数検準2級 数と式の展開—共通部分を置き換えて乗法公式を選び計算を整理する｜武蔵野個別指導塾

同じ括弧を一文字に置く方法から、平方と和と差の積の選択、負号を落とした行の直し方までを練習します。

よくあるのは、同じ括弧を何度も掛けるうちに、途中の負の符号を落としてしまう場面です。たとえば括弧の中にも引き算があると、外側の引き算と見分けにくくなります。そこで、繰り返し現れる式をいったん一文字に置き、積の形を見てから計算を始めます。置いた文字を最後に元へ戻すところまでを、一続きの手順として練習します。

どんな形に注目するか

展開とは、分配法則を使って積の形を和や差の形に直し、同類項をまとめることです。文字を含む式でも、括弧全体を一つの数のように扱えます。数検準2級の学習で数と式の展開を練習するときは、まず何が繰り返されているかを探し、その後で積の形を選ぶと、掛け忘れを減らせます。

自作の問題には、次のような型を設けられます。第1に、同じ式に異なる数を足した2つの括弧の積です。共通部分を A とすると、(A + p)(A + q) と見られます。第2に、同じ式に同じ数を足したものと引いたものの積です。これは (A + p)(A − p) の形です。第3に、同じ式から数を引いた括弧の平方です。外側の平方を先に処理してから、内側を展開します。

どの型でも、最初に選んだ A は答えに残しません。元の文字に戻して同類項をまとめるところまでが展開です。ここでは共通部分の置き換えと乗法公式の選択を扱い、高次式の除法には進みません。問題を見たら、すぐに文字を掛け始める前に、括弧を囲んで形を確かめてください。

一文字に置いて積の形を見る

項は、和や差で区切られたそれぞれの部分です。たとえば x² − 3x + 2 には x²、-3x、2 の3つの項があります。文字の部分が同じ項は同類項です。2x と -3x はまとめられますが、x² と x はまとめられません。符号も項の一部として見ます。

共通部分の置き換えは、式の値を変える操作ではありません。長い式に短い名前を付けて、外側の形を見やすくする操作です。たとえば A = x − 2 と置けば、(x − 2 + 3)(x − 2 − 3) は (A + 3)(A − 3) と見られます。A の中に引き算があっても、外側では A をひとまとまりとして扱います。

図1のように、共通部分を囲んで名前を付けた後、外側の符号を比べます。左右の数が同じで符号が反対なら、和と差の積の公式を使えます。最後には A を x − 2 に戻して計算します。

図1で、A は x − 2 全体を指します。x だけを A にすると元の2つの括弧を再現できません。置き換えた式から元の式に戻せるかを確かめて、範囲を決めます。

基本になる公式は、分配法則から確かめられます。

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

(a + p)(a + q) = a² + (p + q)a + pq

平方の真ん中の項は、a と b の積が2回現れるために生じます。(a − b)² の最後が正になるのは、負の数どうしの積が正だからです。和と差の積では、-ab と +ab が打ち消し合います。形が似ていても、同じ括弧の平方と符号が反対の2つの括弧では結果が違います。

p や q は負の数でもかまいません。たとえば外側が A − 4 なら、A + (-4) と見て p = -4 とします。係数を足すときも掛けるときも、符号を含めた数として計算するのがポイントです。公式を覚えるだけでなく、どの項どうしを掛けたかを指で追えるようにしておくと、選択に迷ったときも分配法則に戻れます。

公式を選ぶ前に、次の順で形を調べます。まず繰り返す部分の末尾まで囲み、括弧の外に残る数を読みます。次に2つの括弧が同じか、残る数の大きさが同じで符号が反対かを比べます。同じ括弧なら平方、符号が反対なら和と差の積です。どちらでもなければ一般の積の公式か分配法則を使います。

置き換えを使った結果に A が残っていると、元の文字で展開するという指示にはまだ答えていません。また A を戻して括弧を開いた後も、同類項が残っていれば整理を続けます。途中で掛け算の回数を減らせる反面、戻し忘れという新しい間違いが生じるので、最後の行では元の式にない文字がないかを確かめます。

基本例題：和と差の積を使う

次の式を展開し、x の降べきの順に整理した多項式で答えてください。

(x − 2 + 3)(x − 2 − 3)

同じ部分 x − 2 を A と置きます。元の式は (A + 3)(A − 3) です。図2のように、2つの交差する積が反対の符号になるので、その和は 0 です。

図2の4つの積を式に並べると、次のようになります。

(A + 3)(A − 3)

= A² − 3A + 3A − 9

= A² − 9

= (x − 2)² − 9

= x² − 4x + 4 − 9

= x² − 4x − 5

1行目から2行目では、左の A と 3 をそれぞれ右の A と -3 に掛けています。-3A と +3A は同類項で、足すと 0 です。ここで -9 が残るのは、3 と -3 を掛けたためです。

次に A を元に戻します。A² は x² − 2 ではなく、(x − 2)² です。括弧全体を2回掛けるので、x² − 4x + 4 になります。最後に定数 4 と -9 を足して -5 にします。降べきの順とは、x の指数が大きい項から並べる順です。

答えを元の積に戻しても確かめます。例えば x = 1 のとき、元の2つの括弧は 2 と -4 なので積は -8 です。答えに 1 を代入しても 1 − 4 − 5 = -8 です。さらに x = 0 では、元の積は 1 × (-5) = -5、答えの値も -5 です。代入の一致は計算の点検には役立ちますが、限られた値の一致だけで常に正しいと証明できるわけではありません。各項を掛けた行も確認します。

少し難しい例題：平方の差を二度使う

次の式を展開し、x の降べきの順に整理した多項式で答えてください。

(x² + 2x − 1)² − (x² + 2x + 1)²

平方された長い括弧が2つ並んでいます。ここで共通部分を A = x² + 2x と置くと、式は (A − 1)² − (A + 1)² です。平方をそれぞれ展開しても解けますし、平方の差を積に直してから整理しても解けます。どちらも元の2つの平方の順番を保つことが条件です。

まず各平方を展開する方法です。

(A − 1)² − (A + 1)²

= (A² − 2A + 1) − (A² + 2A + 1)

= A² − 2A + 1 − A² − 2A − 1

= -4A

= -4(x² + 2x)

= -4x² − 8x

2行目の外側の引き算は、後ろの括弧のすべての項にかかります。特に +2A が -2A に変わることに注意します。A² は差を取ると消えますが、最初から消えると決めて省くと、符号の誤りを見つけにくくなります。

別の方法では、B² − C² = (B − C)(B + C) を使います。B = A − 1、C = A + 1 とすれば、B − C = -2、B + C = 2A です。積は -4A となり、先ほどと一致します。C − B に順番を変えると符号が反対になるので、先の平方から後の平方を引く順を守ります。

元の式でも確かめます。x = 1 なら共通部分は 3 で、元の式は 2² − 4² = -12 です。答えは -4 − 8 = -12 となります。x = -1 なら共通部分は -1 で、元の式は (-2)² − 0² = 4、答えも -4 + 8 = 4 です。正負の違う値で点検し、さらに上の変形で各項の扱いを追います。

誤答から符号の落ちた場所を探す

基本例題の途中で A = x − 2 と置いた後、次のように書いたとします。

誤答: A² − 9 = x² − 4 − 9 = x² − 13

原因は、(x − 2)² を x² − 4 と扱い、2つの交差する積を落としたことです。図3のように、(x − 2)(x − 2) の4つの積は x²、-2x、-2x、4 です。負の数どうしの積は正ですから、定数の符号も誤答とは異なります。

図3の各部分を足せば、(x − 2)² = x² − 4x + 4 です。修正後は x² − 4x + 4 − 9 = x² − 4x − 5 となります。誤答を見つけたら、答えの符号だけを直すのではなく、平方を2つの括弧に書き戻して、どの掛け算が抜けたかを確認します。

別の誤りは、後ろの括弧の前にある負号を最初の項にしか配らないことです。たとえば -(A² + 2A + 1) を -A² + 2A + 1 とすると、残りの2項の符号が変わっていません。-1 を括弧の全項に掛け、-A² − 2A − 1 と書きます。途中式が長い場合も、いきなり同類項を消さず、符号を変えた行を1行置くと見直せます。

共通部分の選び方が違う場合も、すぐに不正解とは限りません。置き方が元の式を再現し、最後に正しく戻せるなら使えます。一方、同じ文字に異なる式を割り当てたときは元に戻せないので、置き換えの行からやり直します。計算の後で誤りを探すより、置いた直後に左右の括弧を読み直す方が原因を分けやすくなります。

練習問題

次の4問を展開し、それぞれ x の降べきの順に整理した多項式で答えてください。先に4問を解き、共通部分と選んだ公式をそれぞれメモしてから解答を読みます。

1. (x + 4 + 2)(x + 4 − 2)
2. (x − 5 + 1)(x − 5 + 3)
3. (2x + 1 − 4)²
4. (x² − x + 3)² − (x² − x − 3)²

どれも自作の練習です。1は符号が反対の積、2は2つの数が異なる積、3は引き算を含む平方、4は平方の差という外側の形に注目します。共通部分を使わず分配法則で解いても構いません。各行の等しさと、最後に元の文字へ戻したかを確認してください。

練習問題の答えと解き方

1

A = x + 4 と置くと、元の式は (A + 2)(A − 2) です。和と差の積から A² − 4 となります。

= (x + 4)² − 4

= x² + 8x + 16 − 4

= x² + 8x + 12

x = 0 では元の積が 6 × 2 = 12、答えも 12 です。x = -4 では元の積が 2 × (-2) = -4、答えも 16 − 32 + 12 = -4 です。共通部分が 0 になる値でも、最後の -4 が残ることを確かめられます。

2

A = x − 5 と置きます。2つの括弧は (A + 1)(A + 3) なので、A の係数は 1 + 3、定数は 1 × 3 です。

= A² + 4A + 3

= (x − 5)² + 4(x − 5) + 3

= x² − 10x + 25 + 4x − 20 + 3

= x² − 6x + 8

x = 0 では元の積が (-4) × (-2) = 8、答えも 8 です。x = 4 では元の片方の括弧が 0 なので積は 0、答えも 16 − 24 + 8 = 0 です。4A を元に戻す際、-5 にも 4 を掛けているかが点検箇所です。

3

A = 2x + 1 と置くと (A − 4)² です。平方の公式の真ん中の項は -8A、最後の項は正の 16 になります。

= A² − 8A + 16

= (2x + 1)² − 8(2x + 1) + 16

= 4x² + 4x + 1 − 16x − 8 + 16

= 4x² − 12x + 9

x = 0 では元の括弧が -3 なので平方は 9、答えも 9 です。x = 2 では元の括弧が 1 なので平方は 1、答えも 16 − 24 + 9 = 1 です。A² の先頭は (2x)² = 4x² であり、係数の 2 も2回掛けます。

4

A = x² − x と置くと、元の式は (A + 3)² − (A − 3)² です。先に各平方を展開し、後ろの括弧全体を引きます。

= (A² + 6A + 9) − (A² − 6A + 9)

= A² + 6A + 9 − A² + 6A − 9

= 12A

= 12(x² − x)

= 12x² − 12x

x = 0 では元の式が 3² − (-3)² = 0、答えも 0 です。x = 2 では共通部分が 2 で、元の式は 5² − (-1)² = 24、答えも 48 − 24 = 24 です。後ろの平方の真ん中の項は -6A ですが、それを引くため +6A になります。

覚えておくこと

• 繰り返す部分を一文字に置き、元の式に戻せるか確かめます。
• 外側が平方か和と差の積かを、符号まで見て選びます。
• 括弧の前の負号は中の各項に配ります。
• 置いた文字を元に戻し、同類項をまとめて答えます。
• 代入による点検と、各行の分配法則の確認を組み合わせます。

つまずいた行から戻る

個別指導で解答を見るときは、最初に誤った行と、その直前の行を比べます。共通部分を置いた行で左右が一致しなければ、囲む範囲を元の問題まで戻して確かめます。公式を選ぶ行で平方と和と差の積を取り違えたなら、2つの括弧を並べて外側の符号を読み直します。

元に戻した後に誤っていれば、平方を2つの括弧に書き、4つの積を一つずつ調べます。答えだけが違うときも、同類項をまとめる前の符号と係数を確認します。保護者が見守る場合も、答えを先に伝えるより、どの行から同じ式でなくなったかをお子さまに尋ねると、本人が戻る場所を選べます。共通部分に名前を付けることで、長い積の中の符号が見えるようになります。