数検準2級 三角比の相互関係—角の範囲と符号を確かめて残りの値を求める｜武蔵野個別指導塾

鈍角の余弦の符号や、正接が定義されない角を図と例題で整理し、残りの値を選ぶ道筋をたどる、三角比の相互関係です。

よくあるのは、受験者が鈍角なのに cos の正の値を選ぶという場面です。平方の式から大きさを出すところまでは合っていても、平方根の符号を決める前に角の位置を見失うと、別の角の値を答えてしまいます。紙に半円を一つ描き、点が縦軸の左右どちらにあるかを確かめると、計算の意味が戻ってきます。ここでは 0° から 180° までの三角比と、その間の関係を扱います。

何を手がかりに求めるか

三角比の相互関係を使う問題では、ある角の値の一つと角の範囲から、残りの値を求めます。例えば sin が与えられ、cos と tan を求める型では、まず平方の和から cos の大きさを出し、角の範囲で符号を決めます。cos が先に与えられた場合も同じ式を使えますが、今度は sin の符号を上半円で判断します。

別の型は tan と角の範囲が与えられるものです。tan は sin を cos で割った値なので、二つの値の比と平方の和を組み合わせます。式変形の途中で分母が 0 にならないかを見ることも必要です。さらに、sin の値は同じでも鋭角と鈍角では cos の符号が変わるため、範囲が広い場合には二通りを残す型もあります。

これらは自作の問題の型です。公式を覚えるだけでなく、与えられた範囲、0 になり得る値、最後に求めるものを順に確認すると、途中で場合を落としにくくなります。

半円の座標と三角比

原点 O を中心とする半径 1 の円の上半分を考えます。正の横軸から反時計回りに θ だけ回った半径の先を P とすると、その座標を (x, y) と表せます。0° から 180° では、cos θ = x、sin θ = y と定めます。鋭角では、半径を斜辺とする直角三角形の辺の比と一致します。鈍角にも同じ座標の見方を広げると、横座標が負になることが見えます。

図1のように、上半円では点の高さ y は負になりません。一方、横座標 x は 90° より小さい角では正、90° より大きい角では負です。ここで「右側」とは点の位置を表しています。鈍角の点は縦軸の左にあるので、cos は負です。角の大小と点の左右を取り違えないように、軸と点を指でたどってみます。

半径が 1 なので、三平方の定理から x² + y² = 1 です。軸上の点でも同じ式が成り立ち、これを三角比で書くと sin²θ + cos²θ = 1 となります。sin²θ は (sin θ)² の意味です。2 乗すると正負の情報が消えるため、式から cos²θ を求めても、cos θ の符号は別に判断します。

cos θ が 0 でないとき、tan θ = sin θ / cos θ です。したがって、鋭角では正、鈍角では負です。90° では点が (0, 1) なので cos θ = 0 となり、0 で割ることはできません。tan 90° は定義されません。0° と 180° では sin が 0、cos がそれぞれ 1、-1 なので tan はどちらも 0 です。範囲の端点を含むかどうかは、問題の不等号から読みます。

上の二つの関係を組み合わせ、cos θ が 0 でなければ 1 + tan²θ = 1 / cos²θ も得られます。これは平方の和の各項を cos²θ で割った式です。90° でも使える式だと思い込むと、存在しない分母を扱うことになります。式の横に「cos θ ≠ 0」と書いておくと、適用できる範囲を見失いません。

座標の見方は、補角の関係にもつながります。鋭角を θ とすると、180° − θ の点は縦軸を挟んで元の点と左右対称です。高さは変わらず、横座標の符号が反対になるので、sin(180° − θ) = sin θ、cos(180° − θ) = -cos θ です。両方の正接が定義される場合、tan(180° − θ) = -tan θ となります。数値表を見るときも、単なる符号の暗記でなく、同じ高さの点を二つ描いて確かめられます。

与えられた値が実現可能かも、計算を始める前に見ます。半径 1 の円の座標は -1 から 1 の間にあり、上半円の縦座標は 0 から 1 の間です。例えば sin θ が 1 より大きい条件なら、その範囲の角は存在しません。平方の式に入れた後で cos²θ が負になったら、計算を続けず、元の条件と代入を確認します。値を読み違えたのか、条件そのものを満たす角がないのかで、書くべき結論が変わります。

基本例題：鈍角の符号を先に決める

問題　90° < θ < 180°、sin θ = 3/5 のとき、cos θ と tan θ をそれぞれ分数で求めてください。

図2のように、半径 5 の円を使っても比は同じです。点の高さが 3 なので、原点からの水平距離の大きさは 4 です。ただし点は縦軸の左にあるため、横座標は -4 になります。半径 1 の円に縮めると、縦座標が 3/5、横座標が -4/5 です。

式でも同じ判断を順に書きます。まず、平方の和に与えられた値を入れます。

sin²θ + cos²θ = 1

(3/5)² + cos²θ = 1

9/25 + cos²θ = 1

cos²θ = 16/25

ここから cos θ = 4/5 または -4/5 です。平方して 16/25 になる数は両方あるので、この行を省くと符号の判断が見えなくなります。条件の θ は鈍角で、半円上の点の横座標が負です。したがって cos θ = -4/5 を選びます。

次に定義から正接を求めます。

tan θ = sin θ / cos θ

= (3/5) / (-4/5)

= -3/4

答えは cos θ = -4/5、tan θ = -3/4 です。点 (-4, 3) は (-4)² + 3² = 25 を満たし、半径 5 の円にあります。縦座標を半径で割ると問題の 3/5 に戻り、左上の点なので鈍角という条件にも合います。正接を縦座標と横座標の比で見ても 3 / (-4) = -3/4 です。

もし正の 4/5 を選ぶと、点は右上に移り、同じ正弦を持つ鋭角を表します。平方の式に代入した結果だけでは両者を区別できません。与えられた数だけでなく、角の範囲にも答えを戻すのが検算です。

少し難しい例題：角の範囲が二つにまたがる

問題　0° < θ < 180°、sin θ = 5/13 のとき、cos θ と tan θ の組をすべて分数で求めてください。

最初に平方の和を使います。sin²θ = 25/169 ですから、cos²θ = 1 − 25/169 = 144/169 です。よって cos θ = 12/13 または -12/13 となります。今度は範囲が 90° の両側に広がっています。sin θ が正であることは上半円の左右を分けないので、片方を消す理由はありません。

cos θ = 12/13 のとき、tan θ = (5/13) / (12/13) = 5/12 です。cos θ = -12/13 のとき、tan θ = (5/13) / (-12/13) = -5/12 です。答えの組は (cos θ, tan θ) = (12/13, 5/12)、(-12/13, -5/12) です。符号を別々に選んで、正の cos と負の tan を組にしてはいけません。

座標に戻すと、半径 13 の円上の (12, 5) と (-12, 5) が対応します。どちらも横座標の平方と縦座標の平方の和が 169 で、高さを半径で割ると 5/13 です。前者は鋭角、後者は鈍角です。上半円の高さ 5 と半径 13 が決まれば、横座標はこの正負の二つに限られますから、組に漏れはありません。90° では sin θ = 1 なので、与えられた値とは一致せず、この例で正接が未定義になることもありません。

二つの答えが出る理由は、正弦が高さを表すことにあります。同じ高さの水平線は、上半円を一般に左右二点で切ります。ただし高さが 1 のときは頂点で一つになり、高さが 0 のときは左右の端点になります。問題の範囲が端点を含まなければ、端点の候補を除きます。図に線を引いて候補を出した後、問題の不等号で残す点を決めると、候補の数まで説明できます。

角の範囲が 90° を含むという事実と、実際に 90° が条件を満たすかは別の確認です。90° を代入して条件に合うなら、tan を求める問いではその角で定義されないことを明記します。単に分母を消して計算を続けると、この例外が見えなくなります。

誤答から戻る：平方根と分母

図3のように、鈍角で cos²θ = 9/25 から cos θ = 3/5 とする誤答を考えます。平方の値そのものは正しく出ていますが、平方根を取る段階で正の値だけを選んでいます。平方の式は点が縦軸の右にあるか左にあるかを区別しません。鈍角という条件に戻ると、横座標は負ですから cos θ = -3/5 と修正します。

別の誤りは、tan θ = sin θ / cos θ に 90° を入れて、分母が 0 のまま答えを作ることです。正接の式を使う前に cos θ ≠ 0 を確認し、90° の場合は「定義されない」と書きます。0 を分母にする計算は、分子が 0 であっても認められません。

また、tan が負なら sin も負と考える間違いもあります。0° から 180° の範囲で sin は負にならず、鈍角では cos が負になるため商が負です。商の符号だけで分子と分母の符号を個別に決めず、半円の位置を合わせて見ます。誤った行を消す前に「平方」「符号」「割る」のどこで判断したかを残すと、戻る場所が見つかります。

練習問題

まず問題を続けて解き、その後で答えと照合してください。角は指定した範囲に限り、値は分数または整数で答えます。

1. 0° < α < 90°、cos α = 8/17 のとき、sin α と tan α を求めてください。
2. 90° < β < 180°、tan β = -5/12 のとき、sin β と cos β を求めてください。
3. 0° ≤ γ ≤ 180°、cos γ = -1 のとき、sin γ と tan γ を求めてください。
4. 0° ≤ δ ≤ 180°、sin δ = 1 のとき、cos δ と tan δ を求めてください。定義されない値があればその旨を答えてください。

練習の答えと解き方

1. sin²α = 1 − (8/17)² = 225/289 です。α は鋭角なので sin α > 0、よって sin α = 15/17 です。tan α = (15/17) / (8/17) = 15/8 です。半径 17 の円では点 (8, 15) に対応し、8² + 15² = 17²、横座標を半径で割ると与えられた 8/17 に戻ります。点は右上にあり、鋭角の条件も満たします。

2. β は鈍角なので sin β > 0、cos β < 0 です。tan β = -5/12 は、縦座標と横座標の比が 5 : -12 であることを示します。半径を三平方の定理で求めると 13 ですから、sin β = 5/13、cos β = -12/13 です。実際に (5/13) / (-12/13) = -5/12 で、点 (-12, 5) は左上にあります。比の分母を半径と勘違いしないよう、図で水平距離と斜めの半径を区別します。

3. 上半円で横座標が -1 になるのは左端の点 (-1, 0) です。したがって γ = 180°、sin γ = 0、tan γ = 0 / (-1) = 0 です。cos γ = -1 に戻り、端点を含む不等号にも合います。鈍角で cos が負という覚え方だけでは端点を落としがちなので、軸上の点を直接見ます。

4. 上半円で縦座標が 1 になるのは頂点 (0, 1) です。δ = 90° なので cos δ = 0、tan δ は定義されません。点の縦座標は与えられた 1 に戻り、指定の範囲内です。正接を 0 とする答えは 1 を 0 で割ってしまうため成立しません。問題の条件が実現するかと、求める比が定義されるかを別々に確かめます。

覚えておくこと

• 上半円の横座標が cos、縦座標が sin です。
• sin²θ + cos²θ = 1 から大きさを求め、角の範囲で符号を選びます。
• cos θ ≠ 0 のとき tan θ = sin θ / cos θ です。
• 90° の正接は定義されず、範囲の端点は座標で調べます。
• 複数の組を得たら、それぞれを元の条件に戻します。

つまずきの見分け方

個別に答案を確かめるときは、まず範囲を図に移した行を見ます。鈍角なのに右上へ点を置いていれば、式を直す前に正の横軸からの回転に戻ります。点の位置が合っていて平方根の符号だけが違うなら、正負の候補を並べた後で横座標を読む練習をします。

正接の行で止まっている場合は、分子と分母に対応する座標を指し、分母が 0 になる角を確認します。お子さまが答えを口頭で説明するときも、数値だけでなく、どの条件を使って符号を選んだかを尋ねると、暗記と理解の境目が見えます。角の位置を最後まで持ち運ぶことで、三角比の符号が決まります。