数検4級 少なくとも一つの確率｜反対の場合を数えて全体から引く理由を確かめる｜武蔵野個別指導塾

硬貨3回で表が出る場合を直接数え、一度も出ない場合からも求めるには、余事象が鍵です。

よくあるのは、少なくとも一つを一つだけと読んだ問題紙を前に、答えが合わない場面です。硬貨を3回投げて表が少なくとも1回出るなら、表が1回の結果に加えて、2回や3回の結果も条件を満たします。数える前に言葉の範囲を決めると、含め忘れを防げます。反対に、表が一度も出ない結果は数えやすいことがあります。全体からその確率を引く方法と、条件に合う結果を直接数える方法を行き来して、答えの理由を確かめます。

「少なくとも」が示す範囲

出方の型の一つは、硬貨を何回か投げ、表が少なくとも1回出る確率を求める問題です。表が出る回数に注目すれば、0回、1回、2回というように分けられます。「少なくとも1回」は1回以上ですから、0回以外の回数を含みます。結果の順序を記録する場合は、表が出た回数が同じでも順序の違う結果を区別します。

もう一つは、複数の操作の中で、指定した目や色が少なくとも1回現れる問題です。直接数えると、指定のものが2回現れた結果を重複して数えることがあります。そこで、指定のものが一度も現れない結果を調べ、全体から除きます。どちらの方法を選んでも、最初に操作の仕方と、何を一つの結果とみなすかを明らかにします。

「少なくとも2回」の場合は反対側が0回と1回です。反対をいつも「0回」と決めつけると、条件が変わったときに取りこぼします。求めたい回数を並べ、そこに入らない回数を選び直してください。1回以上と2回以上の違いを言葉で説明できることが、計算に進む目印です。

全体と余事象を分ける

確率を求めるとき、起こりうる一つひとつの結果をまとめたものを全体と考えます。調べたい出来事を事象といい、その事象が起こらないことを余事象といいます。少なくとも1回表が出る事象の余事象は、表が1回も出ない事象です。「表が1回だけ出る」の余事象なら、表が0回、または2回以上出る事象になります。

図1のように、求める事象とその余事象は重ならず、合わせると全体になります。どの結果もどちらか一方に入るため、2つの確率の和は1です。したがって、求める確率は「1 − 余事象の確率」で求められます。1は起こりうる結果全体の確率を表し、何かの回数を表しているわけではありません。

図1の分け方が成立するかを確かめるには、境目を一つずつ調べます。たとえば3回の操作で表が0回なら余事象、1回、2回、3回なら求める事象です。0回と1回の間に、どちらにも入らない回数はありません。また、同じ結果が両方に入ることもありません。この2点が引き算の根拠です。

結果が同様に確からしいときは、確率を「条件に合う結果の数 ÷ 全体の結果の数」で求められます。見た目が同じ色でも個々の玉が等しく選ばれるとは限らない場合など、同様に確からしいかは操作の条件で判断します。結果を粗くまとめたとき、まとめた結果同士の起こりやすさまで同じとは限りません。まず等しく起こる一つひとつの結果を決めることが必要です。

たとえば「3回のうち少なくとも1回」という条件で、指定の結果が3回とも現れる場合は、確かに1回以上なので求める側です。一方、指定の結果が1回も現れなければ反対側です。真ん中の1回と2回も含めて分けられているかを見れば、数え始める前に条件の読み違いを修正できます。

確率を引く式は、同様に確からしい結果を個数で数える場合に限らず、求める事象と余事象が全体を重なりなく分けることから成り立ちます。ただし、結果の個数を割って確率を求めるには、それらの結果が同様に確からしいという確認が必要です。引き算の根拠と、個数から確率に直す根拠を分けて考えましょう。

基本例題：硬貨を3回投げる

表と裏の出方がそれぞれ同様に確からしく、各回の出方がほかの回に影響しない硬貨を3回投げます。表が少なくとも1回出る確率を、約分した分数で求めてください。

各回の表を「表」、裏を「裏」と書き、1回目から順に3文字を並べます。図2のように、1回目が表の結果は4通り、裏の結果も4通りです。それぞれの回に2通りあるので、全体は2 × 2 × 2 = 8通りです。各回は同様に確からしく互いに影響しないため、並べた8通りも同様に確からしい結果です。

図2では、表が1回も出ない結果は「裏裏裏」の1通りです。求めたい「表が少なくとも1回出る」の反対を数えています。まず、その余事象の確率を求めます。

表が1回も出ない確率 = 1/8

全体の確率は1なので、次のように引きます。

表が少なくとも1回出る確率 = 1 − 1/8

1を分母が8の分数に直すと、

1 − 1/8 = 8/8 − 1/8 = 7/8

答えは7/8です。式の1/8は「表が出る確率」ではなく、「3回とも裏になる確率」です。何を引いているのかを式の横に書くと、求めるものを取り違えにくくなります。

直接数えても確かめます。表が1回の結果は「表裏裏」「裏表裏」「裏裏表」の3通り、表が2回の結果は「表表裏」「表裏表」「裏表表」の3通り、表が3回の結果は「表表表」の1通りです。合わせると3 + 3 + 1 = 7通りで、8通りのうち7通りだから7/8です。図2の8通りに戻すと、除いた「裏裏裏」と残りの7通りで重なりなく全体になります。

直接数える途中で「1回目が表」と「2回目が表」を足すだけでは、「表表裏」など両方に当てはまる結果を重複して数えます。表の回数で分けるか、具体的な順序を列挙して一度ずつ数えると、重なりを見つけやすくなります。余事象を使う方法は、この場合に数える結果が1通りで済む点が便利です。

境目を変えたときの考え方

同じ条件の硬貨を4回投げます。表が少なくとも2回出る確率を、約分した分数で求めてください。

各回の結果を順に並べると、全体は2 × 2 × 2 × 2 = 16通りで、同様に確からしい結果です。表の回数は0回から4回まであります。求めるのは2回、3回、4回ですから、余事象は0回または1回です。1回が求める側に入らない点が、基本例題との分かれ目です。

表が0回の結果は「裏裏裏裏」の1通りです。表が1回の結果は、表が現れる位置を1回目、2回目、3回目、4回目と選んで、次の4通りです。

表裏裏裏、裏表裏裏、裏裏表裏、裏裏裏表

余事象は合わせて1 + 4 = 5通りなので、その確率は5/16です。したがって、求める確率は次のようになります。

1 − 5/16 = 16/16 − 5/16 = 11/16

答えは11/16です。直接数えると、表が2回の結果は「表表裏裏」「表裏表裏」「表裏裏表」「裏表表裏」「裏表裏表」「裏裏表表」の6通りです。表が3回の結果は裏の位置で区別して4通り、表が4回の結果は1通りなので、6 + 4 + 1 = 11通りです。求める11通りと反対側の5通りを合わせると16通りになり、元の4回の操作の結果を過不足なく分けられます。

もし「少なくとも2回」の反対を「2回出ない」とだけ読めば、3回や4回も含めてしまいます。反対は「2回未満」、つまり0回または1回です。問題文の境目の数を含む側を決めてから、その外側を数えてください。

誤答から戻る場所

基本例題で「表が少なくとも1回出る確率は3/8」と答えたとします。図3のように、3通りと数えたのは表が1回だけの結果です。計算の分母8は合っていますが、分子に表が2回と3回の結果が入っていません。

図3の左側を出発点にすると、表が2回の3通りと3回の1通りを加えて、3 + 3 + 1 = 7通りと直せます。別の直し方は、表が0回の1通りを全8通りから引くことです。どちらも7/8になり、問題文の「少なくとも1回」を満たします。

別の誤りとして、余事象の確率1/8をそのまま答えにすることがあります。この値は表が一度も出ない確率なので、求める事象とは反対です。式の最後に「求める確率 = 1 − 反対の確率」と書き、答えを出した後にも何の確率かを読み返します。

また、硬貨3回で「表が0回、1回、2回、3回」の4種類を並べ、それぞれの確率を1/4とするのも誤りです。回数ごとに含まれる順序の数は1、3、3、1と異なり、4種類は同様に確からしくありません。等しく起こる8通りを分母に使うことで、回数の違いを正しく反映できます。

練習：反対側を自分で決める

次の各問題では、求める事象とその余事象を言葉で書いてから、答えを約分した分数で求めてください。各操作は互いに影響せず、各回の選択肢はそれぞれ同様に確からしいものとします。

1. 緑と白の2つの区画があるルーレットを5回回します。緑が少なくとも1回出る確率を求めてください。
2. 1から6までの目があるさいころを2回投げます。偶数の目が少なくとも1回出る確率を求めてください。
3. 赤、青、黄の3つの区画があり、どの区画も同様に選ばれるルーレットを3回回します。赤が少なくとも1回出る確率を求めてください。
4. 1から5までの数字をそれぞれ1つずつ書いた5枚の札から1枚を選び、数字を記録して戻す操作を2回行います。数字の1が少なくとも1回記録される確率を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 求める事象は緑が1回以上、余事象は緑が0回です。5回とも白なら余事象に当たり、その結果は1通りです。全体は2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32通りなので、答えは1 − 1/32 = 31/32です。元の操作に戻すと、緑が出る結果31通りと、白が5回の1通りで全32通りになります。緑が1回の5通りに限らず、2回以上も含みます。

2. 求める事象は偶数が1回以上、余事象は偶数が0回、つまり2回とも奇数です。各回の目は6通りで、順序を区別した全体は6 × 6 = 36通りです。奇数は1、3、5の3つなので、余事象は3 × 3 = 9通りです。答えは1 − 9/36 = 27/36 = 3/4です。直接、1回目が偶数なら3 × 6 = 18通り、1回目が奇数で2回目が偶数なら3 × 3 = 9通りです。重ならない2つを合わせて27通りとなり、元の36通りの操作と一致します。

3. 求める事象は赤が1回以上、余事象は赤が0回です。各回の結果を順に記録すると、全体は3 × 3 × 3 = 27通りです。赤が出ない各回は青か黄の2通りなので、余事象は2 × 2 × 2 = 8通りです。答えは1 − 8/27 = 19/27です。直接確かめると、最初に赤が出る回が1回目なら、その後の各回はどの色でもよいので3 × 3 = 9通りです。2回目が最初の赤なら、1回目は赤以外の2通り、3回目は3通りで、2 × 3 = 6通りです。3回目が最初の赤なら、前の2回は赤以外なので2 × 2 = 4通りです。最初に赤が出る回で分けたため、同じ結果を重ねて数えません。9 + 6 + 4 = 19通りとなり、赤がない8通りと合わせて27通りです。

4. 求める事象は1が1回以上、余事象は1が0回です。札を戻すので、各回とも5枚から選びます。順序を区別した全体は5 × 5 = 25通り、1以外は各回4通りなので余事象は4 × 4 = 16通りです。答えは1 − 16/25 = 9/25です。直接数えると、1回目が1なら2回目は5通り、1回目が1以外で2回目が1なら4通りです。合わせて9通りで、残りの16通りとともに元の25通りを埋めます。戻さない操作なら2回目の選択肢が変わるため、この分母をそのまま使えません。

覚えておきたいこと

• 少なくとも1回は、1回だけでなく2回以上も含みます。
• 求める事象に入らない結果を集めたものが余事象です。
• 求める確率は、全体の確率1から余事象の確率を引きます。
• 同様に確からしい結果を決め、直接数えても照合します。

つまずきの見分け方

お子さまが答えを出したときは、まず「2回起きた結果は条件に入るか」を尋ねてみてください。入らないと答えたら、計算をやり直す前に、問題文の「少なくとも」の境目へ戻ります。反対の結果を言えるのに引き算を忘れる場合は、全体の確率が1であることと、2つの事象が重ならず全体を埋めることを図で確かめます。

個別指導で確認するなら、結果を順に並べるところから、全体が同様に確からしい理由、反対側の列挙、引き算後の直接照合までを本人の言葉でたどります。数が合わない場合は、順序の重複や欠落、条件の境目を切り分けます。反対側を正しく分けられれば、引き算の意味も結果の数え方もつながります。