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中学受験の算数約分と通分—等しい分数の条件を保って大小と空欄を判断する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数数の性質・規則性・場合の数

分母と分子を同じ数で割る約分で大きさが変わらない理由を線分図で確かめ、空欄では一方の倍率を他方へ写し、大小を比べるときにばらばらの分母を同じ数へそろえるのが通分です。

よくあるのは、24/36 の分子を6で割って4、分母を4で割って9と書き、4/9 を答えにする場面です。24も36も、割った数はどちらもその数の約数です。それなのに答えが違ってしまうのは、分子と分母に当てた数が別々だからです。分数は分子と分母が一組で1つの大きさを表します。片方だけ別の数で割ると、見た目は約分に似ていても、大きさの違う別の分数になります。

等しい分数の条件、約分と既約分数、通分による大小の判断、空欄の埋め方が中心です。比の文章題や割合の文章題には広げません。分数そのものの大きさを、線分図と表で確かめながら進めます。

出方の型と見通し

問題には大きく3つの型があります。

・型1 空欄: 28/42 = □/6 のように、等しい分数の一部が空欄になっていて、当てはまる整数を答える。・型2 大小: 5/8 と 7/12 のように分母の違う分数を比べ、大きいほうを答える。・型3 約分: 18/24 を既約分数に直す、条件に合う等しい分数をすべて書き出す。

3つの型は別々の技に見えますが、根っこは同じです。分数は「1を何等分したうちの何個分か」を表しています。分け方を細かくしても、細かくした分だけ個数が増えるので、塗られている割合は変わりません。だから分子と分母に同じ数を掛けても、同じ数で割っても、大きさは保たれます。空欄はこの倍率を読み取る問題、大小は分母をそろえて分子を見る問題、約分は同じ数で割り続ける問題です。どれも「同じ数を両方に当てる」という一つの約束の上に載っています。

用語と考え方

3/4 は、1を4等分したうちの3つ分です。このとき4を分母、3を分子といいます。分母は「何等分したか」、分子は「そのうち何個か」を表します。この2つの役割を分けて持っておくと、この先の判断がぶれません。

2/3 と 4/6 は、分け方が違うだけで同じ大きさです。1/3 をさらに2つに分けると1/6が2個できます。ですから2/3 の2個分は、1/6が4個分になります。分子の2が4に、分母の3が6に、どちらも2倍になっています。同じように、1/3 を3つに分けると1/9が3個で、2/3 は1/9が6個分です。分子も分母も3倍です。

もとの分数	どちらも2倍	どちらも3倍
2/3	4/6	6/9
3/5	6/10	9/15

この表のどの行も、分数の大きさは同じです。分子と分母に同じ数を掛けることは、2/2 や 3/3 という1を掛けるのと同じで、大きさを変えません。2/3 × 2/2 = 4/6 という式は、かけ算の1の使い方そのものです。同じ理由で、分子と分母を同じ数で割ることもできます。割り算は掛け算の逆なので、1を割るのと同じ働きになります。

分子と分母を公約数で割って数を小さくすることを約分といいます。1以外の公約数がなくなった分数を既約分数といいます。分母が違う分数を同じ分母の分数に直すことを通分といい、そろえた分母を共通分母といいます。共通分母は公倍数ならどれでも使えますが、最小公倍数を選ぶと数が小さくなり、計算の見通しが立ちます。約分は割り算、通分はかけ算で、向きは逆ですが、分子と分母に同じ数を当てる点は同じです。

ここで、同じ数を掛けるときに0を使わない理由も確かめておきます。分子と分母に0を掛けると 0/0 になり、1を何等分したかを表せなくなります。割る数に0を使えないのも同じ理由です。約分でも通分でも、使う数は1以上の整数に限ります。

等しい分数は、1つの分数に対していくらでも作れます。2/3 は 4/6 でも 6/9 でも 8/12 でも同じ大きさです。どれが正しいということはなく、場面に合わせて選びます。約分はその中から一番小さい数の組を選ぶ操作、通分は2つの分数を同じ分母の組にそろえる操作です。同じ「等しい分数」の仲間を使っているのに、目的によって選ぶ向きが違う、と捉えると見通しが立ちます。

数直線で見ると、等しい分数は同じ位置に重なります。0から1までの線を3等分した2つ目の目盛りと、6等分した4つ目の目盛りは同じ点です。9等分した6つ目の目盛りも同じ点に来ます。分母が大きいほど目盛りは細かくなりますが、指す位置は変わりません。この重なりが、約分しても大きさが変わらないことの正体です。

図1のように、同じ長さのテープを3等分・6等分・9等分して、それぞれ2個分・4個分・6個分を塗ると、塗られた長さはどれも同じになります。分け方が細かくなっても、塗る割合は変わらない、ということが目で確かめられます。

ここでよくある誤解が、分母が大きいほど分数も大きい、というものです。1/9 と 1/3 を比べると、9等分した1個分のほうが短いので、1/9 のほうが小さいのです。分母は分ける数、分子は取る数です。分母が増えると1個分は小さくなり、分子が増えると個数が増えます。この2つを別々に読まないと、分子だけを見て大小を決める誤りにつながります。

基本例題

例題1　18/24 を約分して、既約分数にしなさい。

まず、18と24の公約数を書き出します。18の約数は 1、2、3、6、9、18 です。24を余りなく割れる数についても、1、2、3、4、6、8、12、24と並べて、18の列と見比べます。両方に共通して入る数は 1、2、3、6 で、一番大きいのは6です。

次に、分子と分母を同じ6で割ります。18 ÷ 6 = 3、24 ÷ 6 = 4 です。答えの候補は 3/4 になります。

最後に、3と4の公約数を調べます。3の約数は 1 と 3、4の約数は 1、2、4 で、共通するのは1だけです。したがって 3/4 は既約分数で、これ以上は割れません。

答え　3/4

確かめをします。24を4等分すると6で、その3個分は18です。つまり24等分した18個分は、6個ずつ4組にまとめた3組分と同じ長さです。図2のように、24等分のテープと4等分のテープを並べて比べると、塗られた部分の長さが一致します。

別の道筋でも確かめられます。18と24をまず2で割って 9/12、さらに3で割って 3/4 と進んでも同じ答えです。一度に6で割っても、2で割ってから3で割っても、結局は同じ6で割ったことになります。急いで大きな公約数を探すより、小さな公約数で順に割るほうが、途中で数を見失いにくい場合もあります。

公約数を探すときは、2、3、5で割れるかを先に調べると早く進みます。数の末尾が偶数なら2で割れます。末尾が0か5なら5で割れます。3で割れるかは、各位の数を足して3の倍数になるかで判断できます。2桁の数なら、十の位の数は10倍して 10、20 のように表せます。10は9 + 1、20は18 + 2と、9の倍数を分けて取り出せるので、残る各位の数の和を見ればよいのです。たとえば18は 1 + 8 = 9 で3の倍数なので3で割れます。24は 2 + 4 = 6 で3の倍数なので3で割れます。この調べ方で6が見つかったわけです。見つけた公約数で両方を割り、割れなくなったら次の公約数を探します。表に約数を小さい順に書き出す方法と組み合わせると、見落としが減ります。

この例題で気をつけるのは、6で割るときに18だけを割って、24をそのままにしないことです。18だけを割ると 3/24 になり、元の 18/24 とは別の大きさの分数になります。分子と分母は必ず同じ数で割ります。

標準例題

例題2　28/42 = □/6 = 14/□ の□に当てはまる整数を、それぞれ書きなさい。

はじめに、42が6に変わったことに注目します。42 ÷ 6 = 7 なので、分母は7で割られています。同じ7で分子も割ると、28 ÷ 7 = 4 です。一つ目の□は4になります。

次に、28が14に変わったことに注目します。28 ÷ 2 = 14 なので、分子は2で割られています。同じ2で分母も割ると、42 ÷ 2 = 21 です。二つ目の□は21になります。

確かめをします。4/6 はどちらも2で割ると 2/3、14/21 はどちらも7で割ると 2/3 です。もとの 28/42 も、どちらも14で割ると 2/3 になります。3つの分数が同じ大きさなので、空欄の埋め方は正しいとわかります。

答え　4 と 21

この型の分かれ目は、分母に当てた数を分子へ写し忘れることです。42を6にするために7で割ったのに、分子の28をそのまま書いて 28/6 としてしまうと、大きさが変わってしまいます。空欄が2つあるときは、それぞれの空欄について「どちらが何倍、または何分の1になったか」を別々に読むと混乱しません。

別の見方もあります。28/42 を先に約分すると 2/3 です。そこから 2/3 = □/6 を読むと、分母が3の2倍なので分子も2倍で4、2/3 = 14/□ を読むと、分子が2の7倍なので分母も7倍で21、と求められます。どちらの入口から入っても同じ答えに着きます。

例題3　5/8 と 7/12 では、どちらの分数が大きいですか。

分母が違うので、そのままでは分子を比べられません。8の倍数は 8、16、24、32、40、48 と続きます。12の倍数は 12、24、36、48 と続きます。共通する最初の数は24なので、共通分母を24にします。

5/8 は、分母の8を3倍すると24になります。分子の5も同じ3倍にして 15/24 です。7/12 は、分母の12を2倍すると24になります。分子の7も同じ2倍にして 14/24 です。

分母が24でそろったので、あとは分子を比べます。15 > 14 なので、5/8 のほうが大きいと決まります。

答え　5/8 > 7/12

確かめとして、共通分母を48にしても比べてみます。5/8 は分母を6倍して 30/48、7/12 は分母を4倍して 28/48 です。30 > 28 なので、やはり5/8 が大きいという結論は変わりません。共通分母は24でも48でもよく、比べる相手が同じなら結論は同じです。

この例題の分かれ目は、分母だけを24にそろえて、分子を元のままにしてしまうことです。5/24 と 7/24 では、どちらも元の分数より小さな別の分数で、大小の判断には使えません。通分では、分母に掛けた数を必ず分子にも書きます。分子の差は1で、共通分母24の1個分だけの違いです。差が小さいときほど、片方の掛け忘れが答えを逆にしてしまいます。

最小公倍数が見つからないときは、大きいほうの分母の倍数を順に書き、小さいほうの分母で割れるかを調べます。12の倍数を 12、24、36 と並べ、8で割れる数を探すと24が見つかります。8の倍数を並べる方法でも同じ24に着きます。どちらか一方の倍数を書き出せばよいので、両方の倍数を長く並べる必要はありません。

分子が同じ分数どうしなら、通分しなくても大小が決まります。1/4 と 1/7 では、4等分した1個分のほうが7等分した1個分より長いので、1/4 が大きいと判断できます。分子が同じなら、分母が小さいほど1個分が大きいからです。この近道が使えるのは分子がそろっている場合だけで、5/8 と 7/12 のように分子も違うときは、共通分母にそろえて分子で比べます。

発展例題

例題4　分子と分母の差が12で、約分すると3/5になる分数を求めなさい。

約分すると3/5になる分数は、3/5 の分子と分母に同じ数を掛けたものです。そこで、何倍したかを1倍から順に並べて、差がどう変わるかを見ます。

倍にした数	1	2	3	4	5	6
分数	3/5	6/10	9/15	12/20	15/25	18/30
分母と分子の差	2	4	6	8	10	12

表の差の列は2、4、6、8、10、12と2ずつ増えています。差が12になるのは6倍したときで、分数は 18/30 です。

確かめをします。30 − 18 = 12 で、差は条件どおりです。18と30を6で割ると 3/5 になり、3と5の公約数は1だけなので、これ以上は約分できません。元の条件である「約分すると3/5」と「差が12」の両方を満たしています。

答え　18/30

別の見方では、3/5 の分母と分子の差が2であることを使います。差の12は2の6倍なので、分子と分母を6倍すればよい、と判断できます。表の差の列が2ずつ増えるのは、この「差も同じ倍になる」という性質が表れたものです。分子だけを3倍して 9/5 とすると、差は4で、約分して3/5に戻すこともできません。

条件が変わった場合も考えます。差が12ではなく15だったらどうなるでしょうか。差はいつも2の倍数なので、15のような奇数は差になりません。この形の分数は存在しない、と判断できます。答えを書く前に、差が2の倍数になっているかを確かめると、存在しない条件に無理に答えを作らずに済みます。

誤答の原因と修正

24/36 を約分する場面で、よくある答案が 4/9 です。24 ÷ 6 = 4、36 ÷ 4 = 9 という計算で作られています。どちらの割り算も正しく計算されていますが、分数としては誤りです。

原因の一つ目は、分子と分母に別の数を当てたことです。分数の大きさは分子と分母の関係で決まります。分子だけ6で割り、分母だけ4で割ると、元とは別の分数になります。二つ目の原因は、6も4も24と36の公約数ではあるが、2つを同時に割れる数ではない、という点を見落としたことです。約分で使えるのは、分子と分母の両方に共通する数だけです。

修正の手順を4つに分けます。

・手順1: 24と36の公約数を小さい順に書き出す。1、2、3、4、6、12 です。・手順2: 一番大きい公約数12で、分子と分母を同じように割る。24 ÷ 12 = 2、36 ÷ 12 = 3 です。・手順3: 2と3の公約数が1だけか確かめる。1以外にないので 2/3 は既約分数です。・手順4: 元の分数に戻して大きさを確かめる。

確かめをします。36を3等分すると12で、その2個分は24です。だから 24/36 は 2/3 と同じ大きさです。一方、4/9 は36等分した16個分で、24個分より短くなります。図3で、24/36 と 2/3 の塗られた長さがそろい、4/9 だけが短いことが見えます。

同じ誤りは、別の数でも起こります。20/30 で、分子を5で割って4、分母を6で割って5とすると 4/5 になります。20と30の公約数は 1、2、5、10 なので、10で割れば 2/3 です。4/5 は元の 20/30 とは別の大きさで、これも同じ原因の誤りです。

一方だけを割る誤りも比べておきます。8/12 の分子だけを4で割ると 2/12、分母だけを4で割ると 8/3 です。2/12 は元より小さく、8/3 は元より大きい分数です。片方だけを割ると、大きさは必ず変わります。約分で割ってよいのは、分子と分母の両方に共通する数だけです。

約分を途中で止める誤りもよくあります。36/48 を4で割って 9/12 と書き、そこで終えてしまう場合です。9と12にはまだ公約数3が残っているので、さらに割って 3/4 まで進めます。9/12 でも大きさは正しいのですが、既約分数ではありません。答えの形が「既約分数で」と指定されているときは、1以外の公約数が残っていないところまで進めます。止めてよいかどうかは、分子と分母の約数を並べ、共通する数が1だけになったかで判断します。

約分と通分を取り違える誤りもあります。5/8 と 7/12 を比べるときに、分母を12にそろえようとして 5/8 の分母だけを12にし、分子をそのまま5にしてしまう場合です。通分は「同じ数を掛けて分母をそろえる」操作なので、掛けた数を分子にも当てます。逆に、通分した結果を約分して元に戻してしまい、共通分母がなくなって比べられなくなる場合もあります。通分した後は、分母が同じかどうかを最初に確かめます。

練習問題

63/90 を約分して、既約分数にしなさい。
15/20 = □/8 = 21/□ の□に当てはまる整数を、それぞれ書きなさい。
7/9 と 11/15 の大小を、不等号を使って表しなさい。
3/7 と等しく、分母が20以上40以下である分数を、すべて書きなさい。
分子と分母の差が18で、約分すると4/7になる分数を求めなさい。

答えと解き方

63と90の公約数を調べます。63の約数は 1、3、7、9、21、63、90の約数は 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 です。共通する数は 1、3、9 で、一番大きいのは9です。63 ÷ 9 = 7、90 ÷ 9 = 10 なので 7/10 になります。7と10の公約数は1だけなので既約分数です。確かめは、90を10等分すると9で、その7個分が63になることです。答え　7/10
15/20 は、どちらも5で割ると 3/4 です。3/4 の分母を8にするには2倍なので、分子も2倍して 6/8 です。3/4 の分子を21にするには7倍なので、分母も7倍して 21/28 です。答え　6 と 28
9と15の最小公倍数は45です。7/9 は分母を5倍して 35/45、11/15 は分母を3倍して 33/45 になります。35 > 33 なので、7/9 のほうが大きいと決まります。確かめに90で通分すると 70/90 と 66/90 で、同じ結論です。答え　7/9 > 11/15
3/7 の分子と分母を同じ数倍した分数を探します。分母は7の倍数で、20以上40以下です。7の倍数は 7、14、21、28、35、42 と続くので、範囲に入るのは 21、28、35 です。それぞれ分子を同じ倍にして 9/21、12/28、15/35 になります。確かめは、9/21 を3で割ると 3/7、12/28 を4で割ると 3/7、15/35 を5で割ると 3/7 になることです。答え　9/21、12/28、15/35
4/7 の分母と分子の差は3です。差が18になるのは、3の6倍のときです。分子と分母を6倍して 24/42 になります。表で確かめると、8/14 の差は6、12/21 の差は9、16/28 の差は12、20/35 の差は15、24/42 の差は18です。確かめは、42 − 24 = 18 で、24と42を6で割ると 4/7 になることです。答え　24/42

覚えておくこと

・分子と分母には、同じ数を掛ける。同じ数で割る。片方だけでは大きさが変わる。・約分は公約数で割ること。1以外の公約数がなくなった状態が既約分数。・通分は分母を最小公倍数にそろえること。分母に掛けた数は分子にも掛ける。・分母が同じなら、大小は分子で比べる。・空欄は、変わった側の倍率を読んで、もう一方へ同じ倍率を当てる。