数検準2級 実数と根号—平方根の整理と分母の有理化を途中式から確かめる｜武蔵野個別指導塾

平方因子の取り出し方と、共役な式を使う有理化を例題でたどり、誤答を直しながら実数と根号に慣れます。

よくあるのは、受験者が根号の和を一つの根号に入れるという場面です。例えば √2 + √8 を見て、根号の中の 2 と 8 を足したくなることがあります。しかし、足し算と掛け算では使える規則が違います。まず √8 を整理すると、同じ種類の根号が現れます。式の形を変える前後で値が変わっていないかを、途中式から確かめていきましょう。

どんな形で問われるか

根号の計算では、数の大小を直感で眺めるよりも、どの演算がつながっているかを先に読むことが役立ちます。足し算の両側を整理する問題、根号どうしを掛けてから平方因子を取り出す問題、分母に根号を含む分数を有理化する問題が代表的な型です。いずれも自作の例で考えます。

例えば、和の整理では根号の中身が最初から同じとは限りません。中身を因数に分け、平方数を外へ出してから係数をまとめます。積や商では根号をまとめられる条件を確かめ、その後で平方因子を探します。有理化では分子と分母に同じ零でない数を掛け、分数の値を保ったまま分母の根号を消します。

実数のうち、整数や分数で表せる数を有理数、分数で表せない数を無理数といいます。根号を含む式が必ず無理数になるわけではありません。√9 は 3 ですし、根号を含む項が打ち消される場合もあります。ここでは根号の積と商、平方因子、有理化に焦点を当てます。

根号を整理するための約束

0 以上の数 a に対し、√a は 2 乗すると a になる 0 以上の数です。例えば √16 は 4 で、-4 ではありません。2 乗して 16 になる数は 4 と -4 の両方ですが、√16 という記号はそのうち 0 以上の方を表します。√0 は 0 です。

図1のように、平方数の因子を見つけると、根号の外へ出せます。√72 なら 72 = 36 × 2 と分け、√72 = √36 × √2 = 6√2 です。36 が平方数なので √36 は整数になります。72 = 4 × 18 と分けても 2√18 を経由して 6√2 にたどり着きます。最初に最大の平方因子が見えなくても、残った中身をもう一度調べればよいのです。

a、b がともに 0 以上なら、√a × √b = √(a × b) です。商でも a が 0 以上、b が正なら、√a / √b = √(a / b) が成り立ちます。分母は 0 にできません。根号の中が負の数になる操作も、この範囲の実数の計算では使えません。条件を忘れると、見かけ上同じ記号を動かしても意味のない式になります。

一方、和には同じ規則がありません。√a + √b を √(a + b) とすることは一般にはできません。√2 + √8 は √2 + 2√2 となり、3√2 です。√10 とすると、どちらも正ですが 2 乗はそれぞれ 18 と 10 なので一致しません。足し算のときは、中身を足すのではなく、整理後に同じ根号を持つ項の係数を足します。

分母の有理化とは、分母にある根号を、値を変えずに取り除く操作です。分母が √a なら √a を分子と分母に掛けます。分母が 3 + √2 のような和なら、符号を反対にした 3 − √2 を使うと、積は 3² − (√2)² になります。この組を共役な式といいます。掛ける式が 0 でないことも確認します。

整理の終点をどう見つけるか

平方因子を探すときは、根号の中の数を小さな平方数で割れるか調べます。例えば √108 は 108 = 4 × 27 として 2√27、さらに 27 = 9 × 3 として 6√3 です。一度に 108 = 36 × 3 と見つけても同じ答えになります。どの順番で因数を取り出しても、外へ出した数を 2 乗して中へ掛け戻せば 108 に戻ります。

整理した後の √3 の中には 1 より大きい平方数の因子がありません。ここで止めてよいと判断できます。外の係数を根号へ戻す操作も、係数が 0 以上なら逆向きに使えます。例えば 4√2 = √(16 × 2) = √32 です。負の係数では符号を外に残し、-4√2 = -√32 とします。根号自体は負にならないためです。

商を整理するときは、まず分母が 0 でないかを見ます。例えば √50 / √2 は √25 = 5 です。両方の根号が定義され、分母は正なので商を一つの根号にできます。分母が √0 なら、その前の分数自体が定義されません。計算規則を覚えるときに、使い始められる条件も一緒に覚えておきます。

基本例題：積を整理して足す

次の式を計算し、根号の中に 1 より大きい平方数の因子が残らない形で答えてください。

√12 + √3 × √8

図2のように、掛け算を先に処理し、それぞれの根号から平方因子を取り出します。左から機械的に足すのではなく、演算の順番を見ます。

まず積の部分は次のとおりです。

√3 × √8 = √24

24 = 4 × 6 なので、積は次の形です。

√24 = √4 × √6 = 2√6

別に、最初の項を整理します。

√12 = √(4 × 3) = 2√3

したがって、答えは次の形です。

2√3 + 2√6

根号の中身が 3 と 6 で違うので、これ以上係数を足し合わせません。共通の 2 をくくって 2(√3 + √6) と書いても同じ値ですが、根号を一つにまとめることはできません。元の積に戻すと、2√6 の 2 乗は 24、√3 × √8 の 2 乗も 3 × 8 = 24 です。両者はともに正なので等しく、最初の項も (2√3)² = 12 と正の符号で確認できます。元の式の各項の値が保たれています。

途中で √24 を 4√6 とする間違いには注意します。4 は 24 の平方因子ですが、外へ出るのは √4 の 2 です。外に出した数を 2 乗して中へ戻し、4 × 6 = 24 になるかを確かめると、この違いに気づけます。処理の順番と、外へ出る数の意味を別々に見ることが大切です。

少し難しい例題：和を含む分母

次の式を有理化し、分母に根号を含まない形で答えてください。

2 / (√5 − 1)

分母は差なので √5 だけを掛けても、分母には √5 が残ります。ここでは共役な式 √5 + 1 を選びます。√5 は 1 より大きいので、元の分母も掛ける式も 0 ではありません。

2 / (√5 − 1) = 2(√5 + 1) / {(√5 − 1)(√5 + 1)}

分母には差と和の積を使います。

(√5 − 1)(√5 + 1) = (√5)² − 1² = 4

よって次のように整理できます。

2(√5 + 1) / 4 = (√5 + 1) / 2

答えは (√5 + 1) / 2 です。元の分母を答えに掛けて戻すと、(√5 − 1)(√5 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2 となり、元の分子と一致します。分母が 0 でないため、この確認から元の分数と答えが等しいことも確かめられます。

共役な式の選び方は分母の形で変わります。分母が根号一項なら、その根号を掛ければ平方になります。和や差の二項なら符号を変えた式を掛けると、中央の項が消えます。ただし、例えば √9 − 3 は 0 なので、その分母を持つ分数自体が定義されません。有理化の手順を始める前に、元の分母が 0 でないことを見ます。

誤答を途中の行から直す

図3は、√2 + √8 を √10 としてしまう例です。原因は、積に使う根号の規則を、和にもそのまま使ったことにあります。両方が根号だからまとめられる、という判断では演算の違いを見落とします。

修正するときは、足し算の前に各項を整理します。√8 = √(4 × 2) = 2√2 なので、√2 + √8 = 3√2 です。これは √2 が 1 個と 2 個あるので、合わせて 3 個という計算です。根号の中の 2 は変わらず、外側の係数が変わります。

別の誤りとして、1 / (2 + √3) に対して分母だけに 2 − √3 を掛けると、分数の値が変わります。分子にも同じ式を掛け、分母は 4 − 3 = 1 とします。答えは 2 − √3 です。元の分母との積が 1 になるので、元の分数に戻して確かめられます。分母を消す操作ではなく、分子と分母に同じ数を掛ける操作だと捉えましょう。

また、√(a²) を常に a とするのも危険です。a が負なら √(a²) は正なので、例えば a = -3 では √(a²) = 3 です。一般には √(a²) = |a| となります。数字の平方因子を取り出すときには、その平方根が 0 以上であることを確認します。

答えを確かめる別の見方

根号の近似値を使うと、符号や大きさのおかしさを見つけられる場合があります。ただし近似値は厳密な等式の証明にはなりません。例えば 2 より √5 が大きく 3 より小さいことは、正の数の 2 乗を比べればわかります。したがって前の例題の元の分母 √5 − 1 は正で、答えも正です。負の答えが出たなら、共役な式の符号や約分の行を見直します。

有理化では、分母の積を先に計算して符号を確定させると混乱しにくくなります。和と差の積の中間項は互いに打ち消し合いますが、分子には打ち消す相手がないこともあります。分子の括弧を省くと、分母の負の符号を一部にしか掛けない誤りが起きます。括弧を残したまま最後に全体へ符号を配ると、各項の扱いが見えます。

答えの形が指定されている場合、値が等しいだけでは途中で止められません。根号の中の平方因子、分母の根号、整数の約分を順に確認します。根号を含む式を 2 乗して一致を調べるときは、符号も見ます。正負が反対の数でも 2 乗は同じになるからです。元の式が正で答えが負なら、その時点で同じ数ではありません。

練習問題

次の問題はすべて自作です。各問とも、根号の中に 1 より大きい平方数の因子を残さず、分母に根号があれば有理化した形で答えてください。まず問題をまとめて解き、その後に解答を見てください。

1. √45 − √20 を計算してください。
2. √6 × √15 を計算してください。
3. 7 / √7 を有理化してください。
4. 3 / (2 + √7) を有理化してください。

答えと解き方

1. 答えは √5 です。√45 = 3√5、√20 = 2√5 と整理すると、3√5 − 2√5 = √5 です。元の 2 つの項はそれぞれ正で、その 2 乗が 45 と 20 になるため、取り出した係数が元の数に戻ることも確かめられます。引き算の符号は 2 項目の係数に付いたまま扱います。

2. 答えは 3√10 です。√6 × √15 = √90、90 = 9 × 10 なので √90 = 3√10 です。答えを 2 乗すると 90 となり、元の積を 2 乗した 6 × 15 と一致します。両者は正なので、符号も含めて一致します。積では根号をまとめられますが、和に同じ操作を使わないようにしましょう。

3. 答えは √7 です。分子と分母に √7 を掛けると、7√7 / 7 = √7 です。元の分母は正で、答えに √7 を掛けると 7 になり、元の分子に戻ります。分母の根号を消した後、整数の係数も約分するところまで進めます。

4. 答えは √7 − 2 です。分子と分母に 2 − √7 を掛けると、分母は 4 − 7 = -3 です。分子は 3(2 − √7) なので、全体は -(2 − √7) = √7 − 2 です。元の分母は正で 0 ではありません。答えに元の分母を掛けると (√7 − 2)(2 + √7) = 7 − 4 = 3 となり、元の分子に戻ります。分母が負になったときは、最後に符号を両項へ配ります。

答え合わせでは、正解の形と見比べる前に、分母へ掛け戻す、あるいは正負と 2 乗を比べるという手順を使えます。別の形に見えても値が等しい場合があるためです。

覚えておくこと

• √a は 2 乗すると a になる 0 以上の数です。
• 根号の積と商は、根号の中が 0 以上で、商の分母が正のときにまとめられます。
• 和と差は各項を整理してから、同じ根号の係数を計算します。
• 有理化は分子と分母に同じ 0 でない数を掛けます。
• 答えを元の式へ戻し、値と分母の条件を確かめます。

根号の外の係数が分数になっても、同じ根号の項なら係数を計算できます。例えば (1/2)√3 + (1/4)√3 は (3/4)√3 です。係数を足すときに根号の中身を変えず、分数の通分は係数だけで行います。引き算でも同じように、符号を含めて係数を扱います。

つまずいた行を見つける

個別指導で答案を確認するときは、最初に値が変わった行を探します。根号の和を一つにした行なら演算の種類へ、平方因子を外へ出した行なら外の数を 2 乗して中へ戻す確認へ戻ります。有理化で分母だけが変わった行なら、分子と分母に掛けた式を並べて照合します。

計算の最後で根号が残っていても、異なる根号の和ならそのままでよい場合があります。整理の終了条件を一緒に確かめれば、無理に一つの根号へ変える必要はありません。根号の形を変えるたび、元の値に戻せるかが次の一行を支えます。