大学入試数学 絶対値不等式と文字定数—折れ目の順が入れ替わる境界から解集合を決める｜武蔵野個別指導塾

文字定数を含む二つの絶対値の和では、式が切り替わる二つの位置の前後関係が折れ目です。

よくあるのは、自習中に文字定数を含む絶対値の不等式を解いていて、a<2 と折れ目の順を決めたまま答案を書き切り、a=4 のように順序が逆になる場合を落とす場面です。式の変形は合っているのに、場合分けの境界が答案から抜けているため、最後の解集合が合いません。ここで先に決めるべきは、計算の順番ではなく、二つの折れ目がどちらが左になるかという並びです。

出題の形は三つに分かれる

絶対値の不等式は、式をそのまま眺めても解集合の形が見えにくい題材です。出方は大きく三つに分かれます。第一の形は、|x-2|+|x-5|<=6 のように、折れ目の位置が数字で固定された不等式を解くものです。第二の形は、a が折れ目の位置や右辺に入り、a の値によって折れ目の順が入れ替わるものです。第三の形は、解集合が空になるか、一点になるか、区間になるかを問うものです。第二と第三の形では、計算の前に「どの境界で式の形が変わるか」を書き出す作業が答案の骨格になります。

使う道具は四つです。絶対値の定義、数直線上の距離の読み方、一次不等式の解法、そして三角形不等式です。絶対値の定義は、X>=0 のとき |X|=X、X<0 のとき |X|=-X です。数直線では |x-p| が x と p の間の長さを表します。三角形不等式は |u|+|v|>=|u+v| で、二つの絶対値の和を下から押さえるときに働きます。使うのは一次式の変形だけで、特別な公式を覚える必要はありません。

問われるのは、答えの数字そのものではなく、場合分けの境界を拾えたかどうかです。a の値が境界をまたぐと、折れ目の並びも、解を持つかどうかも変わります。そのため、答案には「どの条件のもとで、どの区間を解いているか」を一貫して書くことが求められます。

折れ目と最小値が解集合の骨格を決める

絶対値の中が0になる x を、ここでは折れ目と呼びます。|x-p| の折れ目は x=p、|x-q| の折れ目は x=q です。二つの絶対値の和 f(x)=|x-p|+|x-q| は、この二点を境に一次式へ分かれます。p<q の場合を書き下すと、次のようになります。

x<=p のとき        f(x) = (p-x)+(q-x) = p+q-2x
p<=x<=q のとき     f(x) = (x-p)+(q-x) = q-p
q<=x のとき        f(x) = (x-p)+(x-q) = 2x-p-q

折れ目の外側では傾きが -2 と 2 になり、二つの折れ目の間では傾きが 0 になります。図1のように、グラフは左から下がり、平らになり、また上がる形です。平らな部分の高さは q-p で、これが f(x) の最小値です。二つの折れ目が離れているほど、最小値は大きくなります。

この形から、f(x)<=c の解集合が決まります。c<0 のときは、f(x)>=0 なので解はありません。0<=c<q-p のときは、最小値 q-p が c を上回るため、やはり解はありません。c>=q-p のときは、外側の二つの一次不等式と、平らな部分の条件がすべて両立します。左側の p+q-2x<=c から x>=(p+q-c)/2、右側の 2x-p-q<=c から x<=(p+q+c)/2 が出ます。平らな部分は q-p<=c のときにそのまま条件を満たします。したがって解集合は、次の一つの区間になります。

c>=q-p のとき     (p+q-c)/2 <= x <= (p+q+c)/2

この区間の中心は (p+q)/2、長さは c です。中心が二つの折れ目の中点になること、長さが右辺の c そのものになることが、この形の要点です。p>q のときは p と q の役割を入れ替えれば同じ式になり、|p-q| を距離として扱えばよいだけです。

一点だけが解になるのは、区間の長さが0になるときです。長さは c なので c=0 が必要で、さらに解を持つ条件 c>=|p-q| から |p-q|=0、つまり p=q でなければなりません。二つの折れ目が一致し、右辺が0のときだけ、解集合はその一点になります。右辺が正のまま折れ目が一致しても、解集合は長さ c の区間になります。ここを混同すると、一点になる場合を余計に作ってしまいます。

基本例題：折れ目が2と5にある不等式

例題1です。不等式 |x-2|+|x-5|<=6 を解いてください。折れ目は x=2 と x=5 で、順序は 2<5 に固定されています。三つの区間に分けて、それぞれの区間の条件と不等式の答えを共通部分で取ります。

x<=2 のとき
  |x-2| = 2-x, |x-5| = 5-x
  f(x) = (2-x)+(5-x) = 7-2x
  7-2x <= 6 より -2x <= -1、すなわち x >= 1/2
  区間の条件 x<=2 と合わせて 1/2 <= x <= 2

2<=x<=5 のとき
  |x-2| = x-2, |x-5| = 5-x
  f(x) = (x-2)+(5-x) = 3
  3 <= 6 は常に成り立つ
  区間の条件と合わせて 2 <= x <= 5

5<=x のとき
  |x-2| = x-2, |x-5| = x-5
  f(x) = (x-2)+(x-5) = 2x-7
  2x-7 <= 6 より 2x <= 13、すなわち x <= 13/2
  区間の条件 x>=5 と合わせて 5 <= x <= 13/2

三つの結果を合わせると、解集合は 1/2<=x<=13/2 です。端点を元の式へ戻すと、x=1/2 のとき |1/2-2|+|1/2-5|=3/2+9/2=6、x=13/2 のとき |13/2-2|+|13/2-5|=9/2+3/2=6 で、どちらも等号が成り立ちます。中央の 2<=x<=5 では f(x)=3 なので、6 より小さい値で条件を満たしています。

図2のように、グラフと直線 y=6 の交点が解集合の両端になります。折れ目の間の平らな部分は高さ3で、直線 y=6 より下にあります。左側では傾き -2 で高さが上がり、右側では傾き 2 で高さが上がるため、交点は左右に一つずつあります。距離の見方では、最小値が 5-2=3、右辺との差が 6-3=3、その半分の 3/2 ずつが平らな部分の外側に加わると考えられます。中心は (2+5)/2=7/2 で、長さ6の区間は 7/2-3 から 7/2+3、すなわち 1/2 から 13/2 です。

文字定数が入ると境界が二種類になる

文字定数が入ると、管理する境界が二種類になります。一つは折れ目の順が入れ替わる境界、もう一つは解の有無が切り替わる境界です。この二つは同じ a の値になるとは限りません。順序の境界では式の形が変わり、存在の境界では最小値と右辺の大小が変わります。答案では、どちらの境界を調べているのかを分けて書きます。

例題2です。a を実数とするとき、不等式 |x-2|+|x-a|<=4 を、a の値で場合分けして解いてください。解がない場合も明記してください。難しさは標準です。折れ目は x=2 と x=a で、a<2、a=2、a>2 の三つに分かれます。まず a<=2 の場合を調べます。

a<=2 のとき、折れ目は a と 2 で、a<=x<=2 が平らな部分
x<=a のとき
  f(x) = (a-x)+(2-x) = a+2-2x
  a+2-2x <= 4 より x >= (a-2)/2
  区間の条件 x<=a と合わせるには (a-2)/2 <= a、すなわち a >= -2 が必要

a<=x<=2 のとき
  f(x) = (x-a)+(2-x) = 2-a
  2-a <= 4 より a >= -2

x>=2 のとき
  f(x) = (x-2)+(x-a) = 2x-a-2
  2x-a-2 <= 4 より x <= (a+6)/2
  区間の条件 x>=2 と合わせるには (a+6)/2 >= 2、すなわち a >= -2

a<=2 の範囲では、a>=-2 のときに三つの区間がつながって (a-2)/2<=x<=(a+6)/2 になります。a<-2 のときは、平らな部分の高さ 2-a が4を超えるため、どの区間でも条件を満たしません。次に a>=2 の場合を調べます。

a>=2 のとき、折れ目は 2 と a で、2<=x<=a が平らな部分
x<=2 のとき
  f(x) = (2-x)+(a-x) = a+2-2x
  a+2-2x <= 4 より x >= (a-2)/2
  区間の条件 x<=2 と合わせるには (a-2)/2 <= 2、すなわち a <= 6 が必要

2<=x<=a のとき
  f(x) = (x-2)+(a-x) = a-2
  a-2 <= 4 より a <= 6

x>=a のとき
  f(x) = (x-2)+(x-a) = 2x-a-2
  2x-a-2 <= 4 より x <= (a+6)/2
  区間の条件 x>=a と合わせるには (a+6)/2 >= a、すなわち a <= 6

a>=2 の範囲では、a<=6 のときに同じ区間 (a-2)/2<=x<=(a+6)/2 になります。a>6 のときは、平らな部分の高さ a-2 が4を超えるため、解はありません。二つの場合を合わせると、-2<=a<=6 のとき解集合は (a-2)/2<=x<=(a+6)/2、a<-2 または a>6 のとき解集合は空です。境界の a=-2 では -2<=x<=2、a=6 では 2<=x<=6 となり、どちらも長さ4の区間です。a=2 では 0<=x<=4 となり、二つの場合の式が一致します。

ここで大事なのは、a<=2 と a>=2 のどちらでも、平らな部分の式が 2-a と a-2 で異なるのに、最終的な区間が同じ形になることです。形が同じだから場合分けは不要、と考えるのではありません。各区間の条件と不等式の答えを共通部分で取る手順を踏んだから、同じ形に着地したのです。場合分けを省くと、a<-2 や a>6 で解がないことを見落とします。

例題3です。a を実数とするとき、不等式 |x-a|+|x-2a|<=3 を解いてください。難しさはやや難です。今度は二つの折れ目がどちらも a で動きます。折れ目は x=a と x=2a で、a>0 なら a<2a、a<0 なら 2a<a、a=0 なら一致します。順序の境界は a=0 です。さらに、二つの折れ目の距離は |2a-a|=|a| なので、これが右辺の3を超えると解を持ちません。存在の境界は |a|=3 です。

a>=0 のとき、折れ目は a と 2a で、a<=x<=2a が平らな部分
x<=a のとき
  f(x) = (a-x)+(2a-x) = 3a-2x
  3a-2x <= 3 より x >= (3a-3)/2
  区間の条件 x<=a と合わせるには (3a-3)/2 <= a、すなわち a <= 3

a<=x<=2a のとき
  f(x) = (x-a)+(2a-x) = a
  a <= 3

x>=2a のとき
  f(x) = (x-a)+(x-2a) = 2x-3a
  2x-3a <= 3 より x <= (3a+3)/2
  区間の条件 x>=2a と合わせるには (3a+3)/2 >= 2a、すなわち a <= 3

a>=0 の範囲では、0<=a<=3 のときに (3a-3)/2<=x<=(3a+3)/2 が解集合です。a>3 のときは、折れ目の距離 a が3を超えるため解がありません。次に a<=0 の場合です。

a<=0 のとき、折れ目は 2a と a で、2a<=x<=a が平らな部分
x<=2a のとき
  f(x) = (a-x)+(2a-x) = 3a-2x
  3a-2x <= 3 より x >= (3a-3)/2
  区間の条件 x<=2a と合わせるには (3a-3)/2 <= 2a、すなわち a >= -3

2a<=x<=a のとき
  f(x) = (a-x)+(x-2a) = -a
  -a <= 3 より a >= -3

x>=a のとき
  f(x) = (x-a)+(x-2a) = 2x-3a
  2x-3a <= 3 より x <= (3a+3)/2
  区間の条件 x>=a と合わせるには (3a+3)/2 >= a、すなわち a >= -3

a<=0 の範囲では、-3<=a<=0 のときに同じ区間 (3a-3)/2<=x<=(3a+3)/2 が解集合です。a<-3 のときは解がありません。まとめると、|a|<=3 のとき解集合は (3a-3)/2<=x<=(3a+3)/2、|a|>3 のとき解集合は空です。a=0 では -3/2<=x<=3/2 となり、折れ目が一致しても右辺が3なので、一点ではなく長さ3の区間になります。a=3 では 3<=x<=6、a=-3 では -6<=x<=-3 となり、どちらも平らな部分そのものです。

例題4です。a と b を実数とするとき、不等式 |x-a|+|x-b|<=b-a を、a と b の大小で場合分けして解いてください。難しさは難です。右辺が文字の差になっているため、右辺の符号と、二つの折れ目の距離が同じ式で表されます。まず三角形不等式で下から押さえます。

|x-a|+|x-b| = |x-a|+|b-x|
             >= |(x-a)+(b-x)|
             = |b-a|

等号が成り立つのは、(x-a) と (b-x) が同じ向きか、少なくとも一方が0のときです。これは (x-a)(b-x)>=0、すなわち (x-a)(x-b)<=0 と同じで、x が a と b の間にある場合に限ります。

a>b のとき、右辺 b-a は負です。左辺は0以上なので、不等式を満たす x はありません。a=b のとき、右辺は0で、不等式は 2|x-a|<=0 になります。これは x=a のときだけ成り立ち、解集合は一点 {a} です。a<b のとき、右辺 b-a は正で、|b-a| に等しいため、不等式は |x-a|+|x-b|<=|b-a| となります。三角形不等式から左辺は常に |b-a| 以上なので、条件を満たすには等号が成り立つ必要があります。等号の条件から、解集合は a<=x<=b です。

a<b のとき、区間 a<=x<=b のすべての x で等号が成り立つことを確かめます。x が a と b の間にあるとき、|x-a|=x-a、|x-b|=b-x なので、和は (x-a)+(b-x)=b-a です。したがって、不等式は等号で満たされます。a>b と a=b の場合も含めると、解集合は次のように整理できます。

a>b のとき        解なし
a=b のとき        x=a の一点
a<b のとき        a<=x<=b

この例題では、解なし、一点、区間の三つが、右辺の符号と折れ目の一致によって一度に現れます。三つの場合を別々の公式として覚えるのではなく、右辺が負なら空、右辺が0で折れ目が一致するなら一点、右辺が距離に等しいなら折れ目の間の区間、と読むのが筋です。例題3の a=0 のように、折れ目が一致しても右辺が正なら区間になる点も、合わせて確認してください。

折れ目の順を固定した答案が崩れるところ

誤りの一つ目は、折れ目の順を一つの場合に固定したまま、a の全範囲で同じ式を使うことです。例題2で a<=2 と決め、a=7 をその式へ代入すると、(7-2)/2<=x<=(7+6)/2、すなわち 2.5<=x<=6.5 という区間が出ます。しかし a=7 のときの折れ目は 2 と 7 で、距離は5です。右辺は4なので、最小値5が右辺を上回り、解はありません。図3のように、グラフの平らな部分が直線 y=4 より上にあり、交点が一つもない状態です。式の形が同じでも、その式を使える a の範囲を確かめなければ、存在しない解集合を作ってしまいます。

誤りの二つ目は、右辺の符号を見ないことです。例題3の形で a=1 とすると、右辺は a-2=-1 です。左辺は0以上なので、解はありません。それなのに、折れ目の間の区間をそのまま写して 1<=x<=2 と書くと、負の右辺を無視した答案になります。右辺が負のときは、折れ目の順を調べる前に、解なしと決まります。

誤りの三つ目は、最小値を0だと思い込むことです。|x-2|+|x-5| の最小値は、x=2 でも x=5 でもなく、2 と 5 の間のすべての x で 3 です。二つの絶対値の和は、二つの折れ目が離れているほど大きな値から始まります。最小値を0と考えると、右辺が小さいときの解なしを落とします。

誤りの四つ目は、等号が成り立つ x を折れ目の二点だけだと思うことです。二つの折れ目の間では、|x-p|+|x-q| は一定で |p-q| です。したがって、右辺が |p-q| に等しいときは、区間全体で等号が成り立ちます。等号の点を端点だけと書くと、解集合の区間を失います。

直し方は五つの順番で確かめます。第一に右辺の符号を見ます。第二に二つの折れ目の位置を書き、a の値で順序が変わる境界を求めます。第三に最小値 |p-q| と右辺を比べ、解の有無を決めます。第四に各区間で一次不等式を解き、その区間の条件との共通部分を取ります。第五に得られた端点を元の不等式へ代入し、等号と向きを確かめます。この順番を答案の上でも崩さないことが、場合分けの漏れを防ぎます。

練習問題

練習1です。不等式 |x+1|+|x-3|<=8 を解いてください。解は区間の形で答えてください。

練習2です。a を実数とするとき、不等式 |x-5|+|x-a|<=7 が解を持たないような a の値の範囲を求めてください。

練習3です。a を実数とするとき、不等式 |x-a|+|x-4|<=2a-10 を解いてください。解がない場合も明記してください。

練習4です。a を実数とするとき、不等式 |x-1|+|x-a|<=a を解いてください。解がない場合も明記してください。

練習5です。a を正の実数とするとき、すべての実数 x に対して |x-a|+|x-3a|>=2a が成り立つことを示し、等号が成り立つ x の範囲を求めてください。

練習問題の解答

練習1の解答です。折れ目は x=-1 と x=3 で、順序は -1<3 です。三つの区間に分けます。

x<=-1 のとき
  f(x) = (-1-x)+(3-x) = 2-2x
  2-2x <= 8 より -2x <= 6、すなわち x >= -3
  区間の条件と合わせて -3 <= x <= -1

-1<=x<=3 のとき
  f(x) = (x+1)+(3-x) = 4
  4 <= 8 は常に成り立つ
  区間の条件と合わせて -1 <= x <= 3

x>=3 のとき
  f(x) = (x+1)+(x-3) = 2x-2
  2x-2 <= 8 より 2x <= 10、すなわち x <= 5
  区間の条件と合わせて 3 <= x <= 5

三つを合わせると、解集合は -3<=x<=5 です。端点では f(-3)=|-2|+|-6|=8、f(5)=|6|+|2|=8 となり、どちらも等号です。中心は (-1+3)/2=1、長さは8なので、1-4 から 1+4、すなわち -3 から 5 と読んでも同じ結果になります。

練習2の解答です。f(x)=|x-5|+|x-a| の最小値は、二つの折れ目の距離 |a-5| です。解を持たないのは、この最小値が右辺の7を超えるときです。したがって |a-5|>7 を解きます。a-5>7 または a-5<-7 より、a>12 または a<-2 です。境界の a=-2 では距離が7で、解集合は -2<=x<=5 の区間になります。a=12 では 5<=x<=12 の区間になります。どちらも解を持つため、境界は範囲に含めません。

練習3の解答です。折れ目は x=a と x=4 で、右辺は 2a-10 です。まず右辺が0以上でなければならないので、a>=5 が必要です。そのうえで、最小値 |a-4| が右辺以下になる条件を調べます。a>=5 の範囲では a>=4 なので、|a-4|=a-4 です。a-4<=2a-10 より、a>=6 が出ます。a<6 のときは、右辺が0以上でも最小値のほうが大きいため、解はありません。a>=6 のとき、折れ目は 4 と a で、4<=a です。解集合の中心は (a+4)/2、長さは 2a-10 なので、端点は次のようになります。

左端 = (a+4)/2 - (2a-10)/2 = (a+4-2a+10)/2 = (14-a)/2
右端 = (a+4)/2 + (2a-10)/2 = (a+4+2a-10)/2 = (3a-6)/2

したがって、a>=6 のとき解集合は (14-a)/2<=x<=(3a-6)/2、a<6 のとき解集合は空です。a=6 では 4<=x<=6 となり、折れ目の間の区間そのものです。a=7 では 3.5<=x<=7.5 となり、両端で f(x)=4 になることを元の式へ代入して確かめられます。

練習4の解答です。折れ目は x=1 と x=a で、右辺は a です。右辺が0以上でなければならないので、a>=0 が必要です。最小値 |a-1| が a 以下になる条件を調べます。0<=a<=1 のときは |a-1|=1-a なので、1-a<=a より a>=1/2 です。a>=1 のときは |a-1|=a-1 で、a-1<=a は常に成り立ちます。したがって解を持つのは a>=1/2 のときです。解集合の中心は (a+1)/2、長さは a なので、左端は (a+1)/2-a/2=1/2、右端は (a+1)/2+a/2=(2a+1)/2 です。まとめると、a>=1/2 のとき 1/2<=x<=(2a+1)/2、a<1/2 のとき解集合は空です。a=1/2 では 1/2<=x<=1 となり、折れ目の間の区間です。a=2 では 1/2<=x<=5/2 となり、端点で f(x)=2 になります。

練習5の解答です。a>0 とします。三角形不等式を使うと、次のように下から押さえられます。

|x-a|+|x-3a| = |x-a|+|3a-x|
             >= |(x-a)+(3a-x)|
             = |2a|
             = 2a

したがって、すべての実数 x で不等式が成り立ちます。等号が成り立つのは、(x-a) と (3a-x) が同じ向きか、少なくとも一方が0のときです。これは (x-a)(3a-x)>=0、すなわち (x-a)(x-3a)<=0 と同じで、a<=x<=3a のときです。逆に、この区間の x では |x-a|=x-a、|x-3a|=3a-x なので、和は 2a になります。よって等号が成り立つ x の範囲は a<=x<=3a です。

覚えておくこと

• 折れ目は、絶対値の中が0になる x である。
• 二つの折れ目の間では傾きが0、外側では傾きが -2 と 2 になる。
• 最小値は二つの折れ目の距離 |p-q| で、等号は二つの折れ目の間の区間全体で成り立つ。
• f(x)<=c は、c<|p-q| なら解なし、c>=|p-q| なら中心 (p+q)/2、長さ c の区間になる。
• 解が一点になるのは、c=0 かつ p=q のときに限る。

つまずきの見分け方

答案が途中で止まるときは、どこで折れ目の順を決めたかをたどります。a<2 と書き始めた答案なら、a=2 と a>2 の場合が答案のどこにあるかを探します。場合分けの境界が答案に一度も現れていなければ、そこで止まっている可能性が高いです。右辺の符号を確認せずに区間を書いている答案は、a の値を一つ代入したときに左辺が右辺以下になるかを確かめさせます。

式で確かめる場面では、まず端点の代入をさせます。得られた区間の両端を元の不等式へ戻し、等号が成り立つかを見ます。次に、区間の中心と長さを計算させ、中心が二つの折れ目の平均になっているか、長さが右辺と一致しているかを確認します。境界の前後は、a=1.9、a=2、a=2.1 のように具体的な数を代入して、解集合の形が変わる場所を言葉にさせます。図では、平らな部分の高さと直線 y=c の上下を指で示させると、解の有無の判断が視覚的に確かめられます。

説明では、なぜ |x-p|+|x-q| が |p-q| 以上になるのかを、数直線上の距離として言わせます。等号が二つの折れ目の間の全体で成り立つ理由も、区間の内側では二つの距離の和が一定になることから説明できるようにします。場合分けの境界をどちらの場合に入れるかは、重複しても漏れてもいけないため、境界の値を両方の場合に代入して同じ結果になることを確認させます。ここまで言えれば、文字定数が変わっても同じ手順を自分で組み立てられます。

折れ目の順を先に決めておけば、解集合の形は計算のあとからついてきます。