った飲み物の数と対応しています。どこで候補が減ったかを、3段目の枝で確かめます。

別の誤りに、2つの基準で数えた結果を足してしまう例があります。飲み物を先に決めた図で5通り、容器を先に決めた図でも5通りだからと、5+5=10とするお子さまがいます。この2枚の図は、同じ組を別の順番で並べたものです。足すのではなく、片方の図だけで数えます。基準を変えるのは、答えを照合するときであって、答えを増やすときではありません。2枚の図を並べたときは、片方の組がもう片方に1回ずつ対応することを確かめます。

図3のように、左側の掛け算と右側のたし算を並べると、どこが違うのかが見やすくなります。左は、すべての枝が同じ本数だと考えた式です。右は、炭酸水の枝だけ葉が1枚だと見た式です。式を直す前に、図の葉の数を指で数える習慣を付けると、同じ誤りが減ります。

練習問題

練習でも、式を先に書かず、1段目の枝と2段目の候補を書いてから数えます。条件のある問題は、どの枝で候補が減るかに印を付けます。答えを書いた後は、基準を変えて数え直し、同じ数になるかを見ます。

次の5問を解いてください。答えは、それぞれ何通りか、または何種類かを整数で答えます。答えと解き方は、5問の後にまとめてあります。

1. えんぴつが3種類（赤、青、黄）あります。キャップは、赤には2種類、青には1種類、黄には4種類あります。えんぴつとキャップを1つずつ選ぶと、組は何通りありますか。
2. ノートが4色（赤、青、黄、緑）、ペンも同じ4色あります。ノートとペンを1つずつ選びますが、同じ色どうしの組は使えません。組は何通りありますか。
3. 遠足のコースが2つ（山、海）あります。山コースの持ち物は4種類です。海コースの持ち物は何種類かあります。コースと持ち物の組が全部で9通りになるとき、海コースの持ち物は何種類ですか。
4. 封筒が3種類（白、桃、水色）、切手があります。白の封筒には3種類、桃の封筒には2種類、水色の封筒には2種類の切手が合います。ただし、桃の封筒には赤い切手を使えません。封筒と切手の組は何通りありますか。
5. パンが5種類、ジャムが4種類あります。いちごのジャムは、2種類のパンにだけ合います。ほかの3種類のジャムは、5種類のパンすべてに合います。パンとジャムを1つずつ選ぶと、組は何通りありますか。

答えと解き方

1. 赤の枝に2枚、青の枝に1枚、黄の枝に4枚の葉が付きます。2+1+4=7です。答えは7通りです。3つの枝の葉の数がそろっていないので、掛け算にはしません。
2. 赤いノートには、赤以外の3色のペンが合います。青、黄、緑のノートも同じく3色ずつです。4×3=12です。答えは12通りです。別の数え方では、4×4=16から同じ色の4組を引いて、16-4=12になります。
3. 山コースの4通りと、海コースの何通りかを足すと9通りです。9-4=5です。答えは5種類です。確かめに、4+5=9となることを見ます。
4. 白の封筒は3種類です。桃の封筒は2種類から赤い切手を除いて1種類です。水色の封筒は2種類です。3+1+2=6です。答えは6通りです。桃の枝だけ葉が1枚減ったことを、図で確かめます。
5. いちご以外のジャムは3種類あり、どれも5種類のパンに合います。3×5=15です。いちごのジャムは2種類のパンに合うので、2通りです。15+2=17です。答えは17通りです。別の数え方では、5×4=20から、いちごが合わない3種類のパンを引いて、20-3=17になります。

覚えておくこと

• 樹形図では、枝ごとに末端の数を数えて足す。
• 掛け算は、すべての枝の末端の数が同じときだけ使う。
• 分ける基準は最初に1つ決め、途中で変えない。
• 使えない組は、掛けた数から引く前に、どの組かを言葉にする。
• 基準を変えても同じ数になるか確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

掛け算の式をすぐに書くお子さまは、枝の本数がそろっているかを確かめていません。問題文を読んだ後に、まず1段目の枝を書かせ、2段目の候補が枝ごとに違わないかを声に出して確認します。違うところがあれば、そこに印を付けます。

樹形図の枝を途中で分け忘れる場合は、1段目の枝の先に線を引き、それぞれの線の下に候補を書かせます。1本目の枝だけ詳しく書いて、2本目を「同じ」で済ませていないかを見ます。

枝の数を数えて答えにする誤りもあります。牛乳、お茶、炭酸水の3本を数えて3通りとする例です。枝の数は1段目の選択肢の数であり、組の数ではありません。枝の先の葉まで数えるという約束を、図を書き始める前に確かめます。

重複が起きる場合は、同じ組を2回書いていないかを確かめます。基準を変えた2枚の図を並べ、片方の組がもう片方に1回ずつ対応するかを見ます。対応が崩れている場所が、数え落としの場所です。

条件の読み落としは、「ただし」の後の文に線を引かせて確かめます。使えない組が1つだけか、枝によって数が変わるのかを、言葉で説明させます。説明が「たぶん」で止まる場合は、図の葉の数を数え直します。

確かめる順番は、図、式、答えの3つです。図の葉の数と式の数が合っているか。式の答えと書いた答えが合っているか。答えを問題文に戻したときに使えない組が混ざっていないか。この3つを順に声に出して確かめると、直す場所が絞れます。

個別指導で確かめるのは、図の末端の数と式の数が対応しているか、答えを問題文に戻したときに使えない組が混ざっていないかの2点です。説明を聞くだけでなく、お子さま自身の手で枝を書き、葉を数える時間を取ると、誤りの場所がはっきりします。

枝の本数を指で数えてから式を書くと、掛け算とたし算のどちらを使うかが自然に決まります。