数検準2級 数と式の因数分解—共通因数と式の見方から分解の手順を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

共通因数を先にくくり、たすき掛けと置換で分けた積を展開して、元の各項へ戻す手順を身につけます。

よくあるのは、式を見た途端にたすき掛けを始め、各項に共通する数や文字を残したまま答えにしてしまう場面です。掛け算に直せていても、さらに分けられる因数が残っていると、因数分解は途中です。最初に式全体を見る習慣をつけると、計算の量を抑えながら、最後まで分けたかどうかも判断しやすくなります。

どの形を見つける問題か

数と式の因数分解では、足し算や引き算で表された式を、より簡単な式の積に直します。与えられた式を展開の結果と見て、元の掛け算を探す作業です。答えが正しいかは、積を展開して元の式に戻るかで確かめられます。さらに、各因数に共通因数や分解できる形が残っていないかを見ます。

出方を考えるときは、まず全項に共通する数や文字をくくる型があります。次に、二次の項の係数が1とは限らない式を、2つの一次式に分ける型があります。もう1つは、繰り返し現れる式を1文字に置き換え、見慣れた二次式として扱う型です。これらが1問に組み合わさることもあります。

手順は固定した公式の丸暗記ではありません。全項を見て、くくれるものがあるか、平方の差や二次式の形があるか、同じまとまりが繰り返されているかを順に調べます。ここでは整数の係数を使った分解を扱い、3次の因数分解の公式には広げません。

最初に見るのは項の共通部分

項とは、式を足し算や引き算で区切ったそれぞれの部分です。たとえば 6x² + 9x の項は 6x² と 9x です。どちらにも 3x が含まれるので、分配法則を逆に使えば 3x(2x + 3) と書けます。これを共通因数 3x でくくるといいます。くくった後に外の 3x を各項に掛け、元の2項に戻るかを確かめます。

共通因数を選ぶとき、係数は共通に割れる数を、文字は全項に現れるものを調べます。文字の指数が違う場合は、小さい方の指数までが共通です。たとえば 12x³ と 18x² なら、共通に取り出せるのは 6x² です。定数項がある式では、文字は全項に共通しないため、文字を全体からくくれません。

図1のように、式を見たら共通因数、残った式の形、展開による照合へ進みます。途中で分解できる形が現れたら、その因数についても同じように調べます。

図1の順序で共通因数が見つからない場合は、無理にくくらず次の形の判定に移ります。たすき掛けでは、二次の項と定数項をそれぞれ2つの因数の積に分け、交差して掛けた2つの数の和が一次の係数になる組を探します。たとえば (2x + 1)(x + 3) なら交差する積は 6x と x で、和は 7x です。

定数項が負なら、2つの定数の符号は異なります。定数項が正でも、一次の係数が負なら、両方を負にする候補があります。積だけで決めず、交差する積の和まで調べることが必要です。合わなければ候補を入れ替え、一次の係数に戻る組を探します。

同じ式のまとまりが繰り返されるときは、例えば x + 2 を A と置き、A² や A を含む式として整理できます。置換は見た目を簡単にするための道具です。A の式を分解したら、必ず元の x + 2 に戻し、括弧を整理してから答えにします。置き換えた文字のままでは、もとの文字で答えたことになりません。

くくった後に何が残るか

共通因数をくくるときは、各項をその因数で割った結果を括弧の中に並べます。たとえば 10a² − 15a で 5a を取り出すなら、10a² を 5a で割って 2a、-15a を 5a で割って -3 です。したがって 5a(2a − 3) となります。引き算の項の符号を残し、外の因数を各項へ掛け直すと、括弧の中の書き間違いを見つけられます。

先頭の項が負のときには、負の数を外に出して括弧内の先頭を正にすると見やすくなる場合があります。例えば -2u² + 8u は -2u(u − 4) です。外が負なので、括弧内の両方の符号が変わります。負を出したのに一方の符号しか変えない誤りは、外から掛け戻せばすぐに見つかります。

たすき掛けが合わないとき

候補の定数の積は合うのに、交差した項の和が合わないことがあります。そのときは、定数の配置を交換して再計算します。二次の係数に複数の分け方があるときは、その組も見直します。候補を試す前に共通因数を出しておけば、扱う数が小さくなり、候補を整理しやすくなります。

候補が見つからない場合に、無理に整数の括弧を作る必要はありません。どの係数をどの組に分けたか、交差する積を正しく足したかを確認します。問題が整数係数での分解を求めているなら、その範囲で候補を調べて判断します。分解できないという結論も、符号と候補を調べた上で出します。

基本例題：共通因数を出してからたすき掛け

問題：6x² + 21x + 15 を、整数係数の因数の積に最後まで因数分解してください。

まず3項の係数を見ます。6、21、15 はいずれも3で割れますが、定数項には x がないため x は共通因数ではありません。3を外に出すと次のようになります。

6x² + 21x + 15
= 3(2x² + 7x + 5)

括弧の中をたすき掛けで分けます。2x² は 2x と x、5 は 5 と 1 の積です。候補を並べ、交差する部分を計算します。

(2x + 5)(x + 1)
交差する項は 2x と 5x
2x + 5x = 7x

一次の係数が括弧内の 7 と一致します。したがって、最初に出した3を忘れずに掛けます。

6x² + 21x + 15
= 3(2x² + 7x + 5)
= 3(2x + 5)(x + 1)

図2のように、くくった3を残したまま、内側で交差する項の和を調べます。5と1を逆に置くと交差する項は 10x と x になり、7x にはなりません。候補が合わないときは、元の括弧内の一次の係数に戻って置き方を変えます。

図2で選んだ積を展開して、答えを元の式へ戻します。

(2x + 5)(x + 1) = 2x² + 2x + 5x + 5
= 2x² + 7x + 5
3(2x² + 7x + 5) = 6x² + 21x + 15

3つの項がそれぞれ一致しました。2つの一次式にも整数係数の共通因数は残っていないので、答えは 3(2x + 5)(x + 1) です。展開で確認するときは一次の項だけでなく、外に出した数を含めて全項を比較します。

少し難しい例題：同じまとまりを置き換える

問題：2(x² + x)² − 7(x² + x) + 3 を、整数係数の因数の積に最後まで因数分解してください。

x² + x が2回現れています。この部分を A と置くと、式は 2A² − 7A + 3 です。元の式をそのまま展開すると項が増えますが、まとまりを保てば二次式として考えられます。

2A² − 7A + 3
= (2A − 1)(A − 3)

交差する項は -6A と -A で、和は -7A です。ここで終わらず、A = x² + x を戻します。

(2A − 1)(A − 3)
= (2x² + 2x − 1)(x² + x − 3)

戻した各括弧が整数係数でさらに分解できるかを調べます。前の括弧は、2x² を 2x と x に分け、定数 -1 を 1 と -1 に分けると、交差する係数の和は 1 または -1 です。必要な 2 にはならないので、整数係数の一次式の積には分けられません。

後の括弧では、定数 -3 を作る整数の組は 1 と -3、または -1 と 3 です。和は -2 または 2 で、必要な 1 にはなりません。したがって答えは (2x² + 2x − 1)(x² + x − 3) です。整数係数という条件を付けて判断していることにも注意します。

元のまとまりに戻して確かめるには、積をまず A で展開します。2A² − 6A − A + 3 = 2A² − 7A + 3 となり、A に x² + x を戻すと問題文の式と一致します。途中で元の式のまとまりが2乗されていたことも保たれています。

誤答をどこから直すか

基本例題の式に対して、誤って 3(2x + 5)(x + 3) と書いたとします。定数 5 と 3 の積に気を取られると、最初に3を外に出した後の定数が 5 であることを見失います。展開すると括弧内の定数は 15 になり、外の3を掛ければ 45 です。元の定数 15 と一致しません。

図3のように、間違いを見つけたら、いきなり符号だけ直すのではなく、くくった後の式に立ち戻ります。括弧内の定数 5 を作る組を選び直し、交差する項の和も確認します。

図3の修正後は 3(2x + 5)(x + 1) です。定数の積は外の3を含めて15、交差する項の和は外の3を含めて21xになります。両方を確かめてから答えにします。

別のつまずきは、3(2x² + 7x + 5) で止めてしまうことです。この式は元の式と等しいものの、括弧の中がさらに整数係数で分解できます。等式として正しいことと、最後まで因数分解したことは別の確認です。逆に、候補の積を展開して一次の項が合わなければ、形がきれいでも答えにできません。

符号を誤った場合も、定数の積と交差する項の和を分けて調べます。定数が負なら片方が負ですが、どちらに負を置くかで一次の係数が変わります。直した後は、最初の式全体に展開して戻るかをもう一度確認します。

答えの形を見直す

積にした後の見直しでは、括弧の中だけではなく、外に出した数や文字も含めて確認します。外の因数を落とすと、交差する項の和が正しくても元の式には戻りません。反対に、展開結果が合っていても、括弧内の各項に共通する数が残っていれば、もう一度くくれます。等式の確認と分解の完了を別々に行うと、どちらの失敗も見つけやすくなります。

練習問題

次の4問を、いずれも整数係数の因数の積に最後まで因数分解してください。まず問題を通して解き、解答を見る前に各因数を展開して確かめます。

1. 8y² − 20y を因数分解してください。
2. 3t² + 11t + 6 を因数分解してください。
3. 4z² − 36 を因数分解してください。
4. (p² − p)² + 5(p² − p) + 4 を因数分解してください。

練習問題の答えと解き方

1の答え

8y² − 20y = 4y(2y − 5) です。係数の共通因数4と、両項にある y を取り出します。外の 4y を戻すと 8y² − 20y となり、与えられた2項と一致します。2y だけをくくっても等式は成り立ちますが、括弧の中に2が残るので、さらにくくる必要があります。

2の答え

3t² + 11t + 6 = (3t + 2)(t + 3) です。3t と t、2 と 3 を組み合わせると、交差する項は 9t と 2t です。その和が 11t、定数の積が6になります。実際に展開して 3t² + 9t + 2t + 6 とすれば、問題の式に戻ります。定数の置き方を逆にすると一次の係数が変わるため、和まで確かめます。

3の答え

4z² − 36 = 4(z² − 9) = 4(z + 3)(z − 3) です。最初に4をくくり、残りを平方の差として分けます。後の2つの括弧を掛けると z² − 9、外の4を掛けると 4z² − 36 です。4(z² − 9) で止まった場合は、括弧内にさらに分けられる形が残っています。

4の答え

B = p² − p と置くと B² + 5B + 4 = (B + 1)(B + 4) です。元の文字に戻して (p² − p + 1)(p² − p + 4) となります。前の括弧で定数1を作る整数の組の和は2または-2、後の括弧で定数4を作る整数の組の和は5、-5、4、-4です。いずれも一次の係数 -1 に合わないので、整数係数ではさらに一次式に分けられません。積を B で展開して B² + 5B + 4 に戻し、B に p² − p を代入すれば元の式と一致します。

覚えておくこと

共通因数を先に探し、各項を割って括弧内を作ります。
たすき掛けは定数の積と交差する項の和を両方見ます。
置換した式は元に戻し、残る因数も調べます。
最後に積を展開し、元の全項と照合します。

つまずきの見分け方

最初の行で共通因数が見えていなければ、各項に同じ数や文字で印を付け、全項を割れるか確かめます。括弧内の式は正しいのに答えが合わない場合は、たすき掛けの交差する2項を書き出し、和が一次の係数になるかを見ます。置換の問題なら、仮の文字を元に戻した行と、その後の分解の判断を確認します。

個別指導では、答えの形だけでなく、どの行で元の式と一致しなくなったかを一緒に追います。展開すれば合うのに途中で止まっている場合は、最後の各括弧に戻って共通因数や平方の差を探します。式を眺める順番を決めると、因数分解の見落としを自分で修正できます。