数検4級 取り出す操作の確率｜戻す場合と戻さない場合の数え方を比べる｜武蔵野個別指導塾

色玉の個体を区別して2回の結果を列挙し、戻す操作と戻さない操作で同色となる確率を比べます。

よくあるのは、二回目も同じ個数として数えた袋の図を見て、どこで数え方が変わるか迷う場面です。袋から玉を1個取った後、その玉を袋に戻すかどうかで、次に選べる玉が変わります。色が同じ玉も別々の物として印を付けると、数え漏れを見つけやすくなります。2回の結果を順に書き、求める色に合う場合を拾っていきましょう。

袋の条件から見える3つの型

1つ目は、玉を取り出して袋に戻し、よく混ぜてからもう1回取り出す型です。1回目に取った玉も2回目の候補に入ります。同じ玉が続けて選ばれる結果も除かずに数えます。色が同じか異なるかを問われたら、個々の玉の組を数えてから色の条件を調べます。

2つ目は、取り出した玉を戻さずにもう1個取る型です。1回目に選んだ玉は袋の外にあるため、2回目には選べません。ただし、1回目と同じ色の別の玉が袋に残っていれば、その玉は選べます。同じ玉を取れないことと、同じ色を取れないことは別の条件です。

3つ目は、同じ袋について戻す場合と戻さない場合を比較する型です。最初の玉の選び方は同じでも、2回目の候補と結果全体の数が変わります。分母を共通にすることから始めるのではなく、それぞれの操作に合う結果を列挙して比べます。例えば、同色になる確率が変わるかを調べるときも、両方の分母と分子を別々に作ります。

ここでは2回の順序を区別して数えます。色の順序を問題が指定しないときも、いったん個体と順序を区別した結果を並べ、その中から条件に合うものを選びます。樹形図の書き方を詳しく扱う代わりに、表と列挙を使って袋の中身の変化を追います。

玉に名前を付けて結果をそろえる

赤玉2個を赤1、赤2、白玉1個を白1と呼ぶことにします。色は同じでも赤1と赤2は別の玉です。図1のように名前を付ければ、同じ色を取る結果が何通りあるかも、同じ玉をもう一度取ったかどうかも見分けられます。

各玉は取り出すときに同じように選ばれるとします。戻す操作では、毎回3個から1個を選ぶので、順序を付けた各結果は同様に確からしいものとして数えられます。戻さない操作では、1回目は3個、2回目は残る2個から選びます。どの1回目の玉についても残りは2個で、各玉が同じように選ばれるため、可能な順序付きの結果は同様に確からしいものになります。

この前提は大切です。玉の大きさや取り出し方によって選ばれやすさが違うとき、単に結果の個数を割る方法はそのまま使えません。問題では、各玉が同様に選ばれることを確認します。また「赤、白」といった色の組だけでは、赤玉が2個ある分だけ実現する個体の組が多いことを見落とします。色の組を等しい重みで数える前に、その組を作る個体の組の数を確かめます。

求める確率は、同様に確からしい結果のうち、条件に合う結果の個数を全体の個数で割って求めます。分子にも分母にも、同じ単位の結果を使います。例えば分母を順序付きの個体の組で数えたなら、分子もその組で数えます。数えた後は、条件に合う組が全体の一覧に入っているか、重複がないかを照合します。

基本例題：戻さずに同じ色を取る

袋に赤玉2個と白玉1個が入っています。各玉は同様に選ばれます。玉を1個取り出し、戻さずにもう1個取り出します。2個が同じ色になる確率を、約分した分数で求めてください。

赤玉を赤1、赤2、白玉を白1とします。順序を付けた結果を、1回目、2回目の順で書きます。図2のように、行は1回目、列は2回目の玉です。同じ玉を2回選ぶ位置は、戻さない操作では起こりません。

赤1を最初に取ると、次は赤2か白1です。赤2を最初に取ると、次は赤1か白1です。白1を最初に取ると、次は赤1か赤2です。よって、起こりうる結果は次の6通りです。

（赤1、赤2）、（赤1、白1）

（赤2、赤1）、（赤2、白1）

（白1、赤1）、（白1、赤2）

各行で2回目の候補を調べると、最初に取った玉が除かれ、残りの玉はそれぞれ1回ずつ入っています。したがって、全体は 3 × 2 = 6 通りです。1回目の選び方3通りに対し、どの場合も2回目の選び方が2通りあることが、この掛け算の意味です。

同じ色となるのは、（赤1、赤2）と（赤2、赤1）の2通りです。白玉は1個しかないため、戻さずに白玉を2回取る結果はありません。赤1と赤2は別の玉なので、赤を2回取る結果はあります。

求める確率 = 2 / 6 = 1 / 3

答えは 1 / 3 です。元の袋に戻って確認すると、同色の2個として選べるのは2個の赤玉です。取り出す順は赤1から赤2、赤2から赤1の2通りで、一覧と一致します。残る4通りは赤と白の組で、2通りと合わせて6通りです。

同じ袋に玉を戻したら

今度は赤玉2個と白玉1個の袋から1個取り出し、袋に戻してよく混ぜてからもう1個取り出します。各玉は毎回同様に選ばれます。2回とも同じ色になる確率を、約分した分数で求めてください。

1回目の後に玉が袋へ戻るので、2回目も赤1、赤2、白1の3個から選べます。起こりうる順序付きの結果は次の9通りです。

（赤1、赤1）、（赤1、赤2）、（赤1、白1）

（赤2、赤1）、（赤2、赤2）、（赤2、白1）

（白1、赤1）、（白1、赤2）、（白1、白1）

同じ色の結果は、赤同士の4通りと白同士の1通りで、合わせて5通りです。したがって確率は 5 / 9 です。赤同士には同じ赤玉を2回取る2通りも含まれます。白1も戻るので、白1を2回取る1通りが加わります。

袋に戻して確かめると、最初の3個が再び候補となり、各行は3通りずつです。赤同士4通り、白同士1通り、異色4通りの合計は9通りです。戻さない場合の 1 / 3 と比べると、5 / 9 の方が大きくなります。同じ分母に直せば 1 / 3 = 3 / 9 なので、差は 2 / 9 です。この比較はこの袋の条件についての結果です。

分かれ目は、2回目に選べる個体の一覧です。戻すときは直前に取った個体も候補にあり、戻さないときはありません。文章の「戻してから」と「戻さずに」を丸で囲み、2回目の候補を声に出して確認すると、同じ袋でも異なる表を作れます。

誤答を袋の中身に戻して直す

戻さない基本例題で、全体を 3 × 3 = 9 通り、同色を5通りとし、5 / 9 と答える誤りを考えます。これは1回目の玉を袋に戻したときの数え方です。図3のように、戻さないのに同じ個体を2回選ぶ欄を残したことが原因です。

修正するときは、まず赤1を取り出した場面を思い浮かべます。袋には赤2と白1が残り、赤1は外にあります。赤1を2回目の候補から消します。同じように、赤2の行では赤2を、白1の行では白1を消します。残った6通りのうち同色は赤1と赤2の順序を変えた2通りです。

色の組を「赤赤、赤白、白赤」の3種類にまとめる場合も、まず各種類の起こりやすさを調べます。この袋では赤赤、赤白、白赤はいずれも個体を区別すると2通りずつなので、3種類は同様に確からしく、同色の確率を1/3と求めてよいことになります。ただし、玉の個数が変われば各種類に含まれる結果の数も変わるため、色の種類数だけで割る方法をそのまま別の袋へ使うことはできません。

また、戻さないから同じ色を2回取れないと考えるのも誤りです。戻せないのは取り出した個体であり、同じ色の別の玉まで消えるわけではありません。反対に白玉のように1個しかない色は、その色を1回取ると袋に残りません。色ごとの残数をその都度書くことが、両方の間違いを防ぎます。

練習：操作を読み分ける

いずれの問題でも各玉は取り出すとき同様に選ばれます。確率は約分した分数で答えてください。玉は同じ色でも個体を区別して数えます。

1. 青玉3個と黄玉1個の袋から、1個取り出して戻さずにもう1個取り出します。2個とも青玉になる確率を求めてください。
2. 緑玉1個と黄玉2個の袋から、1個取り出して袋に戻し、よく混ぜてからもう1個取り出します。2回の色が異なる確率を求めてください。
3. 青玉2個と緑玉2個の袋から、1個取り出して戻さずにもう1個取り出します。1回目が緑玉、2回目が青玉になる確率を求めてください。
4. 黄玉2個と白玉2個の袋から、1個取り出して袋に戻し、よく混ぜてからもう1個取り出します。2回とも白玉になる確率を求めてください。

答えと確かめ方

1. 青玉を青1、青2、青3、黄玉を黄1とします。全体は、青1から青2・青3・黄1、青2から青1・青3・黄1、青3から青1・青2・黄1、黄1から青1・青2・青3の12通りです。青同士は前の3行にそれぞれ2通りあり、6通りです。確率は 6 / 12 = 1 / 2 です。袋に戻して見ると、青を1個取った後には別の青が2個と黄が1個あり、青から始まる3行の数と合います。

2. 緑1、黄1、黄2と名付けます。全体は各玉を1回目にした3行に、2回目の緑1・黄1・黄2を並べた9通りです。異色は（緑1、黄1）、（緑1、黄2）、（黄1、緑1）、（黄2、緑1）の4通りです。答えは 4 / 9 です。残りは緑同士1通りと黄同士4通りの計5通りで、異色と合わせて9通りです。戻すため、黄1を2回取る組なども残りの中に入ります。

3. 緑1、緑2、青1、青2とします。全体は4個の各玉について、自分以外の3個を2回目に並べた12通りです。条件に合うのは（緑1、青1）、（緑1、青2）、（緑2、青1）、（緑2、青2）の4通りです。確率は 4 / 12 = 1 / 3 です。緑を先に取っても青玉は2個残るので、緑2個それぞれから青2個へ進む4通りを確認できます。青が先の組は条件に入れません。

4. 黄1、黄2、白1、白2とします。戻すので、1回目の4個のそれぞれに2回目の4個が対応し、全体は16通りです。白同士は（白1、白1）、（白1、白2）、（白2、白1）、（白2、白2）の4通りです。確率は 4 / 16 = 1 / 4 です。白1を取った後も白1と白2が袋にあるため、白を先に取る各行に白が2通りずつあります。残りの12通りと合わせて全体の16通りに戻ります。

練習の一覧では、同じ色をまとめる前に各行の長さが等しいかを確かめます。戻さない場合でも、最初の色によって残る色の内訳は変わりますが、玉全体の残数は同じです。そこで、どの個体を先に取った行も同じ数の結果を持ちます。たとえば、ある色が1個しかない袋では、その色を先に取る行に同色の結果がなくても、別の色の結果は残ります。

戻す場合は、取り出した玉を戻してよく混ぜる操作まで含めて考えます。2回目の選択肢が元の袋と同じであることを確認できれば、同じ個体の組も一覧に入ります。戻さない場合にその組を入れてしまったら、答えの分子だけでなく分母からも取り除きます。条件に合わない組を分子から外す作業と、起こりえない組を全体から外す作業は異なります。

順序が指定されていない問題では、順序を付けて数えた後、両方の順番が条件に合うかを調べます。一方、順序を指定された問題では、逆順を自動的に加えることはできません。どちらでも全体と条件に合う結果を同じ方法で数えると、分数の意味が保たれます。

袋を読むときの要点

• 玉に名前を付け、順序のある結果を同じ単位で数えます。
• 戻すときは、取った玉も次の候補に入ります。
• 戻さないときは、取った個体を次の候補から外します。
• 条件に合う組を全体の組で割り、約分します。
• 同じ色でも別の玉なら別の結果として確かめます。

どこで迷ったかを見分ける

分母が合わないときは、1回目の玉を決めた後、袋に何個残るかから見直します。分母は合っていて分子が違うときは、条件に合う色を先に書き、そこに当てはまる個体の組を一覧から拾い直します。順序の条件がある場合は、各組の左と右を入れ替えたものも条件を満たすか確認します。

個別指導で確かめるなら、答えを聞くだけでなく、1個取り出した直後の袋を図に描いてもらう方法があります。お子さまが同じ色の玉を1つの記号にまとめた場合は、名前を付け直して各色の組の重みを調べます。計算が合っていても、戻す操作と戻さない操作を言葉で区別できるかを確かめると、別の個数の袋でも判断を移せます。袋の中に残る玉を追えば、確率の分母と分子の意味が見えてきます。