大学入試数学 動く線分の通過領域—媒介変数と内分比を戻して境界の所属を証明する｜武蔵野個別指導塾

二軸上の両端が動く線分の通過領域を、媒介変数の存在と内分比の範囲から絞り込む線分族です。

よくあるのは、座標平面上で両端が動く線分の通過領域を求める問題で、答案の図に線分を延長した直線の分まで色を塗ってしまう場面です。線分ABの両端A(a,0)、B(0,b)がa+b=1を満たしながら動くとき、線分そのものが通る点の集まりは、直線ABが通る点の集まりより狭くなります。狭くなる境目は、線分の内分比tが0以上1以下に収まっているかどうかです。ここでは、媒介変数の存在を式で確かめ、境界の点が実際に取れるかを一本ずつ決めるところまでを扱います。

通過領域で問われる三つの型

最初に、この題材で出る問いの形を整理します。第一の型は、線分の両端を文字で置き、線分が動くときに通る点の集合を図示する問題です。A(a,0)、B(0,b)のように軸上の点を両端に置き、aとbの間にa+b=1のような条件を課します。このとき、点P(x,y)が通過領域に入るかどうかは、Pを線分上の点として表す媒介変数が存在するかどうかで決まります。

第二の型は、与えられた点が通過領域に含まれるかを判定する問題です。点の座標を条件式へ代入するだけでは足りません。代入して得た媒介変数が、線分の内分比として許される範囲に入っているかまで戻す必要があります。さらに、その点を通る線分が何本あるかを問われることもあります。境界の点では本数が減ることがあり、答案では本数の根拠まで書きます。

第三の型は、線分を延長した直線の通過領域と比べる問題です。直線にすると媒介変数の範囲が広がり、第2象限や第4象限まで含まれてしまいます。どこが増えたのかを、内分比の範囲と対応させて説明できるかが到達点です。

使う道具は、媒介変数表示、存在条件、平方の恒等式から作る評価、二次方程式の解の配置、二項の相加相乗平均です。微分や包絡線の公式は使いません。文字で割る前にa>0、b>0、1-a>0を確かめ、等号が成り立つ点を元の条件へ戻すところまでを一組にします。通過領域は、媒介変数を一つ固定してできる図形の和集合です。複数の条件を同時に満たす共通部分ではないので、そこを取り違えないようにします。

媒介変数と内分比が線分と直線を分ける

線分AB上の点Pは、AからBへ向かう割合tを使って

P = (1-t)A + tB
x = (1-t)a
y = t b

と表されます。t=0ならPはA、t=1ならPはBです。0<t<1ならPは線分の内部にあり、APとPBの比はtと1-tの比になります。tが負ならPはAを越えて延長線上にあり、tが1より大きければBを越えて延長線上にあります。線分と直線の違いは、このtの範囲を0以上1以下に限るか、実数全体に広げるかだけです。

図1のように、線分AB上の点Pはtで位置が決まります。両端の座標をaとbで置くと、Pの座標はx=(1-t)a、y=tbです。ここでb=1-aを使うと、x/a=1-t、y/b=tになります。辺々を足すと

x/a + y/b = 1

が得られます。Pが線分上にあるための必要条件は、この直線の式に加えて、xとyが0以上で、tが0以上1以下に入ることです。x/aもy/bも0以上1以下になるので、x≥0、y≥0はすぐに従います。逆に、この直線上の点でx≥0、y≥0を満たすものは、x/a=1-t、y/b=tと置くとtが0以上1以下になり、線分上にあります。ただしa>0、b>0で割っているので、端点でaやbが0になる場合は別に扱います。

次に、通過領域の形を決める評価を用意します。a>0、b>0のとき、平方の恒等式

(x/a + y/b)(a+b) = (√x + √y)² + (√(xb/a) - √(ya/b))²

が成り立ちます。右辺の第二項は平方なので0以上です。したがって

(x/a + y/b)(a+b) ≥ (√x + √y)²

です。Pが線分上にあるときはx/a+y/b=1で、a+b=1なので、左辺は1です。よって(√x+√y)²≤1、すなわち√x+√y≤1が必要になります。等号が成り立つのは、平方の第二項が0になるとき、つまりxb/a=ya/bのときです。両辺にabを掛けるとxb²=ya²となり、x/a²=y/b²と書けます。

この評価は必要条件を作るだけで、領域全体を覆う証明にはなりません。√x+√y≤1を満たす点が実際に線分上に取れるかを、媒介変数を構成して示す必要があります。そのときに解くのが、aについての二次方程式です。x/a+y/(1-a)=1の分母を払うと

x(1-a) + ya = a(1-a)
a² + (y-x-1)a + x = 0

になります。この方程式が0<a<1に解を持てば、b=1-a、t=y/bと置いてPを線分上に戻せます。判別式は

D = (1+x-y)² - 4x
  = ((1-√x)² - y)((1+√x)² - y)
  = (1-√x-√y)(1-√x+√y)(1+√x-√y)(1+√x+√y)

と因数分解できます。√x+√y≤1でx>0、y>0なら、四つの因数はすべて0以上で、最初の因数だけが等号で0になり得ます。したがってD≥0です。D>0なら二つの実数解、D=0なら重解を持ちます。解が0と1の間に入ることは、解の和と積、およびa=1での値から確かめられます。この手順を基本例題で一度通します。

境界の所属は、等号の有無だけで決めません。√x+√y=1の点でも、対応するaが0<a<1に入り、tが0以上1以下なら線分上にあります。逆に、不等式を満たしていても、aやbが0になる端点は線分に含まれません。等号を満たす点を式へ戻し、媒介変数が許される範囲にあるかを別に確かめることが、通過領域の答案では欠かせません。

基本例題 二軸上の線分が描く領域

a>0、b>0、a+b=1とします。点A(a,0)、点B(0,b)を両端とする線分ABが動くとき、線分ABが通過する点の全体を求め、図示してください。境界の点が含まれるかどうかも述べてください。

難しさは基本です。まず、通過領域をRとします。点P(x,y)がRに属するための条件を、媒介変数tの存在で書きます。

Pが線分AB上にある
⇔ あるtが0≤t≤1を満たし、x=(1-t)a、y=tb、b=1-aとなる
⇔ x/a + y/b = 1 かつ x≥0、y≥0、x+y>0

x+y>0は、線分上の点が原点にならないことを表しています。端点Aはx=a>0、端点Bはy=b>0で、内部の点もxとyがともに正です。

必要性を確認します。Pが線分上にあるとき、x/a+y/b=1です。平方の恒等式でa+b=1を使うと

1 = (x/a + y/b)(a+b)
  = (√x + √y)² + (√(xb/a) - √(ya/b))²
  ≥ (√x + √y)²

なので、√x+√y≤1です。等号はxb/a=ya/bのとき、すなわちx/a²=y/b²のときに限ります。

十分性を確認します。x>0、y>0、√x+√y≤1とします。aの二次方程式

f(a) = a² + (y-x-1)a + x = 0

を考えます。判別式は先ほどの因数分解からD≥0です。D>0のとき、二つの実数解を持ちます。解の和はS=1+x-y、積はxです。0<x<1、0<y<1なのでS>0、積も正であり、二つの解はともに正です。またf(1)=y>0で、軸はa=S/2<1にあります。上に開く放物線がa=1で正の値を取り、軸が1より左にあるので、二つの解はともに1より小さいことがわかります。D=0のときは重解で、その値はS/2=√xとなり、0と1の間にあります。

その解をaとし、b=1-a、t=y/bと置きます。x/a+y/b=1なのでx/a=1-tです。x/aとy/bはともに正で和が1なので、どちらも0と1の間に入ります。したがって0<t<1で、x=(1-t)a、y=tbが成り立ちます。Pは線分AB上にあります。D>0のときは解が二つあるので、Pを通る線分は二本あります。

軸上の点を別に調べます。y=0のとき、線分上の点はA自身です。A=(a,0)で0<a<1なので、x軸上の0<x<1の部分が含まれます。x=0のときはB=(0,b)で、y軸上の0<y<1の部分が含まれます。点(1,0)はa=1、b=0を要求するので含まれません。点(0,1)も同様です。原点は、線分上の点が必ずx+y>0を満たすので含まれません。

以上をまとめると、通過領域は

R = { (x,y) | x>0、y>0、√x + √y ≤ 1 }
  ∪ { (x,0) | 0<x<1 }
  ∪ { (0,y) | 0<y<1 }

です。これは、曲線√x+√y=1と両軸で囲まれた図形から、原点と(1,0)、(0,1)の三点を除いたものです。曲線の内側と曲線そのものは含まれますが、三つの角の点だけが落ちます。

図2のように、通過領域は曲線√x+√y=1を外側の境界とし、両軸に沿って細く伸びる図形です。原点と二つの切片は白い丸で示したように含まれません。曲線上の点は、対応するaとbがともに正になるので、線分の内部の点として実現します。たとえば(1/4,1/4)は、√x=1/2、√y=1/2からa=1/2、b=1/2、t=1/2と置けて、線分ABの中点になります。

標準・発展の例題

例題2 直線ABまで広げた通過領域

a>0、b>0、a+b=1とし、A(a,0)、B(0,b)を通る直線ABが動くとき、直線ABの通過領域を求めてください。線分ABの通過領域と比べ、どこが増えるかも述べてください。

難しさは標準です。直線の場合は、Pが直線上にあるための媒介変数tが実数全体を動けるので、tの範囲を0以上1以下に限りません。点P(x,y)に対して、x/a+y/(1-a)=1を満たすaが0<a<1に存在するかどうかを調べます。分母を払った式は、基本例題と同じ

f(a) = a² + (y-x-1)a + x = 0

です。ただし、解が0<a<1に入るかどうかの判断は、xとyの符号で変わります。

x<0、y>0のとき、f(0)=x<0、f(1)=y>0です。a=0で負、a=1で正なので、0<a<1に解があります。したがって第2象限のすべての点が含まれます。x>0、y<0のときはf(0)>0、f(1)<0となり、同じく0<a<1に解があります。第4象限のすべての点が含まれます。

x>0、y>0のときは、基本例題と同じ評価が必要です。x/a+y/b=1とa+b=1から(√x+√y)²≤1が出るので、√x+√y≤1のときに限って0<a<1の解があります。つまり第1象限では、線分の場合と同じ曲線の内側だけが含まれます。

x=0のときは、y/(1-a)=1からa=1-yです。0<a<1となるのは0<y<1のときだけです。y=0のときは、x/a=1からa=xで、0<x<1が条件です。x<0かつy<0のときは、x/aもy/bも負なので和が1になりません。原点も含まれません。

したがって直線ABの通過領域は、第2象限全体、第4象限全体、第1象限の曲線√x+√y≤1の内側、および正のx軸とy軸の0<座標<1の部分です。線分ABの通過領域と比べると、増えるのは第2象限と第4象限です。

増えた点では、内分比tが範囲の外に出ています。第2象限の点はx<0なので、x/a=1-t<0からt>1です。点はBを越えた延長線上にあります。第4象限の点はy<0なので、y/b=t<0です。点はAを越えた延長線上にあります。直線まで広げると、この二つの越えた部分が加わります。逆に、第1象限と正の軸の部分は、線分の場合とまったく同じ条件で決まります。

例題3 積abが一定の線分族

a>0、b>0、ab=1とします。A(a,0)、B(0,b)を両端とする線分ABが動くとき、通過領域を求めてください。境界と軸の扱いも述べてください。

難しさはやや難です。和が一定の場合とは、評価の作り方も領域の形も変わります。Pが線分上にあるとき、x/a+y/b=1です。二項の相加相乗平均を、平方の非負性から確認します。

(√(x/a) - √(y/b))² ≥ 0
x/a + y/b ≥ 2√(xy/(ab))

ab=1なので、右辺は2√(xy)です。左辺は1なので、1≥2√(xy)、すなわちxy≤1/4が必要です。等号はx/a=y/bのときです。x≥0、y≥0、x+y>0も必要です。

十分性を確認します。x>0、y>0、xy≤1/4とします。b=1/aなので、直線の式はx/a+ya=1です。両辺にaを掛けると

y a² - a + x = 0

になります。判別式は1-4xy≥0なので実数解を持ち、解は

a = (1 ± √(1-4xy)) / (2y)

です。y>0なので、どちらの解も正です。そのaに対してb=1/aとし、t=yaと置きます。x/a+ya=1で、x/aとyaはともに正なので、tは0と1の間に入ります。よってPは線分AB上にあります。xy<1/4なら解が二つあり、xy=1/4なら重解で、a=2x、b=2y、t=1/2となります。境界の曲線xy=1/4は、線分の内部の点として実現します。

軸上の点は、和が一定の場合より広く含まれます。x=0のときは、a=1/y、b=yと置くとP=B=(0,y)になり、y>0ならいつでも実現します。y=0のときも、a=x、b=1/xと置けばP=A=(x,0)です。原点は、線分上の点がx+y>0を満たすので含まれません。

したがって通過領域は

{ (x,y) | x≥0、y≥0、xy ≤ 1/4、x+y>0 }

です。これは第1象限で双曲線xy=1/4の下側、つまり原点側を塗り、正のx軸とy軸をすべて含む図形です。和が一定のときは軸上の0<座標<1の部分だけでしたが、積が一定のときは軸全体が含まれます。aを0に近づけるとb=1/aがいくらでも大きくなるため、Bはy軸の好きな高さまで動けるからです。

例題4 通過領域上でx+yの最大値を問う

a>0、b>0、a+b=1とし、A(a,0)、B(0,b)を両端とする線分ABの通過領域をRとします。R上の点(x,y)について、x+yの最大値を求めてください。最大値が存在しない場合は、その理由と上限を述べてください。

難しさは難です。Rは基本例題で求めた領域です。まず、R上の点でx>0、y>0のときを調べます。平方の展開から

x + y = (√x + √y)² - 2√xy

です。√x+√y≤1なので、右辺は1-2√xy以下です。x>0、y>0よりxy>0なので、x+y<1です。軸上の点は、y=0ならx+y=xで0<x<1、x=0ならx+y=yで0<y<1です。したがってR上のすべての点でx+y<1となり、1は上界です。

1に近づく点列を作ります。0<ε<1として、x=(1-ε)²、y=ε²と置きます。√x=1-ε、√y=εなので、√x+√y=1です。xもyも正なので、この点はRに含まれます。このとき

x + y = (1-ε)² + ε² = 1 - 2ε + 2ε²

です。εを0に近づけると、この値は1に近づきます。したがって1は上限です。

x+y=1が実現する点があると仮定します。x+y≤(√x+√y)²≤1で、最初の不等式の差は2√xyです。x+y=1にするには、2√xy=0かつ(√x+√y)²=1でなければならず、xy=0です。すると点は(1,0)か(0,1)になりますが、この二点はa=1、b=0またはa=0、b=1を要求するので、a>0、b>0の条件で除かれます。原点も含まれません。よってx+y=1を取る点はなく、最大値は存在しません。上限は1です。

最大値を問われて存在しない場合、答案には「最大値なし、上限1」と書き、上限に近づく点の作り方と、等号を取る点が除かれる理由を添えます。値を取らないことを示さずに上限だけを最大値として答えると、達成の証明が抜けます。

よくある誤り

第一の誤りは、線分を延長した直線の通過領域まで塗ってしまうことです。たとえば点(-1,1)を考えます。a+b=1、a>0、b>0で直線x/a+y/b=1が(-1,1)を通るaを求めると、-1/a+1/(1-a)=1からa²+a-1=0で、a=(-1+√5)/2、b=(3-√5)/2となります。確かに直線は通ります。しかしt=1/b=(3+√5)/2は1より大きく、点はBを越えた延長線上にあります。線分の通過領域には含まれません。破綻する条件はtの範囲を確かめていないことで、直し方はx/a=1-t、y/b=tを計算し、0≤t≤1に戻すことです。

図3のように、線分ABを延長した直線は第2象限と第4象限へはみ出します。線分の通過領域は第1象限の曲線の内側だけです。赤い点線で示した延長部分まで塗ると、tが0より小さい点や1より大きい点を混ぜてしまいます。

第二の誤りは、境界の曲線を一律に除いてしまうことです。√x+√y=1という等号だけを見て「境界だから含まない」と判断すると、(1/4,1/4)のような点を落とします。この点はa=1/2、b=1/2、t=1/2で線分の中点として実現します。逆に、等号を満たすからといって(1,0)や(0,1)を含めるのも誤りです。この二点はa=1またはb=1を要求し、a>0、b>0に反します。境界は、等号を満たす点の媒介変数が許される範囲にあるかを一本ずつ確かめます。

第三の誤りは、√x+√y≤1をx+y≤1と混同することです。点(0.4,0.4)はx+y=0.8で1以下ですが、√x+√yは約1.265で1を超えます。この点は線分上にありません。境界の曲線は直線ではなく、y=(1-√x)²と書ける曲線です。x+y≤1という直線で塗ると、曲線の外側の点を多く含めてしまいます。平方根の和か、xとyの和かは、評価の式を作った時点で区別します。

練習問題

次の五問を解いてください。解答は問題の後にまとめて置きます。本文の例題とは数と条件を変えています。

1. a>0、b>0、a+b=3とします。A(a,0)、B(0,b)を両端とする線分ABの通過領域を求め、境界の所属を述べてください。

2. a>0、b>0、a+b=1とします。A(a,0)、B(0,b)を両端とする線分ABを、AからBへ1:2に内分する点をQとします。Qの軌跡を求めてください。

3. a>0、b>0、a+b=1とし、A(a,0)、B(0,b)を両端とする線分ABの通過領域をRとします。次の四点がRに含まれるかどうか、理由とともに答えてください。(1/9,4/9)、(0,1)、(1/2,1/2)、(1/16,1/16)。

4. a>0、b>0、a+b=1とします。点P(1/16,1/16)を通る線分ABは何本ありますか。ある場合は、AとBの座標、およびPの内分比tをすべて求めてください。

5. a>0、b>0、2a+b=1とします。A(a,0)、B(0,b)を両端とする線分ABの通過領域を求め、境界の所属を述べてください。

練習1の解答

a+b=3なので、基本例題のa+b=1を3倍した形です。Pが線分上にあるとき、x/a+y/b=1です。平方の恒等式でa+b=3を使うと

3 = (x/a + y/b)(a+b)
  ≥ (√x + √y)²

なので、√x+√y≤√3が必要です。十分性は、x>0、y>0、√x+√y≤√3に対して

x/a + y/(3-a) = 1
a² + (y-x-3)a + 3x = 0

を解いて確かめます。判別式は

D = (3+x-y)² - 12x
  = ((√3-√x)² - y)((√3+√x)² - y)

で、√x+√y≤√3ならD≥0です。解の和は3+x-y、積は3xで、0<x<3、0<y<3よりどちらも正です。a=3での値は3y>0で、軸は3より左にあるので、解は0<a<3に入ります。よってt=y/(3-a)は0と1の間です。軸上は、y=0で0<x<3、x=0で0<y<3が含まれます。原点、(3,0)、(0,3)は含まれません。答えは、曲線√x+√y=√3と両軸で囲まれた図形から、原点と二つの切片(3,0)、(0,3)を除いたものです。

練習2の解答

QはAからBへ1:2に内分する点なので、t=1/3です。

Q = ( (1-1/3)a、 (1/3)b ) = ( 2a/3、 b/3 )

Qの座標を(x,y)とすると、x=2a/3、y=b/3です。ここからa=3x/2、b=3yとなり、a+b=1へ代入すると

3x/2 + 3y = 1
x + 2y = 2/3

です。aは0<a<1を動くので、x=2a/3は0<x<2/3の範囲を動きます。bも0<b<1なので、y=b/3は0<y<1/3です。逆に、x+2y=2/3、0<x<2/3、0<y<1/3を満たす点に対して、a=3x/2、b=3yと置くとa+b=1になり、Qの座標と一致します。したがって軌跡は、直線x+2y=2/3のうち0<x<2/3、0<y<1/3の部分、つまり両端を除く線分です。直線全体ではありません。

練習3の解答

(1/9,4/9)は、√x=1/3、√y=2/3で、和が1です。境界の曲線上にあり、a=1/3、b=2/3、t=2/3と置くと、x=(1-t)a=(1/3)(1/3)=1/9、y=tb=(2/3)(2/3)=4/9になります。よってRに含まれます。

(0,1)は、y=1を実現するにはb=1、a=0が必要で、a>0に反します。x=0の線分上の点はB=(0,b)で、0<b<1です。よってRに含まれません。

(1/2,1/2)は、√x+√y=√2で1より大きいです。よってRに含まれません。x+y=1ですが、通過領域の境界はx+y=1ではなく√x+√y=1です。

(1/16,1/16)は、√x+√y=1/4+1/4=1/2で1より小さいです。曲線の内側なのでRに含まれます。

練習4の解答

P(1/16,1/16)が線分AB上にあるとします。x/a+y/b=1に代入すると

(1/16)/a + (1/16)/(1-a) = 1
1/a + 1/(1-a) = 16
1/(a(1-a)) = 16
a(1-a) = 1/16
a² - a + 1/16 = 0
a = (1 ± √3/2)/2 = (2 ± √3)/4

です。a+b=1なので、a=(2+√3)/4のときb=(2-√3)/4、a=(2-√3)/4のときb=(2+√3)/4です。どちらのaも0と1の間に入ります。各aに対してt=y/b=(1/16)/bを計算します。ab=1/16なので1/b=16aとなり、t=aです。よってt=(2+√3)/4またはt=(2-√3)/4で、どちらも0と1の間です。したがってPを通る線分は二本あります。AとBの座標は、A((2+√3)/4,0)、B(0,(2-√3)/4)、およびA((2-√3)/4,0)、B(0,(2+√3)/4)です。tはそれぞれ(2+√3)/4と(2-√3)/4です。

練習5の解答

Pが線分上にあるとき、x/a+y/b=1です。2a+b=1なので、平方の恒等式を重み付きで使います。

(x/a + y/b)(2a+b)
  = (√(2x) + √y)² + (√(xb/a) - √(2ya/b))²
  ≥ (√(2x) + √y)²

左辺は1・1=1なので、√(2x)+√y≤1が必要です。十分性は、x>0、y>0、√(2x)+√y≤1に対して

x/a + y/(1-2a) = 1
2a² + (y-2x-1)a + x = 0

を解いて確かめます。判別式は

D = (1+2x-y)² - 8x
  = (1-√(2x)-√y)(1-√(2x)+√y)(1+√(2x)-√y)(1+√(2x)+√y)

で、条件からD≥0です。解の和は(2x+1-y)/2、積はx/2で、0<x<1/2、0<y<1より正です。a=1/2での値はy/2>0で、軸は1/2より左にあるので、解は0<a<1/2に入ります。よってt=y/(1-2a)は0と1の間です。軸上は、y=0で0<x<1/2、x=0で0<y<1が含まれます。原点、(1/2,0)、(0,1)は含まれません。答えは、曲線√(2x)+√y=1と両軸で囲まれた図形から、原点と二つの切片(1/2,0)、(0,1)を除いたものです。

覚えておくこと

• 線分は内分比tが0以上1以下、直線はtが実数全体です。通過領域は媒介変数の存在条件で決まります。
• 通過領域は、媒介変数を固定してできる図形の和集合です。共通部分と混同しません。
• 必要条件は不等式で作り、十分条件は媒介変数を実際に構成して示します。両方を答案に置きます。
• 境界は等号だけで決めず、対応する媒介変数が許される範囲にあるかを戻して確かめます。
• a>0、b>0の条件は端点を落とします。原点と切片は別に調べます。

つまずきの見分け方

答案の図が第2象限や第4象限まで塗られていたら、内分比tの範囲を落としています。まずx/a=1-t、y/b=tを書かせ、塗った点のtを計算させます。tが負または1より大きい点は、直線の通過領域には入っても線分の通過領域には入りません。

境界を一律に除いていたら、等号を満たす点の媒介変数を求めさせます。√x+√y=1の点は、a=√x、b=√y、t=√yと置けるものが多く、線分の内部として実現します。一方、(1,0)や(0,1)はa=1やb=1を要求するので除かれます。等号の有無と媒介変数の存在を、別の行に分けて書かせると区別できます。

x+y≤1と書いていたら、平方根の和の評価に戻ります。具体的な点(0.4,0.4)を代入させ、x+yは1以下でも√x+√yは1を超えることを確かめさせます。境界の曲線y=(1-√x)²を描き、直線y=1-xと重ねて違いを見せると、混同が残りにくくなります。

個別指導では、次の三つを順に確かめます。第一に、点Pを媒介変数で表す式を、AとBの座標から自分で作れるか。第二に、得られた不等式が必要条件か十分条件か、どちらを証明しているかを言えるか。第三に、境界や端点の点を、元のa、b、tへ戻して実現できるか。計算の速さよりも、この三つの往復ができるかを見ます。線分か直線かは、塗る前の一本の式ではなく、内分比が0と1の間に収まっているかで決まります。